tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


56

数学通报

2008年

第47卷

第9期

第十一届北京高中数学知识应用 竞赛决赛试题及参考解答
1.(满分20分)这里有全等的两幅小鸭子的 图像(见下图).它们的位置是随意摆放的(对应部 位的连线不平行).请你证明其中的一幅是由另一 幅围绕平面上某一个点(旋

转中心)旋转得到的. 请你把这个旋转中心找出来,并且证明这个结论. 解 任选图甲中的两点A和B,再取图乙中


一么POA’+么AOP=么AOA 7=曰. 因此,点P 7是由点P围绕平面上点。旋转角 0得到的.点P与点O在直线AB的同侧时,结论 同理可证明.根据点P的任意性,便得图乙是由 图甲围绕平面上点0旋转得到的. 2.(满分20分)物理老师布置了这样一个作 业,让同学测量常见的啤酒瓶和露露罐的容积.啤 酒瓶和露露罐的工业标准容积分别是600ml和 240m1.现有的工具是一个20ml的小量杯,最小 单位是2m1. 小明先将露露罐盛满水,再一次次倒人小量 杯,得到测量值.反复测量了4次,每次的测量结 果都不同,数据如下表所示(容积单位:m1):

相应的点A 7和B 7,如图.分别作线段AA7和BB

的中垂线,交于点0,则图乙是由图甲围绕平面上 点0旋转得到的.

物理学指出:测量误差是最小单位的一半.于 是知道,由于量杯的最小单位是2ml,所以误差应 该在一lml到+1ml之间.考虑到测量的误差,操 作次数应为:240/20=12;240/19=12.6;240/21 =11.4.即最多要用量杯操作13次,于是知道露
幽甲

下面证明上述结论. 设么AOA 7=0,因为0在AA 7的中垂线上, 所以OA 7=OA,同理,OB 7一OB,又因为A7B AB,所以△AOB丝△A
£OA。B÷.


露罐的容积的测量值的误差范围应为[一13ml, 13m1],相应得到测量值∈F227,253].请回答: (1)用量杯测量啤酒瓶的时候,误差范围应 该如何? (2)如果小明依据已经完成的对露露罐的4 次测量,借助露露罐,可以使啤酒瓶的测量值和真 实值间的误差减小吗?试计算较小的误差范围, 说明你的道理.


7一

OB

7,所以么OAB一

在图甲中任取一点P,不妨设点P与点。在 直线AB的异侧,再取图乙中相应的点P7,则 △ABPC,O△A 7B 7P’,么BAP一么B7A 7P 7.于是 么OAP=么OAB+么BAP=么OA 7B 7+
么B’A’P’一ZOA。P‘.

(1)用量杯测量啤酒瓶,考虑到测量的

误差,操作次数应为:
600/20=30;600/19=31.6;600/21=28.6.

所以△0AP丝△OA 7P 7,所以 OP’一OP,且[POP’一[POA’+[A’OP’

即最多要用量杯操作32次,因此对于啤酒瓶

万方数据  

2008年

第47卷

第9期

数学通报

57

的测量值的误差范围应为[~32ml,32m1],相应 得到测量值∈[568,632]. (2)用量杯测量露露罐,再用露露罐和量杯
混和测量啤酒瓶.

如果任何一种安排兵力的方法都是等可能 的,在没有其它的信息情况下,试计算红方胜利登 陆的概率.


我们用A表示蓝方在甲地部署了i个

设量杯的测量一次的方差为盯2,则测量露露 罐时的方差应为13口2.现在用4次测量值的平均 值(230+248+252+235)/4—241.25代替露露 罐的容积,此时这个平均值的方差为13a2/4— 3.25a2,它表明4次露露罐测量值的平均值的方 差不会超过量杯测量误差的4倍.代替的容积露 露罐的容积约为(230+248+252+235)/4—24.1. 25.可见露露罐的测量值和工业标准的误差大约 为1.25. 如果用露露罐测量啤酒瓶,则
600=2×241.25+117.5,

师(这意味着蓝方在乙地部署了3一i个师),其 中i=0,1,2,3;用B,表示红方往甲地派遣了歹 个师(这意味着红方往乙地派遣了2一j个师),其
中i=0,l,2.

现在,双方对阵的各种可能的情形如下表:


蓝方策略
Ao A1 Az A3

红方在乙 红 方 策 略
B2 Bo

红方在乙

地登陆
红方在甲
Bl

地登陆

即用露露罐两次测量后,所剩水量约为 117.5m1.再用量杯测量啤酒瓶所剩水量,考虑到 测量的误差,则有
117.5/19—6.18;117.5/21—5.6.

地登陆

红方在甲
地登陆

红方在甲

红方在乙
地登陆

地卺陆

由于上面12种情形都是等可能的,其中有6 种情形使得红方能登陆成功,因此,红方胜利登陆 的概率是二分之一. 表面看,红方在兵力上和胜负规则上都处于 不利地位,但红方只要在甲、乙任何一地登陆就是 胜利,而蓝方则要求在甲、乙两处都要不败,才能 胜利.红方胜利的概率不低. 4.(满分20分)北京市出租车计价是如下规 定的:行程在3公里以内10元;大于等于3公里, 每公里2元;总里程大于等于15公里的部分加收 50%.每半公里计一次价,不足半公里按半公里 计,例如,当行驶路程z(公里)满足12≤z<12.5 时,按12.5公里计价;当12.5≤z<】3时,按13 公里计价.途中时速低于12公里(称为等候)时, 每累计2.5分钟加收1元,不足2.5分钟不计,例 如,累计时问£(分钟)满足5≤x<7.5时,按5分 钟计价;7.5≤z<10时,按7.5分钟计价.晚11 点到次日早5点为夜间,夜间起价11元,上述其 它金额均加收20%的费用. (1)如果无等候,白天乘出租车行驶28.8公 里的费用是多少? (2)如果无等候,白天乘出租车行驶14.4公

我们对剩下的约为117.5ml水用量杯测量, 最多7次. 我们计算此时测量啤酒瓶的方差,为
2×3.25a2+7×口2=13.5口2.

误差范围应为[一13.5ml,13.5m1].它相当 于用量杯测量方差的13.5倍.而直接用量杯测量 啤酒瓶的方差为32az.由于13.5<32,即用量杯 测量露露罐,再用露露罐和量杯混和测量啤酒瓶 的方差比直接用量杯测量啤酒瓶的方差要小,所 以误差要小. 3.(满分20分)在军事演习中,红方将在甲、 乙两个相距很远的地方从海上试图登陆.蓝方在 陆地防守,以阻止红方登陆. 假设蓝方有三个师的兵力,红方只有二个师 的兵力.而且蓝、红方在甲、乙两地安排、部署兵力 时,必须以整师为单位,不能拆散.在甲、乙任何一 个阵地,两军相遇,我们规定兵力多的一方胜利; 若两方军力相等,根据易守难攻的原则,我们规定 蓝方胜利.显然,无论从兵力的数量上,还是胜负 的规则上,对红方都不利.只要红方在甲、乙任意 一地登陆就认为红方胜利登陆.

万方数据  

58

数学通报

2008年

第47卷

第9期

里下车,再换乘另一辆出租车行驶14.4公里的总 费用是多少? (3)写出白天乘出租车无等候行驶z公里与 应付费用y之间的函数关系式. (4)如果无等候,白天从上地工业园区乘出 租车去41公里处的亦庄经济开发区,直接乘车到 达花多少钱?最省钱的乘车方案是什么?这个方 案费用是多少?
解 (1)y=10+2×12十3×14=76(元).

令3Ix]一9=2[z]+9 或31-:r3—8=2[上]+10

得[胡=18.
从计算结果可以看出:19公里是个临界值, 当行程超过15公里但不到19公里时不换车省 钱;当超过19公里时,在1 5公里处再换一次车更 省钱. 在乘坐出租车时,最经济的方案是每行驶接 近15公里换一次车,最后一程,如果不到19公里 就不必换车,达到19公里应换车或者要求司机重 新起动计价器. 这个结论对于夜间行车也完全适用. 对于39公里的行程,可以看作接近39公里. 打车直接到目的地的费用是:3×40—8=112, 节约了18元.由以上讨论,最省钱的乘出租车的 方案是:把路程分解成三段,前两段都是尽量接近 15公里,第三段尽量接近1l公里,总费用为:34 +34+26=94(元). 5.(满分20分)长江是我国第一、世界第三 大河流,长江水质的污染程度日趋严重,已引起了 相关政府部门和专家们的高度重视.这里给出了 长江干流的两个观测站:湖北宜昌南津关和湖南 岳阳城陵矶于2005年1月对主要水质污染指标 高锰酸盐含量(rag/1)的检测数据,以及这两个观 测站水流情况的基本数据(江水流量(ITl3/s)和流
速(m/s)).

(2)Y一2×(104-2×12)一68(元).
(3)Y=厂(z) zE(O,3) + 一 +
。——

:rE[3,15)且{z}E[o,0.5) z∈[-3,15)且{工}∈[O.5,1) zE[15,+oo)且{z}∈[o,0.5) z∈[15,+。。)且{z}E[o.5,1)

,● ● ● ,、● ● ,●L

●一

其中[z]表示z的整数部分,{z)表示z的小 数部分. (4)首先,考虑每公里的平均费用,这个平均 费用越小就越省钱.以白天为例:每公里平均费用

函数为g(z)=型.
在X∈[1,3)内,当z趋于3时得最小值,近 似为3.33元/公里; 在z∈[3,15)内,当z趋于15时得最小值, 近似为2.27元/公里; 在xE[15,+∞)内,当X趋于16时得最小 值,近似为2.31元/公里. 可见,当行程为15公里时最省钱. 那么,如果行程超过15公里而又不足30公 里,是换车省钱还是不换车省钱呢?为此我们比 较两种情况.在不换车的情况下,收费情况为:

观测站 水流量 水流速 高锰酸盐浓度

湖北宜昌A
QA=4570
可A=0.5 CA=1.9

湖南岳阳B
Q且=8190
口B=0.6 CB=5.1

这两个观测站之间的江面距离为395km.通 常认为一个观测站的水质污染主要来自于本地区 的排污和上游的污水.一般说来,江河自身对污染 物都有一定的自然净化能力,即污染物随着水的 流动通过物理降解、化学降解和生物降解等现象 使水中污染物的浓度按照规律C(£)=C(0)P1 降低.其中t是江水流动的时间,A是反映江河自 然净化能力的指标——降解系数.根据检测可知, 高锰酸盐的降解系数为0.2(单位:1/天).根据这

弛)=3[-x-]-9,xE[-15,4-oo)J;].{x}E[-0,0.5:
行程接近15公里后换车的情况为:
f44,z∈(15,18)

“(z)一_2[-x]+9,z∈[-18,30]且{工)∈[o,0.5)
【2[z]+10,xE[-18,303且{z)∈[o.5,1) 显然,当z∈(15,18)时,由于出租车收取起 步费,换车不经济;当z>18时

万方数据  

2008年

第47卷

第9期

数学通报

59

些数据请你回答: (1)如果在这个河段只有一个排污口P,它 位于距离下游岳阳观测站之上z km处,请你计 算这个排污口排出的污水的浓度.并回答排污的 浓度与排污口的位置是什么关系. (2)如果我们不知道有关排污口的具体位 置,根据前面给出的分析能不能对这个河段上污 水排放的浓度的范围给出估计. 解 假设上游湖北宜昌南津关A和下游湖

由这个式子可以看出,如果知道下游岳阳观 测站江水污染物的浓度C。=5.1,来y-0断上游某 一个排污口所排出的污染物的浓度时,这个浓度 的数量与排污口距离岳阳的观测站的远近z是有 关系的. 距离z的数值越大排出污染物的浓度越高. (2)由于我们无法知道污染源的数量和具体 的位置,因此就不可能准确地算出污染物的具体 的排放量,只能给出一个大致的估计.由前面的讨 论我们知道为保持下游的岳阳站观测的排污。浓度 不变,随着排污口离下游的岳阳观测站距离的增 加,排污口的排污量将要增大.因此分析极端的情 形,估计污水排放的浓度的范围. 如果排污口都在下游岳阳站附近的上方,也

南岳阳城陵矶B河水的流量和污染物的浓度分

别为QA,Q。,C^,G.为估计将江水由宜昌流到岳
阳的时间,我们取这个区段江水的平均流速7./=

生兰箬业一0.55(m/s).于是江水流过395km所
需要的时间大约是t。一
8.3(天).
395
3600×24×u

47.52

就是相当于只在岳阳附近有一个排污口(相当于 z—O).这时污染物无须经过降解就形成B点污 染的浓度C。=5.1,排污的浓度应该是最低
的,有

(1)假设:这段河道内江水流量的增加完全 是由于排污口P的输入所产生的.流人污水的流 量和污染物的浓度分别为q和f.则江水流量的平 衡关系是Q^+q—Q。.江水从排污口流到下游 的岳阳所需要的时间为t2=磊丽xX叉1虿00万0弓=

吁坚咤学腩


一CBQB—CAQ,、P一1而39
QB—QA
8190×5.1—4570×1.9×e—o?2“8?3

志天.
由于下游任何地点的水质污染主要来自于上 游经过一定时间降解后的污水和本地区的排出的 污水.因此下游B点污水的浓度是由于上游宜昌 流下来的污染物和排污口P排出来的污水经过 降解后形成的. 利用污染浓度降解的规律可以得到

8190—4570

一鬻_1l~06



如果排污口都在上游宜昌站附近的下方,也 就是相当于只在宜昌附近有一个排污口(相当于 z一395).这时污染物必须要经过长距离的降解 衰减才形成B点污染的浓度CB=5.1,排污的浓 度是最高的,有


cB_g《__1395:掣--z。一-志,
L?一—_瓦干F—P”j“’


。,:!塑!黧[望395。。两395


QB—QA

注意到Q^+q=Q。,将上式化简,有

CBQB=CAQAP一^焉+f卵一^志,
解出c可得


一CBQBPl尚一C^Q^
QB—QA

一坠盟;雩掣39b。-南
Qe—QA

一————面顶F砸丽厂—一

8190×5.1×Po-2。8?3—4570×1.9

:!:!圣!!!Q二!:!丕!!!Q荃Q:!!!!,o.o。埘,


=鬻=58.28.

8190—4570

由此可知,在这个区段排出的污水的浓度应 该介于(11.08,58.28)之间.

=11-08eo?004212

万方数据  


推荐相关:

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案08年5月整理的辅导资料

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1,(满分 20 分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前没行一段距离才能 停住.我们称这段距离为"...


第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题

第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题 1.根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定》...参考解答 1.解 (1) (2)此时 x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,...


北京市第05届高中数学知识应用竞赛试题整理

北京市第05届高中数学知识应用竞赛试题整理_哲学_高等教育_教育专区。你第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997) 第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于 1997 年...


高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 试题一、窗户造型(满分 15 分) 《...年第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题 的第 3 题中作了介绍,并要求给出...


历届北京高中数学知识应用竞赛获奖论文题目

届北京高中数学知识应用竞赛获奖论文题目 PP 快看! ! 来源: 刘政的日志 从教室内二氧化碳含量与人体代谢活动的关系看现时学校教学作息时间的合理性 探索最合理的...


第03届北京高中数学知识应用竞赛初赛及解题

第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛 试题 1.根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定...参考解答 )此时 x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,因此此书 25.4 ...


第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛及答案

,到2008年左右,北京机动车保有量将达到300万辆。 (1)请你按以上信息,计算北京今后6年的机动车平均年增长率; (2)给出一个适合北京远景规划的汽车新牌号设计...


第十六届北京市高中数学知识应用竞赛初步

第十六届北京市高中数学知识应用竞赛初步_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第十六届北京市高中数学知识应用竞赛初步_学科竞赛_高中...


椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法(第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文)

虽然论文没有获奖,但是我个人还是得了决赛二等奖。...——第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文 论文标题...的数据,一定程度上解决了计算椭圆周长难的问 题。...


球面距离的计算

∴. ∴ 的球面距离约为 . 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短...例2、 (2002 年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题)北京时间 2002 年 9 月...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com