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数列填空题专项训练


数列填空专项练习
1. (2012?北京)已知﹛an﹜是等差数列,sn 为其前 n 项和.若 a1= ,s2=a3,则 a2= _________ .

2. (2011?陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路

程总和最小,这个最小值为 _________ (米) . 3. (2010?辽宁)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= _________ .

4. (2005?广东)设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过 同一点, 若用 ( f n) 表示这 n 条直线交点个数, 则( f 4) = _________ , 当 n>4 时 ( f n) = _________ (用 n 表示) 5.设 Sn 和 Tn 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n∈N*,都有 11 项与第二个数列的第 11 项的比是 _________ .

,则第一个数列的第

6.设 a1、d 为实数,若首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 S5?S6=﹣15, 则 a1 的取值范围是 _________ . 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=81,则 a2+a5+a8= _________ 8.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣2010, 9.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=32n+1+t,则公比 q 等于 10.在等比数列{an}中, = _________ . ; .

,则 a2= _________ _________ . . ,t= _________

11.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=x?3n+1,则 x 的值为 _________ 12.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为 _________ 13.等比数列{an}中,a3=7,前三项和 S3=21,则公比 q= _________ 14.已知{an}是等比数列, ,则公比 q= _________ . . .

15.(2010?福建)在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列的 通项公式 an= _________ 16.数列{an}中,前 n 项和 Sn=2n(n 为正整数) ,则 an= _________ 17.等比数列{an}中,a1=3,a4=81,则{an}的通项公式为 18.已知等差数列 11,8,5,…,它的第八项是 _________ . . . . .

_________

19. (2012?重庆)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4= _________ 20. (2011?重庆)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8= _________ 21.数列{an}中 a1=1,a2=2,an+2=2an+1+an,则 a5= _________ 22.数列 , , , . _________

,…中,有序数对(a,b)可以是

. _________ . .

23.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 24.已知 an=n2+λn,且 an+1>an 对一切正整数 n 恒成立,则 λ 的取值范围 25.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+3,则 an= _________ .

_________

26.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1>0 且 S19=0,则当 Sn 取得最大值时的 n= _________ 27. (2006?重庆)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1) ,则该数列的通项 an= _________ 28.数列{an}中, 是等差数列,则 a11= _________ . .

29.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5=12,a6=2,则 a2+a3= _________ 30.已知数列中,a1=5,a8=19,an=pn+q(p,q 为常数) (n∈N*) ,则 a5= _________



1. (2012?北京)已知﹛an﹜是等差数列,sn 为其前 n 项和.若 a1= ,s2=a3,则 a2=

1 .

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式。1021054
2

专题: 计算题。 分析: 由﹛an﹜是等差数列,a1= ,S2=a3,知 解答: 解:∵ ﹛an﹜是等差数列,a1= ,S2=a3, ∴ = ,

=

,解得 d= ,由此能求出 a2.

解得 d= , a2= =1.

故答案为:1. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2. (2011?陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开始时需 将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值 为 2000 (米) . 考点: 等差数列的前 n 项和。1021054 专题: 应用题。 分析: 设在第 n 颗树旁放置所有树苗,利用等差数列求和公式,得出领取树苗往返所走的路程总和 f(n)的表达 式,再利用二次函数求最值的公式,求出这个最值. 解答: 解:记公路一侧所植的树依次记为第 1 颗、第 2 颗、第 3 颗、…、第 20 颗 设在第 n 颗树旁放置所有树苗,领取树苗往返所走的路程总和为 f(n) (n 为正整数) 则 f(n)=[10+20+…+10(n﹣1)]+[10+20+…+10(20﹣n)] =10[1+2+…+(n﹣1)]+10[1+2+…+(20﹣n)] =5(n2﹣n)+5(20﹣n) (21﹣n) 2 2 =5(n ﹣n)+5(n ﹣41n+420) =10n2﹣210n+2100 可得 n=10 或 11 时 f(n)的最小值为 2000 米 故答案为 2000 点评: 本题利用数列求和公式,建立函数模型,再用二次函数来解题,属于常见题型. 3. (2010?辽宁)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= 15 . 考点: 等差数列的前 n 项和。1021054 专题: 计算题。 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式求出前 3 项、前 6 项和列出方程求出首项和公差;利用等差数列的通项公式 求出第 9 项. 解答: 解: ,

解得



∴ a9=a1+8d=15. 故答案为 15 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式、等差数列的通项公式.
3

4. (2005?广东)设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用 f (n)表示这 n 条直线交点个数,则 f(4)= 5 ,当 n>4 时 f(n)= (用 n 表示)

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的应用。1021054 专题: 规律型。 分析: 要想求出 f(4)的值,我们画图分析即可得到答案,但要求出 n>4 时 f(n)的值,我们要逐一给出 f(3) , f(4) ,…,f(n﹣1) ,f(n)然后分析项与项之间的关系,然后利用数列求和的办法进行求解. 解答: 解:如图,4 条直线有 5 个交点, 故 f(4)=5, 由 f(3)=2, f(4)=f(3)+3 … f(n﹣1)=f(n﹣2)+n﹣2 f(n)=f(n﹣1)+n﹣1 累加可得 f(n)=2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1) = = 故答案为 5,

点评: 本题考查的知识点是归纳推理与数列求和,根据 f(3) ,f(4) ,…,f(n﹣1) ,f(n)然后分析项与项之间 的关系,找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键.

5.设 Sn 和 Tn 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n∈N*,都有

,则第一个数列的第 11 项与第二

个数列的第 11 项的比是

. (说明:

. )

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的性质。1021054 分析: 由等差数列的性质,寻求项与前 n 项和公式间的关系. 解答: 解:∵



故答案是

4

点评: 本题考查等差数列的性质和前 n 项和公式. 6.设 a1、d 为实数,若首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 S5?S6=﹣15,则 a1 的取值范 围是 .

考点: 等差数列的前 n 项和。1021054 专题: 计算题。 分析: 由已知,得到(5a1+10d) (6a1+15d)=﹣15,即 30d2+27a1d+6a12+3=0,将此式看作关于 d 的一元二次方程, 利用△ ≥0 去求 a1 的取值范围. 解答: 解:∵ S5?S6=﹣15,由等差数列的前 n 项公式得(5a1+10d) (6a1+15d)=﹣15, 展开并化简整理得 30d2+27a1d+6a12+3=0,将此式看作关于 d 的一元二次方程,a1 为系数. ∵ a1、d 为实数,∴ △ =27a1 2﹣4×30×(6a12+3 )≥0.化简整理得 a12﹣40≥0,∴ a1 ∈ 故答案为: . 点评: 本题考查等差数列的前 n 项公式,一元二次方程根存在的判定,一元二次不等式的解法.本题的关键是用 方程的眼光看待 30d2+27a1d+6a12+3=0.本题还可以求 d 的取值范围,请读者自行解答. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=81,则 a2+a5+a8= 27 . 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的性质。1021054 分析: 由 s9 解得 a5 即可. 解答: 解:∵ ∴ a5=9 ∴ a2+a5+a8=3a5=27 故答案是 27 点评: 本题考查前 n 项和公式和等差数列的性质.

8.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣2010,

,则 a2= ﹣2008 ;

考点: 等差数列的前 n 项和。1021054 专题: 计算题。 分析: 根据等差数列的前 n 项和的公式化简 的值. 解答: 解:因为 =

得到等差 d 的值,然后利用首项加公差即可求出 a2

+

=2

即 d=2, 所以 a2=a1+d=﹣2010+2=﹣2008 故答案为﹣2008. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值,是一道基础题. 9.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=32n+1+t,则公比 q 等于 3 ,t= ﹣3 . 考点: 等比数列。1021054 专题: 计算题。
5

分析: 根据等比数列的前 n 项和,写出数列的通项,因为这是一个等比数列,第一项也符合通项,写出数列的首 项和通项进行对比,得到结果. 解答: 解:∵ 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=32n+1+t, ∴ a1=s1=27+t, a2=s2﹣a1=72, ﹣ an=sn﹣sn﹣1=8×32n 1, ∴ 27+t=24, ∴ t=﹣3, q= =3,

故答案为:3;﹣3 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和,本题解题的关键是写出数列的通项,利用通项进行整理得到首项中的字母 系数.

10.在等比数列{an}中,

=



考点: 等比数列;等比数列的通项公式。1021054 专题: 计算题。 分析: 根据等比数列的通项公式可知 a3=a1q2,然后将数据代入,即可求出所求. 解答: 解:∵ 等比数列{an}中, ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式,是公式的直接运用,是一道容易题. 11.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=x?3n+1,则 x 的值为 ﹣1 . 考点: 等比数列;等比数列的前 n 项和。1021054 专题: 计算题。 分析: 令 n=1,得到 s1,令 n=2,得到 s2,令 n=3,得到 s3,所以 a1=s1,a2=s2﹣s1,a3=s3﹣s2,因为 an 为等比数列, 所以由 a22=a1?a3 解出 x 即可. 解答: 解:令 n=1,得到 s1=3x+1;令 n=2,得到 s2=9x+1;令 n=3,得到 s3=27x+1, 所以 a1=s1=3x+1,a2=s2﹣s1=6x,a3=s3﹣s2=18x 因为 an 为等比数列,所以 a22=a1?a3, 则(6x)2=18x(3x+1) 解得 18x(x+1)=0, 即 x=0(舍去)或 x=﹣1, 所以 x=﹣1 故答案为﹣1 点评: 考查学生会求等比数列的通项公式,理解掌握等比数列的前 n 项和的公式,以及利用等比数列的性质来解 决问题. 12.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为 120 . 考点: 等比数列;等比数列的前 n 项和。1021054
6

=

专题: 计算题。 分析: 根据 a2=9,a5=243 求得 a1 和 q,最后利用等比数列的求和公式求得前 4 项的和. 解答: 解:q3= =27 ∴ q=3 ∴ a1= =3

∴ S4=

=120

故答案为 120 点评: 本题主要考查了等比数列的性质和求和问题.要熟练掌握等比数列中通项公式、求和公式、等比中项等基 本知识. 13.等比数列{an}中,a3=7,前三项和 S3=21,则公比 q= 考点: 等比数列;等比数列的前 n 项和。1021054 分析: 将 a3=7,S3=21,建立关于 a1,q 的方程组求解. 解答: 解:由 a3=7,S3=21 得: ﹣0.5 或 1 .

得 q=﹣0.5 或 1 故答案是﹣0.5 或 1 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 14.已知{an}是等比数列, ,则公比 q= .

考点: 等比数列。1021054 分析: 由等比数列的通项公式求解. 解答: 解由题意:

∴ q= 故答案是 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式. 15. (2010?福建)在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an= 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式。1021054 计算题。 根据等比数列的通项公式,把 q 代入前 3 项的和,进而求得 a1 则数列的通项公式可得. 解:由题意知 a1+4a1+16a1=21
7

4n

﹣1



解得 a1=1, ﹣ 所以通项 an=4n 1. ﹣ 故答案为 4n 1. 点评: 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题.

16.数列{an}中,前 n 项和 Sn=2n(n 为正整数) ,则 an=



考点: 等比数列的通项公式;数列的函数特性。1021054 专题: 计算题。 分析: 由数列{an}中,前 n 项和 Sn=2n(n 为正整数) ,直接利用公式 解答: 解:a1=S1=2, an=Sn﹣Sn﹣1 ﹣ ﹣ =2n﹣2n 1=2n 1, ﹣ 当 n=1 时,2n 1=1≠a1, ∴ .

求解即可.

故答案为: 点评:



本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意公式

的灵活运用.

17.等比数列{an}中,a1=3,a4=81,则{an}的通项公式为 an=3n . 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式。1021054 计算题。 根据等比数列中的任意两项求出数列的公式,然后根据等比数列的通项公式进行求解即可. 解:∵ a1=3,a4=81 ∴ 公比 ∴ q=3 ∴ 该等比数列的通项公式 an=3?3n 1=3n 故答案为:an=3n. 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式,一般利用基本量的思想,属于基础题.


18.已知等差数列 11,8,5,…,它的第八项是 ﹣10 . 考点: 等比数列的通项公式。1021054 专题: 计算题。 分析: 由 11,8,5,…,成等差数列,根据等差数列的性质求出等差 d 的值,再由首项 11,得出等差数列的通项 公式,令 n=8 即可求出第八项的值. 解答: 解:由等差数列的前三项 11,8,5, 可得等差数列的公差 d=8﹣11=﹣3,
8

∴ 等差数列的通项公式 an=11﹣3(n﹣1)=14﹣3n, 则 a8=14﹣3×8=﹣10. 故答案为:﹣10 点评: 此题考查了等差数列的通项公式,根据题意求出等差数列的公差,再由首项,得出数列的通项公式是解本 题的关键. 19. (2012?重庆)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4= 15 . 考点: 等比数列的前 n 项和。1021054 专题: 计算题。 分析: 把已知的条件直接代入等比数列的前 n 项和公式,运算求得结果. 解答: 解:首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4= =15, 故答案为 15. 点评: 本题主要考查等比数列的前 n 项和公式的应用,属于基础题. 20. (2011?重庆)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8= 74 .

考点: 等差数列的性质。1021054 专题: 计算题。 分析: 根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等,看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的 和等于第二项与第八项的和,得到结果. 解答: 解:等差数列{an}中,a3+a7=37, ∵ a3+a7=a2+a8=a4+a6=37 ∴ a2+a4+a6+a8=37+37=74, 故答案为:74 点评: 本题考查等差数列的性质,这是经常用到的一个性质的应用,注意解题要灵活,不要出现数字运算的错误 是一个送分题目.

6.数列{an}中 a1=1,a2=2,an+2=2an+1+an,则 a5= 考点: 专题: 分析: 解答:

29



数列的概念及简单表示法;数列递推式。1021054 计算题;转化思想。 由题中的递推公式可以求出数列的各项,得出正确结果. 解:数列{an}中 a1=1,a2=2,an+2=2an+1+an,a3=2a2+a1=5,a4=2a3+a2=12,a5=2a4+a3=29; 故答案为:29. 点评: 本题通过递推数列求出数列的项,由归纳,猜想,找出规律,从而得出结果,一般不用证明.

7.数列







,…中,有序数对(a,b)可以是 (

,﹣

) .

考点: 数列的概念及简单表示法。1021054 分析: 遇到这样的数列问题,观察数列中项的结构特点,若是分数,要观察分子和分母之间的关系,分子和分母 同项数之间的关系,得到各项具有的公共的特点.
9

解答: 解:∵ 观察数列的特点发现分母上的数字比分子上的被开方数小 2, ∴ 从上面的规律可以看出 ,

解上式得

故答案为: (

,﹣



点评: 本题可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力,在领会函数与数列关系的前提下,把研究函数的方法 迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力,通过本题的练习,提高学生分析问题和解决问题的能 力. 8.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 45 .

考点: 数列的概念及简单表示法。1021054 专题: 常规题型。 分析: 由题意可知,此数列由一个 1,两个 2,3 个 3…组成,欲求第 1000 项,需求自然数列前 n 项和不大于 1000 时的最大 n 值,再列举出第 1000 项 解答: 解:因为 1+2+3+…+n=n(n+1)/2,由 n(n+1)/2≤1000 得 n 的最大值为 44,即最后一个 44 是数列的第 990 项,而 45 共有 45 项,所以,第 1000 项应为 45, 故答案为 45. 点评: 本题考查数列定义,解题时要注意观察,发现规律,利用等差数列知识解答.

10


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