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人教A版-高中数学选修2-1-第一章-1.2充分条件与必要条件-第一课时


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一、复习引入
1、命题: 可以判断真假的陈述句,可写成:若p则q. 2、四种命题及相互关系:

原命题 若 p则 q
互 否<

br />
互逆

逆命题 若 q则 p
互 否

互为

逆否

否命题 若 p则 q

互逆

逆否命题 若 q则 p

注:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
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3、判断下列命题是真命题还是假命题:
(1)若 x ? a 2 ? b 2 ,则 x ? 2ab ; (2)若ab ? 0 ,则 a ? 0 ;





(3)全等三角形的面积相等; 真 (4)对角线互相垂直的四边形是菱形; 假
2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不等的实数解, (5)若方程

则b2 ? 4ac ? 0 .

真 假

2 2 x ? y (6)若 ,则 x ? y ;

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二、新课
1、如果命题“若p则q”为真,则记作p

?q(或q? p). ?
q.

2、如果命题“若p则q”为假,则记作p

练习1 用符号

(1) x2=y2 x=y; (2)内错角相等 两直线平行; (3)整数a能被6整除 a的个位数字为偶数; (4)ac=bc a=b.

? ?



? 填空.

?

? ?

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一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q .

这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p ? q .

并且说 p 是 q 的充分条件,说 q 是 p 的必要条件.

注 : 这里 充分 、必要 的意义 和日常 生活 中的 “充分”、 “必要”的意义是相近的. ⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p 就可推出 q ;
⑵q 是
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p 的必要条件──

没有 q 就推不出

p.
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如何正确理解p是q的充分条件与必要条件

1、充分条件的特征是:当p成立时,必有q成 立,但当p不成立时,未必有q不成立.因此要 使q成立,只需要条件p即可,故称p是q成立 的充分条件. 2、必要条件的特征是:当q不成立时,必有p 不成立,但当q成立时,未必有p 成立.因此要 使p成立,必须具备条件q,故称q是p成立的 必要条件. 3、只要有p是q的充分条件就必有q是p的必要 条件,但不是p为q的必要条件.
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简化定义:

如果已知p

q,则说p是q的充分

例如:

条件, q是p的必要条件.

x ? a 2 ? b 2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b2是x ? 2ab的充分条件

x ? 2ab是x ? a 2 ? b2的必要条件
两三角形全等 ? 两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件.
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.
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胯恒柠

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例1,下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的p是q的充分条件? (1)若x=1,则x2 –4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x 为无理数,则x2 为无理数. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题, 所以命题(1)(2)中的p是q的充分条件

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例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的 q是p的必要条件? (1) 若x=y,则x2=y2. (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b,则ac>bc.

解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题, 所以命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

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思考: “若 p , 则 q ” 的逆命题成立, p 是 q 的什么条件?

p 是 q 的必要条件.

就是说: 由 p ? q 可知 p 是 q 的必要条件, q 是 p 的充分条件.

通俗地说,就是“ p 被 q 推出”判断为 “ p 是 q 必要条件”.
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知识点归纳 定义1:如果已知p ? q, 则说p是q的充分条件. 定义2:如果已知q ? p, 则说p是q的必要条件.

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从集合角度理解:

口诀:对于具体的数集,以条件集合 为基础,小充分,大必要
①p ②q q,相当于P Q ,即 p,相当于Q P ,即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q 有它就行 缺它不行

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练习、判断下列命题的真假: (1)x=2是x2 –4x+4=0的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件; (3)sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的充分条件; (4)ab = 0是a = 0的充分条件.
答:命题(1)为真命题;

命题(2)为真命题; 命题(3)为假命题; 命题(4)为真命题。
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三、课堂小结:
1、定义1:如果已知p 定义2:如果已知q

? q,则说p是q的充分条件.
p,则说p是q的必要条件.

2、充分条件、必要条件的集合角度理解:
①p ②q q,相当于P Q ,即 p,相当于Q P ,即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q 有它就行 缺它不行

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四、作业布置

课本P12习题1.2-A组1、2(1)(2) 课本P13习题1.2-B组1(1)(2)

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