人教A版-高中数学选修2-1-第一章-1.2充分条件与必要条件-第一课时

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一、复习引入
1、命题： 可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q. 2、四种命题及相互关系：

原命题 若 p则 q
互 否

互逆

逆命题 若 q则 p
互 否

互为

逆否

否命题 若 p则 q

互逆

逆否命题 若 q则 p

注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.
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3、判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若 x ? a 2 ? b 2 ，则 x ? 2ab ； （2）若ab ? 0 ，则 a ? 0 ；

真

假

（3）全等三角形的面积相等； 真 （4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假
2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不等的实数解， （5）若方程

则b2 ? 4ac ? 0 ．

真 假

2 2 x ? y （6）若 ，则 x ? y ；

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二、新课
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p

?q（或q? p）. ?
q.

2、如果命题“若p则q”为假，则记作p

练习1 用符号

（1） x2=y2 x=y； （2）内错角相等 两直线平行； （3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数； （4）ac=bc a=b.

? ?

与

? 填空.

?

? ?

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一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q .

这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p ? q .

并且说 p 是 q 的充分条件,说 q 是 p 的必要条件.

注 : 这里 充分 、必要 的意义 和日常 生活 中的 “充分”、 “必要”的意义是相近的. ⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p 就可推出 q ;
⑵q 是
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p 的必要条件──

没有 q 就推不出

p.
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如何正确理解p是q的充分条件与必要条件

1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成 立，但当p不成立时，未必有q不成立.因此要 使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立 的充分条件. 2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p 不成立，但当q成立时，未必有p 成立.因此要 使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的 必要条件. 3、只要有p是q的充分条件就必有q是p的必要 条件，但不是p为q的必要条件.
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简化定义：

如果已知p

q，则说p是q的充分

例如：

条件， q是p的必要条件.

x ? a 2 ? b 2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b2是x ? 2ab的充分条件

x ? 2ab是x ? a 2 ? b2的必要条件
两三角形全等 ? 两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
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胯恒柠

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例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数. 解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件

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例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2. (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b，则ac>bc.

解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件.

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思考: “若 p , 则 q ” 的逆命题成立, p 是 q 的什么条件?

p 是 q 的必要条件.

就是说: 由 p ? q 可知 p 是 q 的必要条件， q 是 p 的充分条件.

通俗地说,就是“ p 被 q 推出”判断为 “ p 是 q 必要条件”.
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知识点归纳 定义1：如果已知p ? q， 则说p是q的充分条件. 定义2：如果已知q ? p, 则说p是q的必要条件.

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从集合角度理解：

口诀:对于具体的数集,以条件集合 为基础,小充分,大必要
①p ②q q，相当于P Q ，即 p，相当于Q P ，即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q 有它就行 缺它不行

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练习、判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的充分条件； （4）ab = 0是a = 0的充分条件.
答：命题（1）为真命题;

命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
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三、课堂小结：
1、定义1:如果已知p 定义2:如果已知q

? q，则说p是q的充分条件.
p，则说p是q的必要条件.

2、充分条件、必要条件的集合角度理解:
①p ②q q，相当于P Q ，即 p，相当于Q P ，即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q 有它就行 缺它不行

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四、作业布置

课本P12习题1.2－A组1、2（1）（2） 课本P13习题1.2－B组1（1）（2）

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