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1.1.4 集合复习课


1.1.4 集合复习课

一.集合的三个特征 1. 元素的确定性 2. 元素的互异性 3. 元素的无序性 例1:求集合{1,x2-x-1}中实数x应满足的条件.
例2: 集合A={x | x2-2ax+b=0 x∈R}, (1)若A={-1,1},求a、b. (2)若A={-1},求a、b.

例3: 设二次方程 x2+ax+

b=0和x2+cx+15=0 的解集分别为A、B,又A∪B={3,5}, A∩ B={3},求a, b, c的值. 解: ∵ A∩B={3} ∴ 3∈B,即3是方程x2+cx+15=0的根 ∴ 32+3c+15=0 得 c=-8 由方程x2-8x+15=0 解得 x1=3, x2=5 ∴ B={3, 5} 又A∪B={3,5},故必有A={3}, 即方程x2+ax+b=0有两重根为3 由韦达定理可得 a=-6, b=9

例4: 已知集合A={x∈R| x2+ax+1=0},B={1,2}, 且A?B,求a的取值范围。 分析 由A?B可知,A的可能情况为四种,分别针对 A的各种情况,来考虑方程的解的情形,则不难求 出相应的a的取值范围。 解 ∵A是B的子集, 故知集合A可能为 ?,{1},{2},{1,2}。 由根与系数的关系可知x1·2=1,知A={2}及A={1,2} x 均不可能.因而A=?或{1}. 1. 当A=?时,即方程x2 +ax+1=0没有实数解,故 知 a2-4<0,即-2<a<2。 2. 当A={1}时,即方程有两个相等的根1,由根与系 数的关系可知,1+1=-a,即a=-2。 综上所述,所求a的范围是{a/-2≤a<2}。

例5: 已知集合A={x | x2-3x+2=0},B={x | x2-ax+ (a-1)=0},且A∪B=A,求a取值的集合. 解: A={x | x2-3x+2=0}={1,2}, 由A∪B=A可知B?A. 故知集合B可能为 空集 ?,{1},{2},{1,2}. ∵方程x2-ax+(a-1)=0的根为1,a-1. 由根与系数的关系可知B=空集?、或B={2}均不可能 ∴B={1}或B={1,2}, ∴a-1=1或a-1=2 ,即a=2或a=3. 注:该题亦可直接将方程的根代入求解,但要注意 回验.看看得出的a值是否满足条件.

例6: 已知集合A={1,3,a},B={1,a2 -a+1},若 B?A,求a的值。 解:因为B?A,故有a2-a+1=3或a2-a+1=a。 1. 由a2-a+1=3解得a=2或a=-1。经检验,它们均满 足题设条件。 2.由a2-a+1=a解得,a=1.此时集合A中有两个元素1, 与元素的互异性相矛盾,故知a=1不合题意,舍去。 综上所述,所求a的值是-1或2。 注:因为在运算过程中,运用某些条件时,并未顾及到 集合中元素的互异性,故求得的结果不一定符合题目 要求,因此,常常通过检验来加以判断,可见,回验 是其中的一个重要环节。

例7: 已知A={x | -2<x<-1或x>1},B= {x | a≤x≤b}且A∪B={x | x>-2}, A∩B ={x | 1<x≤3 }, 求a、b的值. 解: 由A∩B={x | 1<x≤3 }可知, -1≤a≤1且b=3 又由A∪B={x | x>-2}, 可知,-2<a≤-1且 b>1 故可得,所求的值是 a=-1, b=3. 注:该题通过交、并的意义,分别观察参数a、 b的取值范围,而进一步求得a、b的值.可画 出数轴,来帮助理解.

二.集合的表示方法
集合的表示方法有列举法和描述法. 它的一般形式为 A={P | P所具有的属性} (1) 集合A={x | x-2=0}与集合B={x | x-2>0},虽元素 的一般形式相同,但元素x所具有的属性(意义)不同. (2)集合C={y | y=-x+3,x∈N ,y∈N }与 集合D={(x,y) | y=-x+3,x∈N ,y∈N }. C中的元素y表示函数值,其函数值的集合C={3,2,1,0} D中元素(x,y)是有序实数对,D={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)} (3)集合E={(x,y) | x=1且y=2}与 集合F={(x,y) | x=1或y=2} 前者表示坐标平面内一个点(1,2)的集合,即{(1,2)}, 而后者是坐标平面内所有横坐标为1的点集及所有纵坐标为2的 点的集合,其图形为两条直线. (4)集合G={ x | x=2k-1, k∈Z}与 集合H={y | y=2k+3,k∈Z} 不仅元素采用的字母不同,而且式子的表达式也不一样,但它们 的含义并无区别,均为奇数集. 思考:若将(4)中的条件“k∈Z”改为“k∈N”呢?

例1 :已知x∈R,集合{x2+2x-2=0}的元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 例2: 已知x∈R,集合{x | x2+2x-2=0}的元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
例 3 已知 A={x| y= x2-2x-3 },集合 B={y | y = x2-2x-3 },求 A∩B.
解:A={x| x≤-1或x≥3},B={y| y≥0},故知 A∩B={x| x≥3} 例4: 集合A={y | y=x2-1}, B={y | y=x+1},那么有 A. A∩B={-1,2} B. A∩B=B C. A∩B=A D. A∩B={(-1,0),(2,3)} 思考:若在例4中将元素的一般形式y改为(x,y),即A={(x,y) | y=x2-1}, B={(x,y) | y=x+1},则A∩B如何?

1 1 2 例 5. 已知集合 M 是方程 |x-y|+ 2y+z +(z- ) =0 的解集. 2 2 1 1 1 N={- ,- , ,1},则集合 M 与 N 满足( 4 2 2 A.M?N B.N?M C.M∩N=φ )

1 1 D.M∩N={- , } 4 2

答案:C 例6: 集合A={函数y=x2+2bx 的最小值}, B={函数y=2x+b , x∈[-1,1] 的最小值},b∈R. 求A∩B. 解: 设v是函数y=x2+2bx 的最小值 , u是函数y=2x+b x∈[-1,1] 的最小值,则 A={v| v=-b2 }=(-∞,0],B={u | u=b-2 }=R ∴ A∩B=(-∞,0].

三、元素与集合之间的关系的判定
例1 已知集合 M={x| x=m+n 5 ,m、n∈N}. (1) 3 是否属于集合 M? (2) 3 是否属于这个集合? 1 (3) 是否属于这个集合? 9-4 5 1 (4) 是否属于这个集合? 4 5-9 (5) 若 a∈M,b∈M,则 a+b 是否属于这个集合?
(3) (4) 9+4 5 1 1 = =9+ 5 ,故 ∈M. 9-4 5 (9-4 5)(9+4 5) 9-4 5 1 =-9- 5 ,由 m、n 是自然数可知,集合 M 中 4 5-9

1 没有这样的元素,故 不是集合 M 中的元素. 4 5-9

四、应用空集的概念解题 例1 空集?与{0}的关系是 A.{?}=? B.?∈{0} C.{0}=? D.??{0} 例2 设M={A的子集},N={B的子集},若A∩B=φ, 那么,M∩N=_______. 例3 已知A={x | 1-c<x<1+c}, B={x | x ≥-2}, 且A∩B=φ,则c的取值范围是______. 例4 已知集合A={x | x2+x-6=0},B={x | mx-1 =0},且B ? A,求m取值的集合. 答案:m=0或m=1/2或m=-1/3 例5 已知A={x | x2+(p+2)x+1=0, x∈R },若 A∩R+=φ,求实数p的取值范围.

五、集合之间的关系的判定 1.设集合A={x | x=2m,m∈Z},B={x | x=4m+2, m∈Z},则下列关系正确的是 A.A ? B B.A ? B C.A=B D.A ? B
2. 若A={a|a=3n+1,n∈Z},B={b|b=3n-2,n∈Z}, C={c|c=6n+1,n∈Z},则A、B、C间的关系为( ) (A) A=B?C (B) A?B?C (C)A=B?C (D)A?B=C 3. 已知集合P={x|x=n,n∈Z},Q={x|x=n/2,n∈Z} S={x|x=n+1/2,n∈Z},则下列关系式中正确的是 A.Q?P B.Q?S C.Q=P∩S D.Q=P∪S

六、全集和补集 一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有 不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集 (或余集),记作?SA,即?SA={x | x∈S,且x?A}。 容易看出:A∩?SA =?,A∪?SA =S.

例1 已知抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+ a2 ,y=x2 +2ax-2a中至少有一条与x轴相交,试求 实数a的取值范围.

例2: 已知全集U={1,2,3,4,5},A={x∈R | x2- 5x+q=0},求?UA及q的值。 分析:由U是全集,可知A?U。但A是表示方程的解集, 故A中最多只能有两个元素。 又方程x2-5x+q=0的根必是U中的元素。结合根与系 数的关系可知,A中有一个元素的情况不可能。 故A=?或A中必有两不等实根,且两元素之和为5。 所以A的可能情况为A=?、A={ 1,4}、A={2,3} (1)当A=?时,?UA=U,此时,25-4q<0,知q> 25/4,即q的值为大于25/4的实数; (2)当A={1,4}时,?UA={2,3,5}, 此时q=1· 4=4; (3)当A={2,3}时,?UA={1,4,5}, 此时q=2· 3=6。

例3: 已知A={x | x2-mx+m2-19=0},B= {x | log2(x2-5x+8)=1},C={x | x2+2x-8=0} 且A∩B??,A∩C=?,求m的值. 解: ∵B={x | log2(x2-5x+8)=1}={1,3}, C={x | x2+2x-8=0}={2,-4}, 由A∩B?? 知2,3两数中有适合方程x2-mx+m2- 19=0的根, 但A∩C=?,故-4,2?A,从而可断定3∈A. 于是 32-3m+m2-19=0, 解得 m=5或m=-2. 当m=5时,A={2,3},A∩B={2,3}??, 但A∩C={2}≠?,故m=5不合题意. 当m=-2时,A={3,5},A∩B={3}?? 且A∩C=?,∴ 所求m=-2.


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