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(数学)分段函数面面观


分段函数面面观 一、分段函数的定义 定义域分成若干区间,在各个区间内,函数的对应关系不同,这样的函数 称为分段函数. 注意:分段函数表示的是一个函数,不是几个函数的组合,只不过它有多个 对应关系. 二、分段函数的定义域及值域 依据函数定义域、 值域的定义,分段函数的定义域应是所有自变量取值区 间的并集,值域应是各段函数值取值区间的并集.最大(小)值就是函数值中最 大(小)的那一个

. 例1 ( x ≤ 0), ?2 x ? 3 ? 2 设函数 y ? ? x ? 2 x ? 3(0 ? x ≤ 1), 求它的定义域、值域及最值. ?? x ? 5 (1 ? x ≤ 5), ? 0] ? (0, 1] ? (1 , 5] ? (??, 5] , 解:∵ (??, 5] . ∴函数的定义域为 (??, 0] 上是增函数,∴ y ≤ 3 ; 又∵当 x ≤ 0 时, y ? 2 x ? 3 ,它在 (??, 1] 上是增函数,∴ 3 ? y ≤ 6 ; 当 0 ? x ≤1 时, y ? x2 ? 2x ? 3 ,它在 (0, , 5] 上是减函数,∴ ?10 ≤ y ? ?6 . 当 1 ? x ≤ 5 时, y ? ? x ? 5 ,它在 (1 6] ,函数无最小值,最大值为 6. ∴函数的值域为 (??, 三、分段函数的解析式 求分段函数的解析式要遵循“先分(求)后总(求)”的原则. 例 2 已知 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3,将 f ( x) 在 [m,m ? 1] 上的最小值记为 g (m) ,试求 g (m) 的表达式. 分析: 以函数 f ( x) 的对称轴 x ? 1 与区间 [m,m ? 1] 的位置关系分三种情况 讨论, g (m) 的取值因区间的不同而不同,因此,它应是关于 m 的一个分段函数. 解:当对称轴在区间左侧,即 m ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 在 [m,m ? 1] 上为增函数, g (m) ? f (m) ? m2 ? 2m ? 3 ; 当对称轴在区间内时,即 0 ≤ m ≤ ? 时, g (m) ? f (1) ? 2 ; 当对称轴在区间的右侧时, 即m? 0, 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 在 [m,m ? 1] 上 1 为减函数, g (m) ? f (m ? 1) ? m2 ? 2 . ?m 2 ? 2 (m ? 0), ? ? 0 ≤ m ≤ 1?, 综上所述, g (m) ? ?2 ?m 2 ? 2m ? 3(m ? 1). ? 四、分段函数的单调性和奇偶性 判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断,合并作答”的原则. 例3 2 ? ? x ? x( x ? 0), 判断函数 f ( x) ? ? 2 的奇偶性. x ? x ( x ≤ 0) ? ? 解:先判断单调性. ? 1? ?1 ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? x ,在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ? ? ? 上是增函数; ? 2? ?2 ? 1? ? ? 1 ? 当 x ≤ 0 时, f ( x) ? x2 ? x ,在 ? ??, ? ? 上是减函数,在 ? ? , 0 上是增函 2? ? ? 2 ? ? 数. 1? ? 1? ? ? 1 ? ?1 ? ∴函数 f ( x) 在 ? ??, ? ? 和 ? 0, ? 上 是减函数,在 ? ? , 0? 和 ? , ? ? ? 上是 2? ? 2? ? ? 2 ? ?2 ? 增函

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