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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.1.1两角差的余弦公式》评估训练


双基达标

?限时 20 分钟?
). 2 D.- 2

1.计算 cos 80° 20° cos +sin 80°sin 20° · 的值为( 2 A. 2 答案 C π? π? 3 ? ? 2.设 α∈?0,2?,若 sin α=5,则 2cos?α-4?=( ? ? ? ? 7 A.5 1 B.5 7 C.-5 3 B. 2 1 C.2

). 1 D.-5

π? 3 4 ? 解析 ∵α∈?0,2?,sin α=5,∴cos α=5. ? ? π? π π? ? ? ∴ 2cos?α-4?= 2?cos αcos 4+sin αsin 4? ? ? ? ? 4 3 7 =cos α+sin α=5+5=5. 答案 A 5 10 3.(2012· 齐齐哈尔高一检测)若 cos(α-β)= 5 ,cos 2α= 10 ,并且 α、β 均为锐 角,且 α<β,则 α+β 的值为( π A.6 π B.4 ). 3π C. 4 5π D. 6

π 解析 ∵0<α<β<2, π ∴-2<α-β<0,0<2α<π, ∴由 cos(α-β)= 5 2 5 ,得 sin (α-β)=- , 5 5

10 3 10 由 cos 2α= 10 ,得 sin 2α= 10 . ∴cos(α+β)=cos[2α-?α-β?] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) 10 5 10 ? 2 5? 2 ?=- . = 10 × 5 +3 10 ×?- 2 5 ? ?

3π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= 4 . 答案 C 1 3 4.计算2sin 60° 2 cos 60° + =________. 解析 原式=sin 30° 60° sin +cos 30° 60° cos 3 =cos(60° -30° )=cos 30° 2 . = 答案 3 2

?π ? 1 5.已知 cos ?3-α?=8,则 cos α+ 3sin α 的值为________. ? ? π π ?π ? 解析 cos?3-α?=cos 3cos α+sin 3sin α ? ? 1 3 =2cos α+ 2 sin α 1 1 =2(cos α+ 3sin α)=8, 1 故 cos α+ 3sin α=4. 答案 1 4

4 5 6.已知 sin α=-5,sin β=13,且 180° <α<270° ,90° <β<180° ,求 cos(α-β). 4 解 因为 sin α=-5,180° <α<270° , 3 所以 cos α=-5. 因为 sin β= 5 12 ,90° <β<180° ,所以 cos β=- . 13 13

所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β ? 3? ? 12? ? 4? 5 =?-5?×?-13?+?-5?×13 ? ? ? ? ? ? 36 20 16 =65-65=65.

综合提高

?限时 25 分钟?

7.下列式子中正确的个数是(

)

π ①cos(α-β)=cos α-cos β;②cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β;③cos(2-α)= π cos α;④cos(2+α)=cos α. A.0 B.1 C.2 D.3

解析 ①②③④都错. 答案 A 2 8.不满足 sin αsin β= 2 -cos αcos β 的一组 α,β 值是( π π A.α=2,β=4 2π π C.α= 3 ,β=12 )

2π 5π B.α= 3 ,β=12 π π D.α=4,β=2

2 2 解析 因为 sin αsin β= 2 -cos αcos β,所以 cos(α-β)= 2 ,经检验 C 中的 α, β 不满足,故选 C. 答案 C 2 5 9.若 α 为锐角,且 cos α= 5 ,则 cos 解析 ?π ? ?4-α?=________. ? ?

2 5 5 π ?π ? 由 α 为锐角,且 cos α= 5 ,可得 sin α= 5 .于是 cos?4-α?=cos 4cos α ? ?

π 2 2 5 2 5 3 10 +sin αsin 4= 2 × 5 + 2 × 5 = 10 . 答案 3 10 10

π? 12 π? 3 ?3π ? ? ? 10. 已知 α, ? 4 ,π?, (α+β)=-5, ?β-4?=13, cos?α+4?=________. β∈ sin sin 则 ? ? ? ? ? ? ?3π ? 解析 ∵α,β∈? 4 ,π?, ? ? π ?π 3π? ?3π ? ∴α+β∈? 2 ,2π?,β-4∈?2, 4 ?, ? ? ? ? π? 12 3 ? 又 sin(α+β)=-5,sin?β-4?=13, ? ? 4 ∴cos(α+β)= 1-sin2?α+β?=5,

π? ? cos?β-4?=- ? ?

π? 5 ? 1-sin2?β-4?=-13. ? ?

π? ? ? ? π?? ∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? π? π? ? ? =cos(α+β)cos?β-4?+sin(α+β)sin?β-4? ? ? ? ? 4 ? 5 ? ? 3? 12 56 =5×?-13?+?-5?×13=-65. ? ? ? ? 56 答案 -65 4 16 11.已知 α、β 为锐角,且 cos α=5,cos(α+β)=-65,求 cos β 的值. π 解 ∵0<α,β<2,∴0<α+β<π. 16 63 由 cos(α+β)=-65,得 sin(α+β)=65. 4 3 又∵cos α=5,∴sin α=5. ∴cos β=cos[?α+β?-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ? 16? 4 63 3 5 =?-65?×5+65×5=13. ? ? 12 12 π 3π 12. (创新拓展)已知 cos (α-β)=-13, cos(α+β)=13, 2<α-β<π,2 <α+β<2π, 且 求角 β 的值. 12 π 解 由 cos (α-β)=-13,且2<α-β<π, 5 得到 sin(α-β)=13, 12 3π 由 cos(α+β)=13,且 2 <α+β<2π, 5 得到 sin(α+β)=-13. 12 12 5 5 于是 cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=13×(-13)+(-13)×13=-1. π π 3π 由于2<α-β<π,所以-π<β-α<-2,与 2 <α+β<2π 相加得到,

π 3π π <2β< 2 .故 2β=π,从而 β 的值为2. 2


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