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湖南省永州市宁远县第一中学2015-2016学年高二理科数学10月月考试题


2015 年高二年级 10 月月考理科数学 试卷 ....
时量:120 分钟 分值:150 分

一、选择题:(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.下列有关命题的说法正确的是( A 命题“若 x
2



= 1 ,则 x

= 1 ”的否命题为:“若 x 2 = 1 ,则 x ? 1 ”;

B 命题“ $ x ?

R , x2 + x + 2 < 0 ”的否定是“ " x ? R , x2 + x + 2 ? 0 ”;
2

C 命题“若 x = y ,则 x

= y 2 ”的逆否命题是假命题 ;

D 已知 m、n ? N ,命题“若 m +n 是奇数,则 m 、n 这两个数中一个为奇数,另一个为 偶数”的逆命题为假命题. 2.如果命题 p∨q 与命题 p 都是真命题,那么( ) A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定为真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真假相同 3.已知命题甲为:x>0;命题乙为 x > 0 ,那么( A.甲是乙的充要条件 C.甲是乙的必要不充分条件 4.椭圆 2x +y =8 的焦点坐标是( A.(±2,0) C.(±2 3,0) 5.下列命题中正确的是( )
2 2

2

) B.甲是乙的充分非必要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件

) B.(0,±2) D.(0,±2 3)

A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题 1 π B.“sinα = ”是“α = ”的充分不必要条件 2 6 C.l 为直线,α ,β 为两个不同的平面,若 l⊥β ,α ⊥β ,则 l∥α D.命题“? x∈R,2 >0”的否定是“? x0∈R,2x0≤0” 6.经过点 P(3,-1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( 2 2 2 2 A.x -y =10 B.y -x =10 2 2 2 2 C.x -y =8 D.y -x =8 7.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 1 A.y=± x 4 1 B.y=± x 3 )
x

x2 y2 a b

5 ,则 C 的渐近线方程为( 2 D.y=±x

)

1 C.y=± x 2

1

8.在一次跳伞训练中,甲乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围内” , 命题 q 是“乙降落在指定范围内” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内” 可表示为( A. (?p) ? (?q) ) B. p ? (?q) C. (?p) ? (?q) D. p ? q 距离

9.记定点 M ( ,3) 与抛物线 y 2 = 2 x 上的点 P 之间的距离为 d1,P 到抛物线的准线 l 为 d2,则 d1+d2 的最小值为( A. 13 B. 2 13 ) C.13 D.3

5 2

10.椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的四个顶点 A,B,C,D 构成的四边形为菱形,若菱形 ABCD a 2 b2
) C.

的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( A.

3 5 2

B.

3+ 5 8
2

5-1 2

D.

5 +1 4

11.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项的 命题中为假命题的是( A.? x∈R, f(x)≤f(x0) C.? x∈R, f(x)≤f(x0) ) B.? x∈R, f(x)≥f(x0) D.? x∈R, f(x)≥f(x0)

12.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆上一点且

x2 y2 a b

PF1·PF2=c2,则该椭圆的离心率的取值范围是(





) D. ? 0,

轹3 ,1÷ A. ê ê 3 ÷ 滕

B. 犏 ,

轾 1 1 犏 3 2 臌

轾3 2 C. 犏 , 犏3 2 臌

纟 2 ú ? 2 ú 棼

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 13.抛物线 y = 4 x 的准线方程为_____________________
2

14.令 p(x):ax +2x+1>0,如果对? x∈R,p(x)是真命题,则 a 的取值范围是________. 15. 若抛物线 y =2x 上 A, B 两点到焦点的距离之和为 5, 则线段 AB 的中点的横坐标是______. 16.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离比到直线 x=-2 的距离小 1.若 机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是________.
2

2

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2

17.(本小题满分 10 分)
2 2 .已知 p :1 是集合 x x < a 中的元素, q :2 是集合 x x < a 中的元素。

{

}

{

}

当 p或q 是真命题时,求 a 的取值范围;

18.(本小题满分 10 分) 已知 p: x -8x-20>0, q:( x - 1 - m)( x - 1 + m) > 0 (m>0), 若 p 是 q 的充分不必要条件, 求实数 m 的取值范围.
2

19.(本小题满分 12 分) (1)椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5 ,求此椭圆的标准方程; (2)已知双曲线 2 x2 - y 2 = k 的焦距等于 6,求 k 的值。

20.(本小题满分 12 分) 已知定点 F (

p p , 0)( p > 0) ,定直线 l : x = - ,动点 M ( x, y) 到定点 F 的距离等于到定直线 2 2

l 的距离。
(1) 求动点 M 的轨迹方程; (2) 动点 M 的轨迹上的点到直线 3x + 4 y +12 = 0 的距离的最小值为 1,求 p 的值。

3

21.(本小题满分 13 分) 如图所示,从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂 线,垂足为焦点 F1,若椭圆长轴一个端点为 A,短轴一个端点 为 B,且 OM∥AB. (1)求椭圆离心率 e; (2)若 F2 为椭圆的右焦点,直线 PQ 过 F2 交椭圆于 P,Q 两点, 且 PQ⊥AB,当 SDF1PQ =20 3时,求椭圆方程.

x2 y2 a b

22.(本小题满分 13 分) 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆, 离心率 e= (1)求椭圆的标准方程; (2)若过点 B(2,0)的直线 l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点 E, F(E 在 B, F 之间), 试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围. 2 2 , 是经过抛物线 x =4y 的焦点. 2

一、选择 1-5 二、填空题 13. y ? ?

BCBBD

高二理科数学 10 月月考参考答案 6-10 CCAAC 11-12 C C

1 16

14. a ? 1

15. 2

16.

k ? 1或k ? ?1

三、解答题 17. a ? 1 19.. (1)

18. 0 ? m ? 3 (2)

x2 y2 ? y 2 ? 1或x 2 ? ?1 4 4

k ? ?6

4

20. (1) y 2 ? 2 px

(2) p ?

21 51 或p ? 8 8
b2 a

21. (1)设 M(-c,y),A(a,0),B(0,b),则有 2+ 2=1.解得 y= .

c2 y2 a b

b2 b a 2 ∵AB∥OM,∴kAB=kOM,∴- = ,得 b=c,则 a= 2b= 2c,∴e= . a -c 2
(2)∵kAB=- 1

kPQ

,kAB=-

2 ,∴kPQ= 2. 2

设 lPQ:y= 2(x-c)= 2(x-b),x=

y

+b . 2 ②



x2 y2 2 2 2 椭圆方程 2+ 2=1,即 x +2y =2b . 2b b

由①代入②得

5 2 Δ 4 3 y + 2by-b2=0,Δ =2b2+10b2=12b2,∴|yQ-yP|= = b. 2 5 5 2 1 1 4 3 4 3 2 又 S△F1PQ= |yQ-yP|·|F1F2|= · b·2b= b =20 3, 2 2 5 5 ∴b =25,则 a =50.∴椭圆方程为 + =1. 50 25
2 2

x2

y2

x2 y2 c 2 22.(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 e= = . a b a 2
0 1 2 ∵抛物线 x =4y 的焦点为(0,1),∴ 2+ 2=1,
2 2

a

b

解得 a =2,b =1.

2

2

∴椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)如下图所示, 由题意知直线 l 的斜率存在且不为零, 设 l 的方程为 y=k(x-2)(k≠0)

x2

2

5

将之代入 +y =1,整理得(2k +1)x -8k x+(8k -2)=0. 2
2 1 由 Δ >0 得 0<k < . 2

x2

2

2

2

2

2

? ? 设 E(x ,y ),F(x ,y ),则? 8k -2 ? ?x x =2k +1
1 1 2 2 2 2 1 2

8k x1+x2= 2 2k +1

2



令λ =

S△OBE |BE| ,则 λ = . S△OBF |BF|

→ → x1-2 由此得BE=λ BF,λ = ,且 0<λ <1. x2-2 -4 由④得(x1-2)+(x2-2)= 2 . 2k +1 (x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=
2

2 , 2 2k +1

λ 2k +1 4λ 1 2 ∴ ,即 k = 2= 2- . ?1+λ ? 8 ?1+λ ? 2 4λ 1 1 2 1 ∵0<k < ,∴0< 2- < . 2 ?1+λ ? 2 2 解得 3-2 2<λ <3+2 2. 又∵0<λ <1,∴3-2 2<λ <1. ∴△OBE 和△OBF 面积之比的取值范围是(3-2 2,1).

6


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