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江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题


南京市 2017 届高三年级学情调研


注意事项:



2016.09

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目的 ... 答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡 相应位置 上. . .. .... 1.已知集合 A={0,1,2},B={x|x2-x≤0},则 A∩B= 2.设复数 z 满足(z+i)i=-3+4i (i 为虚数单位), 则 z 的模为 ▲ .
0.04 0.03 0.01 40 50 60 70 80 时速/km 频率 组距





3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况, 现随机抽

测了通过这段公路的 200 辆汽车的时速, 所得数据均 0.02 在区间[40,80]中,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的 200 辆汽车中,时速在区间[40,60)内的汽 车有 ▲ 辆.

(第 3 题) 开始 k←1 S←1

π 4.若函数 f(x)=sin(ωx+ ) (ω>0)的最小正周期为 π, 6 π 则 f( )的值是 3 ▲ . ▲ .

5.右图是一个算法的流程图,则输出 k 的值是

S←2S+k S>80 Y 输出 k

k←k+1 N

6.设向量 a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b. 若 a∥c,则实数 x 的值是 ▲ .

7.某单位要在 4 名员工(含甲、乙两人)中随机选 2 名到某、地 出差,则甲、乙两人中,至少有一人被选中的概率是 ▲ .

结束 (第 5 题)

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: 2 - =1(a>0)的一条渐近线与直线 y=2x+1 平行, a 4 则实数 a 的值是 ▲ .

9.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=16 相交于 A, B 两点,且△ABC 为直角三角形,则实数 a 的值是 ▲ .

10.已知圆柱 M 的底面半径为 2,高为 6;圆锥 N 的底面直径和母线长相等.若圆柱 M 和圆锥 N 的 体积相同,则圆锥 N 的高为 ▲ .

11.各项均为正数的等比数列{an},其前 n 项和为 Sn.若 a2-a5=-78,S3=13,则数列{an}的通项 公式 an= ▲ .

3 ? ?12x-x , x≤0, 12.已知函数 f(x)=? 当 x∈(-∞,m] 时,f(x)的取值范围为 [-16,+∞),则实 x>0. ?-2x, ?

数 m 的取值范围是



. ▲ .

→ 1→ → → 13.在△ABC 中, 已知 AB=3, BC=2, D 在 AB 上, AD = AB . 若 DB · DC =3, 则 AC 的长是 3

1 1 4 .已 知 f ( x ) , g ( x ) 分别 是定 义在 R 上的 奇函 数和 偶函 数, 且 f ( x ) + g ( x ) = ( ) x .若存在 2 1 x0∈[ ,1],使得等式 af(x0)+g(2x0)=0 成立,则实数 a 的取值范围是 2 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答 题卡 指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 . .. ..... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆 3 10 2 5 交于点 A,B.若点 A 的横坐标 是 ,点 B 的纵坐标 是 . ... ... 10 5 (1)求 cos(α-β)的值; (2)求 α+β 的值.
O B A x

y

(第 15 题)

16. (本小题满分 14 分)

如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M,N 分别为线段 A1B,AC1 的中点. (1)求证:MN∥平面 BB1C1C;
B D A

(2)若 D 在边 BC 上,AD⊥DC1,求证:MN⊥AD.

C

M

N C1

B1 A1 (第 16 题)

17. (本小题满分 14 分) 如图,某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心,AB 为直径),现计划对其 进行改建.在 AB 的延长线上取点 D,OD=80 m,在半圆上选定一点 C,改建后的绿化区域由扇形 区域 AOC 和三角形区域 COD 组成,其面积为 S m2.设∠AOC=x rad. (1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x),并指出 x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积 S 取得最大值.
C

A

O

B

D

(第 17 题)

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P a b → → 为椭圆上一点(在 x 轴上方) ,连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q,设PF1=λF1Q. 3 (1)若点 P 的坐标为 (1, ),且△PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程; 2 (2)若 PF2 垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 1 2 e∈[ , ],求实数 λ 的取值范围. 2 2
F1 Q O F2 x y P

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分)

已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 a2·a3=15,S4=16. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)数列{bn}满足 b1=a1,bn+1-bn= . an·an+1 ①求数列{ bn}的通项公式; ②是否存在正整数 m,n(m≠n),使得 b2,bm,bn 成等差数列?若存在,求出 m,n 的值; 若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R. (1)当 a=b=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)当 b=2a+1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)当 a=1,b>3 时,记函数 f(x)的导函数 f ′(x)的两个零点是 x1 和 x2 (x1<x2). 3 求证:f(x1)-f(x2)> -ln2. 4

南京市 2017 届高三年级学情调研
数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空 ... 格内.考试结束后,交回答题卡. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指 . ... 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为 圆 O 的一条弦,C 为圆 O 外一点. CA,CB 分别交圆 O 于 D,E 两点. 若 AB=AC,EF⊥AC 于点 F,求证:F 为线段 DC 的中点.
B

2016.09

O

E

B.选修 4—2:矩阵与变换
A D F C

已知矩阵 A=?

? 2 -2? ? 1 0? ?,B=? ? ,设 M=AB. ? 0 -1? ? 1 -3?

(第 21 题 A)

(1)求矩阵 M ; (2)求矩阵 M 的特征值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 已知曲线 C 的极坐标方程为 ?=2cosθ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(θ+ )=m.若直线 l 与曲 6 线 C 有且只有一个公共点,求实数 m 的值.

D.选修 4—5:不等式选讲 解不等式 |x-1|+2|x|≤4x.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出 . ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是线段 PC 的中点.
P

(1)求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小; (2)若点 F 在线段 PB 上,使得二面角 F-DE- B 的正弦值为 3 PF ,求 的值. 3 PB
F D A (第 22 题) B C E

23. (本小题满分 10 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投 2 2 球 3 次时结束. 设甲每次投篮命中的概率为 , 乙每次投篮命中的概率为 , 且各次投篮互不影响. 现 5 3 由甲先投. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望.

南京市 2017 届高三年级学情调研
数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.) 1.{0,1} 5 7. 6 13. 10 2.2 5 8.1 3.80 9.-1 1 4. 2 10.6 5.5 11.3n
-1

6.4 12.[-2,8]

5 14.[2 2, 2] 2

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内) 15. (本小题满分 14 分) 3 10 解: 因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A,且点 A 的横坐标是 , 10 3 10 所以,由任意角的三角函数的定义可知,cosα= , 10 从而 sinα= 1-cos2α= 10 . 10 …………………… 2 分

2 5 因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B,且点 B 的纵坐标是 , 5 2 5 5 所以 sinβ= ,从而 cosβ=- 1-sin2β=- . 5 5 (1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = 3 10 5 10 2 5 2 ×(- )+ × =- . 10 5 10 5 10 …………………… 8 分 …………………… 4 分

(2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = 10 5 3 10 2 5 2 ×(- )+ × = . 10 5 10 5 2 …………………… 11 分

π 3π 因为 α 为锐角,β 为钝角,故 α+β∈( , ), 2 2 3π 所以 α+β= . 4 16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)如图,连结 A1C. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 为平行四边形. 又因为 N 为线段 AC1 的中点, 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N, 即 A1C 经过点 N,且 N 为线段 A1C 的中点. 因为 M 为线段 A1B 的中点, 所以 MN∥BC. 又 MN?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C. (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. …………………… 8 分 …………………… 6 分 ……………… 4 分 ……………… 2 分
B1 A1 (第 16 题) C1 M A B D

…………………… 14 分

C

N

因为 AD⊥DC1,DC1?平面 BB1C1C,CC1?平面 BB1C1C,CC1∩DC1=C1, 所以 AD⊥平面 BB1C1C. 又 BC?平面 BB1C1C,所以 AD⊥BC. 又由(1)知,MN∥BC,所以 MN⊥AD. 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,∠AOC=x rad, x·OA2 所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC= =800x,0<x<π. 2 在△ COD 中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x, 1 所以△ COD 的面积 S△ COD= ·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx. 2 …………………… 4 分 从而 S=S△ COD+S 扇形 AOC=1600sinx+800x,0<x<π. (2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π. 1 S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+ ). 2 2π 由 S′(x)=0,解得 x= . 3 …………………… 8 分 …………………… 6 分 …………………… 2 分 …………………… 10 分 …………………… 12 分 …………………… 14 分

2π 2π 从而当 0<x< 时,S′(x)>0;当 <x<π 时, S′(x)<0 . 3 3 2π 2π 因此 S(x)在区间(0, )上单调递增;在区间( ,π)上单调递减. …………………… 11 分 3 3 2π 所以 当 x= ,S(x)取得最大值. 3 2π 答:当∠AOC 为 时,改建后的绿化区域面积 S 最大. 3 18. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 F1,F2 为椭圆 C 的两焦点,且 P,Q 为椭圆上的点, 所以 PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2 的周长为 4a. 由题意,得 4a=8,解得 a=2. 3 1 9 因为点 P 的坐标为 (1, ),所以 2+ 2=1, 2 a 4b 解得 b2=3. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 …………………… 5 分 …………………… 2 分 …………………… 14 分

(2)方法一:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0.设 Q(x1,y1).
2 c2 y0 b2 b2 因为 P 在椭圆上,所以 2+ 2=1,解得 y0= ,即 P(c, ). a b a a

…………………… 7 分

b2 → → 因为 F1(-c,0),所以PF1=(-2c,- ),F1Q=(x1+c,y1). a b2 → → 由PF1=λF1Q,得-2c=λ(x1+c),- =λy1, a λ+2 λ+2 b2 b2 解得 x1=- c,y1=- ,所以 Q(- c,- ). λ λa λ λa λ+2 2 2 b2 因为点 Q 在椭圆上,所以( ) e + 2 2=1, λ λa 即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1, 因为 λ+1≠0, 3e2+1 4 所以(λ+3)e2=λ-1,从而 λ= = -3. 1-e2 1-e2 1 2 1 1 7 因为 e∈[ , ],所以 ≤e2≤ ,即 ≤λ≤5. 2 2 4 2 3 7 所以 λ 的取值范围为[ ,5]. 3 方法二:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0.
2 c2 y0 b2 b2 因为 P 在椭圆上,所以 2+ 2=1,解得 y0= ,即 P(c, ). a b a a

…………………… 11 分

…………………… 14 分

…………………… 16 分

…………………… 7 分

b2 因为 F1(-c,0),故直线 PF1 的方程为 y= (x+c). 2ac

?y=2ac(x+c), 由? x y 得(4c +b )x +2b cx+c (b -4a )=0. + = 1 , ?a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2

b2 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c, ).设 Q(x1,y1), a 则 x1+c=- 分 → → 因为PF1=λF1Q, 所以 λ= 分 1 2 1 1 7 因为 e∈[ , ],所以 ≤e2≤ ,即 ≤λ≤5. 2 2 4 2 3 7 所以 λ 的取值范围为[ ,5]. 3 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 d>0.
?(a1+d)(a1+2d)=15, 由 a2·a3=15,S4=16,得? ?4a1+6d=16, ?a1=1, ?a1=7, 解得? 或 ? (舍去) ?d=2, ?d=-2.

2b2c 2b2c . 2 2,即-c-x1= 2 4c +b 4c +b2

…………………… 11

4c2+b2 3c2+a2 3e2+1 2c 4 = = 2 2 == = -3. 2 b -c-x1 a -c 1-e2 1-e2

…………………… 14

…………………… 16 分

所以 an=2n-1. 1 (2)①因为 b1=a1,bn+1-bn= , an·an+1 所以 b1=a1=1, 1 1 1 1 1 bn+1-bn= = = ( - ), an·an+1 (2n-1)·(2n+1) 2 2n-1 2n+1 1 1 即 b2-b1= (1- ), 2 3 11 1 b3-b2= ( - ), 23 5 …… 1 1 1 bn-bn-1= ( - ), (n≥2) 2 2n-3 2n-1 n-1 1 1 累加得:bn-b1= (1- )= , 2 2n-1 2n-1

…………………… 4 分

…………………… 6 分

…………………… 9 分

n-1 n-1 3n-2 所以 bn=b1+ =1+ = . 2n-1 2n-1 2n-1 b1=1 也符合上式. 3n-2 故 bn= ,n∈N*. 2n-1 ②假设存在正整数 m、n(m≠n),使得 b2,bm,bn 成等差数列, 则 b2+bn=2bm. 3n-2 3 4 1 3 1 又 b2= ,bn= = - ,b = - , 3 2n-1 2 4n-2 m 2 4m-2 4 3 1 3 1 1 1 1 所以 +( - )=2( - ),即 = + , 3 2 4n-2 2 4m-2 2m-1 6 4n-2 7n-2 9 化简得:2m= =7- . n+1 n+1 当 n+1=3,即 n=2 时,m=2, (舍去) ; 当 n+1=9,即 n=8 时,m=3,符合题意. 所以存在正整数 m=3,n=8,使得 b2,bm,bn 成等差数列. 20. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 a=b=1,所以 f(x)=x 2-x+lnx, 1 从而 f ′(x)=2x -1+ . x 因为 f(1)=0,f ′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-0=2(x-1), 即 2x-y-2=0. (2)因为 b=2a+1,所以 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,
2 1 2ax -(2a+1)x+1 (2ax-1)(x-1) 从而 f ′(x)=2ax-(2a+1)+ = = ,x>0. ………… 5 分 x x x

…………………… 11 分

…………………… 14 分

…………………… 16 分

…………………… 3 分

当 a≤0 时, x∈(0,1)时,f ′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, 所以,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.…………………… 7 分 1 当 0<a< 时, 2 由 f ′(x)>0 得 0<x<1 或 x> 1 1 ,由 f ′(x)<0 得 1<x< , 2a 2a

1 1 所以 f(x)在区间(0,1)和区间( ,+∞)上单调递增,在区间(1, )上单调递减. 2a 2a 1 当 a= 时, 2 因为 f ′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号) ,

所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 1 当 a> 时, 2 1 1 由 f ′(x)>0 得 0<x< 或 x>1,由 f ′(x)<0 得 <x<1, 2a 2a 1 1 所以 f(x)在区间(0, )和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( ,1)上单调递减. 2a 2a …………………… 10 分 (3)方法一:因为 a=1,所以 f(x)=x2-bx+lnx,从而 f ′(x)= 2x2-bx+1 (x>0). x

1 由题意知,x1,x2 是方程 2x2-bx+1=0 的两个根,故 x1x2= . 2 1 3- b 记 g(x) =2x2-bx+1,因为 b>3,所以 g( )= <0,g(1)=3-b<0, 2 2 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 bxi=2x2 i +1 (i=1,2). 2 x1 x1 2 2 2 f(x1)-f(x2)=(x2 1-x2)-(bx1-bx2)+lnx =-(x1-x2)+lnx . 2 2 1 1 2 因为 x1x2= ,所以 f(x1)-f(x2)=x2 2-4x2-ln(2x2),x2∈(1,+∞). 2 2 t 1 令 t=2x2 2∈(2,+∞),φ(t)=f(x1)-f(x2)=2-2t-lnt. 因为 φ′(t)= (t-1)2 ≥0,所以 φ(t)在区间(2,+∞)单调递增, 2t2 …………………… 16 分 ……………… 14 分 …………………… 12 分

3 3 所以 φ(t)>φ(2)= -ln2,即 f(x1)-f(x2)> -ln2. 4 4
2

2x2-bx+1 方法二:因为 a=1,所以 f(x)=x -bx+lnx,从而 f ′(x)= (x>0). x 由题意知,x1,x2 是方程 2x2-bx+1=0 的两个根. 1 3- b 记 g(x) =2x2-bx+1,因为 b>3,所以 g( )= <0,g(1)=3-b<0, 2 2 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 f(x)在[x1,x2]上为减函数. 2 1 1 b 1 3 b 所以 f(x1)-f(x2)>f( )-f(1)=( - +ln )-(1-b)=- + -ln2. 2 4 2 2 4 2 3 b 3 因为 b>3,故 f(x1)-f(x2)>- + -ln2> -ln2. 4 2 4 …………………… 16 分 …………………… 12 分

南京市 2017 届高三年级学情调研
数学附加参考答案及评分标准
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指 定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:因为点 A、D、E、B 在圆 O 上,即四边形 ADEB 是圆内接四边形, 所以∠B=∠EDC. 因为 AB=AC,所以∠B=∠C. 所以∠C=∠EDC,从而 ED=EC. 又因为 EF⊥DC 于点 F,所以 F 为线段 DC 中点. B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)M=AB=? ……………………… 3 分 ……………………… 5 分 ……………………… 7 分 ……………………… 10 分

? 2 -2? ? 1 0? ? 2 2? . ? ? ? = ? ? ? 1 3? ? 1 -3? ? 0 -1?

……………………… 5 分

(2)矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)= ?

? λ-2 -2 ? ? =(λ-2)(λ-3)-2 ? -1 λ-3?

令 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=4, 所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 C 的极坐标方程为 ?=2cosθ, 化为直角坐标方程为 x +y =2x.
2 2 即(x-1) +y =1,表示以(1,0)为圆心,1 为半径的圆. 2 2

……………………… 10 分

……………………… 3 分

π 1 3 直线 l 的极坐标方程是 ? sin(θ+ )=m,即 ?cosθ+ ?sinθ=m, 6 2 2 化为直角坐标方程为 x+ 3y-2m=0. 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, |1-2m| 1 3 所以 =1,解得 m=- 或 m= . 2 2 2 所以,所求实数 m 的值为- 1 3 或 . 2 2 ……………………… 10 分 ……………………… 6 分

D.选修 4—5:不等式选讲 解:原不等式等价于
?x≤0, ?0<x≤1, ? 或? 1 - x - 2 x ≤ 4 x ? ?1-x+2x≤4x ?x≤0, 解? 得 x∈?; ?1-x-2x≤4x, ?0<x≤1, 1 解? 得 ≤x≤1; 3 ?1-x+2x≤4x, ?x>1, 解? 得 x>1. ?x-1+2x≤4x. ?x>1, 或? ?x-1+2x≤4x.

……………………… 6 分

1 所以原不等式的解集为 [ ,+∞). 3 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)

……………………… 10 分

解: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, → → → 所以 DA、DC、DP 两两垂直,故以{ DA ,DC ,DP }为正交基底,建立空间直角坐标系 D-xyz. 因为 PD=DC,所以 DA=DC=DP,不妨设 DA=DC=DP=2, 则 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0).
z

因为 E 是 PC 的中点,所以 E(0,1,1). → → 所以 AP =(-2,0,2), BE =(-2,-1,1), → → AP · BE 3 → → 所以 cos< AP , BE >= = , → → 2 | AP |·| BE | π → → 从而< AP , BE >= . 6 π 因此异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为 . 6
x A

P

E F D B (第 22 题) C y

……………………… 4 分

→ → → (2)由(1)可知, DE =(0,1,1), DB =(2,2,0), PB =(2,2,-2). → → → → → → 设 PF =λ PB ,则 PF =(2λ,2λ,-2λ),从而 DF = DP + PF =(2λ,2λ,2-2λ). 设 m=(x1,y1,z1)为平面 DEF 的一个法向量,

? ?m·→ DF =0, ?λx1+λy1+(1-λ)z1=0, 则? 即? ?y1+z1=0, ? m·→ DE =0, ?
取 z1=λ,则 y1=-λ,x1=2λ-1.

所以 m=(2λ-1,-λ,λ)为平面 DEF 的一个法向量. 设 n=(x2,y2,z2)为平面 DEB 的一个法向量,

……………………… 6 分

? ?n·→ DB =0, ?2x2+2y2=0, 则? 即? → ?n· DE =0, ?y2+z2=0, ?
取 x2=1,则 y2=-1,z2=1. 所以 n=(1,-1,1)为平面 BDE 的一个法向量. 因为二面角 F-DE-B 的正弦值为 即 |cos<m,n >|= 所以 6 , 3 |4λ-1|
2

………………………… 8 分

3 6 ,所以二面角 F-DE-B 的余弦的绝对值为 , 3 3

|m·n | 6 = , | m|·| n | 3
2

3· (2λ-1) +2λ

2=

6 , 3

化简得,4λ =1,因为点 F 在线段 PB 上,所以 0≤λ≤1, 1 PF 1 所以 λ= ,即 = . 2 PB 2 23. (本小题满分 10 分) 解: (1)设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai (i=1,2,3),则 A1,A2,A3 彼此互斥. 甲获胜的事件为 A1+A2+A3. 2 P(A1)= ; 5 3 1 2 2 P(A2)= × × = ; 5 3 5 25 3 1 2 2 P(A3)=( )2×( )2× = . 5 3 5 125 2 2 2 62 所以 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 5 25 125 125 62 答:甲获胜的概率为 . 125 (2)X 所有可能取的值为 1,2,3. 2 3 2 4 则 P(X=1)= + × = ; 5 5 3 5 2 3 1 3 2 4 P(X=2)= + × × × = ; 25 5 3 5 3 25 3 1 1 P(X=3)=( )2×( )2×1= . 5 3 25 即 X 的概率分布列为 X 1 2 3 ……………………… 4 分 ………………………… 10 分

P

4 5

4 25

1 25 ……………………… 8 分

4 4 1 31 所以 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× = . 5 25 25 25

……………………… 10 分


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