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2014年普通高等学校招生全国统一考试仿真考试数学(理科)测试卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试仿真考试数 学(理科)测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和 试卷规定的位置,并认真核准 条形码上的姓名、座号和准考证号。 2. 第Ⅰ卷共 2 页。答题时,考

生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。在试卷上作答无效。 参考公式:
[来源:Zxxk.Com]

4 3 ? R ,其中 R 是球的半径. 3 1 椎体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 3
球的体积公式: S ? 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 M= x ? R x ? 1或x ? 3 , Z 为整数集,则( ?R M ) ? Z= A.

?

?

?2?

B.

3? ?2,

C. ?1, 2,3?

D. x x ? 3, 且x ? 2

?

?

D1 A1 1 D A 图1 B1

C1

2.复数z满足

1 ? zi ? 1(i为虚数单位), 则复数z的共轭复数z= i

.M
B

C

:A 1+ i B 1 ? i C ? 1 ? i D ? 1+ i 3.如图(1)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是正方形 ABCD 的中心,则直线 A1D 与直线 B1M 所成角大小为:

A 300 B 450 C

600

D 900
?
4 ) 上是增函数,

开始
i=0

4.若函数 y ? 2 cos ? 2 x ? ? ? 是奇函数,且在 (0, 则实数 ? 可能是 A. ?

?
2

B. 0

C.

? 2

D. ?

S=0 S=S+2i-1
1 >1 m

5. lg m ? 0 的一个必要不充分条件是:

i=i+2 否

A.

m ? m B.

1 ? 1 C. m

m ? m D.

2 2 6..双曲线 x ? y ? 1 的一条渐近线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相交于 M、N 两点 3 b

i≥8 是 输出 S

且|MN|=2,则此双曲线的焦距是 A

2 2

B 2 3

C

2

D

4

7.右边(图 2)的程序框图输出结果 S= A.20 B 35 C 40 D 45 8、在Δ ABC 中,P 是 BC 边中点,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 若 c AC ? aPA ? bPB ? 0 ,则Δ ABC 的形状是:

结束 图2

??? ?

??? ?

??? ?

?

A、直角三角形

B、钝角三角形

C、等边三角形 D、等腰三角形但不是等边三角形. 9..从编号为 1,2,3,4 的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号 为 1,2,3 的三个不同盒子,每个盒子放一球,则 1 号球不放一号盒子且 3 号球不放 3 号盒子的放法总数为 A.10 B.12 C.14 D.16

2 10.已知点P(a, a)(a为常数), 点Q( 2, 2), 若点R在函数f ( x) ? (x>0)图象上 x

移动时,不等式 PR ? PQ 恒成立,则实数 a 的取值范围是:
A. a ? 2 2 B. a ? 2 2 C. ?2 2 ? a ? 2 2 D. a ? ?2 2 或 a ? 2

2

第 II 卷(非选择题 )
注意事项: 1. 第 II 卷包括填空题和解答题共两个大题 2.第 II 卷所有题目的答案考生需要用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸制定的位置上 二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a4= .

.
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

12.如图 3,统计局就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根 据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点, 不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000 , 1500 ) ) ,根 据频率分布直方图算出样本数据的中位数为

1 ? 1? 13.在 ?1 ? x ? ? 1 ? ? 的展开式中, 含 的项的系数为 x ? x?
3

3

图3

14.如图 4,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形, 则该三棱锥的外接球的体积为

2 4 主视图 2 左视图

15.给出下列等式: 1C 1 ? 3C 1 ? 2 ? 2, 1C 2 ? 3C 2 ? 5C 2 ? 3 ? 2 2 , 1C 3 ? 3C 3 ? 5C 3 ? 7C 3 ? 4 ? 23 ,
0 1 2 3 0 1 2 0 1

俯视图 图4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 经过观察、归纳,写出第 n( n ? N* )个等式为
f x) ?( f y) ?( f x)=x2 ? x , x,y 满足条件 ? 16.已知函数 ( ,若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ?1 ? y?0 ? ?2

为常数)仅在( , )处取得最大值,则 a 的取值范围是
m

1 1 2 2

_

17.给机器人输入一个指令 (m, 2 ? 48) (m ? 0) ,则机器人在坐标平面上先面向x轴正方 向行走距离 m ,接着原地逆时针旋转 90 再面向y轴正方向行走距离 2 ? 48 ,这样就完成
0

m

一次操作.机器人的安全活动区域是:

?

x ? 6, x y?R ,开始时机器人在函数 f(x)=2 图象上的

点 P 处且面向x轴正方向,经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点 Q 处,且点 Q 恰好 也在函数 f(x) 图象上,则向量 PQ 的坐标是 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2 sin ( ? x )? a cos 2 , 已知 x ? x? (1x ? R ,a 为常数)
2

??? ?

?

4

5? 时 f ( x) 取到 12

最大值 2. (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)设 y ? g ( x)与y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 足 x? 且 f ( x) ? 2 g ( x) ? 3 的所有 x 的值. (0,?)

?

6

对称,求满

19、 (本小题满分 14 分) 某商场“五.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满800 元就能得到一次摸奖机 会.摸奖规则是:在盒子内预先放有 5 个相同的球,其中一个球标号是0, 两个球标号都是40, 还有两个球没有标号。顾客依次从盒子里摸球,每次摸一个球(不放回) ,若累计摸到两个 没有标号的球就停止摸球, 否则将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和 (单位: 元) ,已知某顾客得到一次摸奖机会。 (Ⅰ)求该顾客摸三次球被停止的概率; (Ⅱ)设 ? (元)为该顾客摸球停止时所得的奖金数,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

20. (本小题满分 15 分) 如 图 5 , 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , AD ∥ BC,?ABC ? 90° ,

PD ? 面ABCD . AD ? 1 , AB ? 3, BC

? 4.
P

(1)求证: BD ? PC ; (2)求直线 AB与平面PDC所成角 ; ??? ? ??? ? (3)设点 E 在棱 PC 上, PE ? ? PC ,若 DE ? 面PAB ,求 ? 的值。


。E
A D C 图5

B

21. (本小题满分 15 分)

如图6,已知M (m, m2 )、N (n, n2 )是抛物线C : y ? x 2上两个不同点,且m2 ? n 2 ? 1,
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, a ? 2) . 2 a (Ⅰ)当 M、N 在 抛物线C 上移动时,求直线 L 斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)已知直线 L 与抛物线 C 交于 A、B 两个不同点, L 与椭圆 E 交于P、Q两个不同点,

m ? n ? 0, 直线 l 是线段 MN 的垂直平分线.设椭圆 E 的方程为

设 AB 中点为 R ,CD 中点为 S ,若 OR? OS ? 0 ,求椭圆 E 离心率的范围。
_ y

??? ? ??? ?

L

A

P

M
_

N B
_

_ O

Q

_ x

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e , g ( x) ? x ?4x ? 5, g ( x)的导函数为g ?( x)(e为自然对数底数).
x 2

图6

(Ⅰ)若函数 y ?

f (2 x) ? ag ?( x) ? 4a有最小值0, 求实数a的值; e

(Ⅱ)记 h( x) =f ( x ? 2n) ?ng ( x) ( n为常数 ) ,若存在唯一实数 x0 ,同时满足: (i)
x0 是函数 h( x) 的零点; (ii) h?( x0 ) ? 0 .试确定 x0、n 的值,并证明函数 h( x) 在 R

上为增函数。


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