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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


成都七中实验学校高二(上)期中考试 文科数学试题 一、选择题: (本大共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置. )

1.若方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 A. m ?

1 2

/>
B. m ? 1

C. m ?

1 2

D. m ?

1 2

2.直线 3ax ? y ? 1 ? 0 与直线 ( a ? ) x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值是 1 A.-1 或 3 1 B.1 或 3 1 C.- 或-1 3 1 D.- 或 1 3

2 3

3.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过 A C 第一、二、三象限 第一、三、四象限 B D 第一、二、四象限 第二、三、四象限

4.下列四个命题中,其中真命题的是 A.如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合 B.两条直线可以确定一个平面 C.若 M ??,M ? ?,? ? ? ? l,则M ? l D.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内

5.与两条异面直线分别相交的两条直线 A.可能是平行直线 C.可能是相交直线 B.一定是异面直线 D.一定是相交直线

6.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 A.96 C.152 B.136 D.192

7.已知圆 O1 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 4 , O2 : ( x ? a ?1)2 ? ( y ? b ? 2)2 ? 1 (a,b ? R) , 那么两圆的位置关系是 A.内含 B.内切 C.相交 D.外切

8.给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? 的四个命题,其中正确命题的个数是 (1) m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m 则 l 与 m 不共面; (2) l , m 是异面直线, l // ? , m // ? 且 n ? l , n ? m 则 n ? ? ; (3)若 l // ? , m // ? .? // ? 则 l // m ; (4)若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l // ? , m // ? ,则 ? // ? , (5)若 l ? ? , l ? n ,则 n/ /?

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

9. P ( x, y ) 是圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上任意一点,若不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范 围是 A. [?1 ? 2, 2 ? 1] B. [ 2 ? 1,??) C. [1 ? 2 ,??)

D. (?1 ? 2 , 2 ? 1)

10.直线 l : mx ? y ? 3 ? m ? 0 与圆 C : x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 的位置关系是 A 相离 B 相切 C 相交 D 有公共点

11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 A. 2 3 B. 3 3 2 C. 3 D. 6 3

12.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1=A1E, 则点 P 运动形成的图形是 A.线段 C.椭圆的一部分 B.圆弧 D.抛物线的一部分

二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,下列结论中正确的是 ①AD1∥BC1; ②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1;

(只填序号). ④AD1∥平面 BDC1.

14.把一个半径为 5 错误!未找到引用源。cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面 积的 3 倍,则这个圆锥的高为 . .

15.直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是____

16.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小 值为____ .

??? ? ??? ?

三.解答题:本大题满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.本小题满分(10 分) (1)求与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 垂直,且与原点的距离为 6 的直线方程; (2) 求 经 过 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与 l2 : 7 x ? 15 y ? 1 ? 0 的 交 点 , 且 平 行 于 直 线

x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程.

18.(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC.

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 点 P

(0,5) 及 圆 C :

x2 ? y 2 ? 4x ?12 y ? 24 ? 0 .
(1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

20.((本小题满分 12 分)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折 起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (1)求证:BC⊥A1D. (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD. (3)求三棱锥 A1-BCD 的体积.

21.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,

AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

22. (本小题满分 12 分)已知以点 C (t, )(t ? R,t ? 0) 为圆心的圆 与 x 轴交于点 O、A,与

2 t

y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点.

(1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下, 设 P、 Q 分别是直线 l :x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的动点, 求|PB|+|PQ| 的最小值及此时点 P 的坐标.

成都七中实验学校高二(上)期中考试文科数学试题 答案 一、选择题: 1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6. C 7.C 8.C 9. B 10.D 11.D 12. B

二、填空题: 13.:①②④ 三.解答题: 14. 20cm 15. ?0, ? ? ?

? ?? ? 6?

? 5? ? ,? ? ? 6 ?

16. ?3 ? 2 2

17.本小题满分(10 分) (1)求与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 垂直,且与原点的距离为 6 的直线方程; (2) 求 经 过 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与 l2 : 7 x ? 15 y ? 1 ? 0 的 交 点 , 且 平 行 于 直 线

x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程.
解 (1)设所求的直线方程为 4x-3y+c=0. 由已知: |c| 4 +3
2 2

=6,解得 c=±30,

故所求的直线方程为 4x-3y±30=0. (2)设所求的直线方程为 2x+3y-5+λ (7x+15y+1)=0, 即(2+7λ )x+(3+15λ )y+λ -5=0, 2+7λ 1 由已知- =- ,解得 λ =1. 3+15λ 2 故所求的直线方程为 9x+18y-4=0. 18.(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为

PD 的中点.

(1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC.

解析 (1)连接 BD,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中 点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO? 平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM.

(2)因为∠ADC=45°,且

AD=AC=1,
所以∠DAC=90°,即 AD⊥AC.又 PO⊥平面 ABCD,

AD? 平面 ABCD,所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC.

19.(本小题满分 12 分)已知点 P (0,5)及圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0 . (1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 【解析】 (1)解法一:如图所示,AB=4 3,D 是 AB 的中点,CD⊥AB,AD=2 3,AC=4, 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx, 即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: |-2k-6+5|
2

3 =2,得 k= . 4 k +?-1?
2

k= 时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.
又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0.

3 4

(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD?PD=0, (x+2,y-6)?(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x +y +2x-11y+30=0.
2 2

20.((本小题满分 12 分)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折 起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上.

(1)求证:BC⊥A1D. (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD. (3)求三棱锥 A1-BCD 的体积.

【解析】(1)连接 A1O, 因为 A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, 所以 A1O⊥平面 BCD,又 BC? 平面 BCD,所以 BC⊥A1O, 又 BC⊥CO,A1O∩CO=O, 所以 BC⊥平面 A1CD,又 A1D? 平面 A1CD, 所以 BC⊥A1D. (2)因为 ABCD 为矩形,所以 A1D⊥A1B.由(1)知 A1D⊥BC,A1B∩BC=B, 所以 A1D⊥平面 A1BC,又 A1D? 平面 A1BD, 所以平面 A1BC⊥平面 A1BD. (3)因为 A1D⊥平面 A1BC,所以 A1D⊥A1C. 因为 A1D=6,CD=10,所以 A1C=8, 所以 = = ? ?6=48.

故所求三棱锥 A1-BCD 的体积为 48.

21.(本小题满分 12 分)(2011?北京理)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面

ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

解析 (1)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥BD,又 AC∩PA=A,

所以 BD⊥平面 PAC. (2)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,- 3,2),A(0,- 3, → → 0),B(1,0,0,)C(0, 3,0),所以PB=(1, 3,-2),AC=(0,2 3,0).

设 PB 与 AC 所成角为 θ , → → 则 cosθ = 6 6 = = . 4 2 2?2 3 |PB||AC| → → → (3)由(2)知BC=(-1, 3,0). 设 P(0,- 3,t)(t>0), → 则BP=(-1,- 3,t), 设平面 PBC 的一个法向量 m=(x,y,z), → → 则BC?m=0,BP?m=0,

PB?AC

?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0.
6 令 y= 3,则 x=3,z= .

t

6 所以 m=(3, 3, ).

t

6 同理,平面 PDC 的一个法向量 n=(-3, 3, ).

t

因为平面 PBC⊥平面 PDC, 36 所以 m?n=0,即-6+ 2 =0.

t

解得 t= 6,所以 PA= 6. 22.已知以点 C (t, )(t ? R,t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 中 O 为原点.

2 t

y 轴交于点 O、B,其

(1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下, 设 P、 Q 分别是直线 l :x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的动点, 求|PB|+|PQ| 的最小值及此时点 P 的坐标.

22.(1)证明 由题设知,圆 C 的方程为

? 2?2 2 4 2 (x-t) +?y- ? =t + 2, t ? t?
4 2 2 化简得 x -2tx+y - y=0, t 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4 ? 4? 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B?0, ?, t ? t? 1 1 ?4? ∴S△AOB= |OA|?|OB|= |2t|?? ?=4 为定值. 2 2 ?t? (2)解 ∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 2 t 2 1 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5 或(x+2) +(y+1) =5, 由于当圆方程为(x+2) +(y+1) =5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不 满足直线与圆相交,故舍去,∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5. (3)解 点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′ (-4,-2),则|PB|+|PQ|= |PB′| +|PQ|≥|B′Q|, 又 B′到圆上点 Q 的最短距离为 |B′C|-r= ?-6? +?-3? - 5=3 5- 5=2 5. 1 所以|PB|+|PQ|的最小值为 2 5,直线 B′C 的方程为 y= x,则直线 B′C 与直线 x+y 2 2? ? 4 +2=0 的交点 P 的坐标为?- ,- ?. 3? ? 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


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