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高二数学上学期期末复习试题


高二数学上学期期末复习试题
一、选择题 1.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B. )

21 2

C. 28

D. 6 3 )

2.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? ( A. 90
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

3.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A. 7 B. 5 C. ?? D. ?? 4.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A.9 B.12 C.16 D.17 )

?







5、已知正数 x、y 满足 A.18

8 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是( x y
C.8 D.10

B.16

6.已知 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 2} ,则 bx 2 ? 5 x ? a ? 0 的解集为( A、 {x | ?

)

1 1 ?x? } 3 2

B、 {x | x ? ? 或x ? } D、 {x | x ? ?3或x ? 2} ) 不能判断 q 的真假 ( )

1 3

1 2

C、 {x | ?3 ? x ? 2} 7 A
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若命题“ p ? q ”为假,且“ ? p ”为假,则(

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p 或 q 为假

B

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q假
2

C

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q真

D

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8. “若 x≠a 且 x≠b, 则x- (a+b) x+ab≠0” 的否命题 2 A、若 x=a 且 x=b,则 x -(a+b)x+ab=0 2 B、若 x=a 或 x=b,则 x -(a+b)x+ab≠0 2 C、若 x=a 且 x=b,则 x -(a+b)x+ab≠0 2 D、若 x=a 或 x=b,则 x -(a+b)x+ab=0 9.若椭圆

x2 y 2 x2 y 2 3 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的离心率是( 的离心率是 ,则双曲线 a 2 b2 a 2 b2 2
B.



A.

5 4

5 2

C.

3 2

D.

5 4
).

10.过点 P?2,?2? 且与

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2

(A)

y2 x2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y2 ? ?1 4 2

(C)

y2 x2 ? ?1 4 2

(D)

x2 y2 ? ?1 2 4

二.填空题 11. 已知 a, b 是空间二向量,若 | a |? 3, | b |? 2, | a ? b |? 7 , 则a与b 的夹角为 12.同时垂直向量 a ? (2, 2,1), b ? (4,5,3) 的单位向量是

13. 若 过 椭 圆 是 .

x2 y2 ? ? 1 内 一 点 ?2,1? 的 弦 被 该 点 平 分 , 则 该 弦 所 在 直 线 的 方 程 16 4

14.已知数列 ?a n ?中,a 1 =-1,a n?1 ·a n =a n?1 -a n ,则数列通项 a n =___________。 15. 已知数列 ?an ? ,如果 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 , 等比数列,那么 an 等于___________ 三.解答题: 16. ) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

, an ? an?1,

( n ? 2 )是首项为 1 公比为

1 的 3

12 。 13

17.(1)已知 x ? 0, y ? 0 ,满足

1 9 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值; x y

1 1 (2)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值. 2 2

18.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

E 为 PD 的中点 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离
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19.已知椭圆 C :

1 3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P(1, ) , F 为其右焦点. 2 a b 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之间) ,若

△ AMF 与 △MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程.

20.数列{ an }的前 n 项和记为 Sn , a 1=1, an?1 ? 2S n ? 1 (n ? N? ) . (1) 求{ an }的通项公式; (2)等差数列{ bn }的各项为正数,其前 n 项和

为 Tn ,且 T3=15,又 a 1+ b 1, a 2+ b 2, a 3+ b 3 成等比数列,求 Tn

21. (本小题满分 13 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

1 * ,其中 n ?N . 4an

(Ⅰ)设 bn ?

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ;

(Ⅱ) 设 cn ?
*

4an 1 , 数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 于 n ?1 cmcm?1

n ?N 恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明

答案
一.DCDAA 二.10. 11. BBDBA 12. 13. 14. 15.

3 1 (1 ? n ) 2 3

三.16. 17. 18.解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、

B( 3,0,0) 、 C( 3,1,0) 、 D(0,1, 0) 、
1 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

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(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x,0, z) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6

19. 1)

x2 y 2 5 ? ?1; (2) y ? ? ( x ? 4) 。 4 3 6

c 1 解: (1) 因为 ? , 所以 a ? 2c ,b ? 3c . a 2
在椭圆上,所以

3 x2 y2 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 又点 P(1, ) 4c 3c 2
所以椭圆方程为

1 3 ? 2 ? 1 ,解得 c 2 ? 1 , 2 4c 4c

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2) 易知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 2 消去 y 整理, y2 由? x ? 1, ? ? ? 4 3

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,解得 ?

1 1 ?k? . 2 2

32k 2 64k 2 ? 12 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , ①, x1 x2 ? . ②. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
因为 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,所以 AM ? MN ,所以 2 x1 ? x2 ? 4 . ③ 由①③消去 x 2 得 x1 ?

4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 x (2 x ? 4) ? ④ 将 代入②得 x ? 2 x ? 4 1 1 . . ⑤ 2 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

将④代入⑤

4 ? 16k 2 4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 2 (2 ? ? 4) ? , 整 理 化 简 得 36k ? 5 , 解 得 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

k??

5 5 ,经检验成立. 所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 4) . 6 6

考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与椭圆的综合应用。 点评:本题考查了椭圆方程的求法,以及直线与椭圆的综合应用,为圆锥曲线的常规题,应 当掌握。考查了学生综合分析问题、解决问题的能力,知识的迁移能力以及运算能力。解题 时要认真审题,仔细分析。 20.解: (1) 由 an?1 ? 2S n ? 1 (n≥1) 可得 an ? 2S n?1 ? 1 (n≥2) ,两式相减得 a n+1- a n=2 a n,

? an?1 ? 3an (n ? 2) .


a

2

= 2S1+1=3, ? a2 ? 3a1 , 故 {

a

n

}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ............6 分

? an ? 3n?1 .

(2)设{ b n}的公差为 d ,由 T3=15 可得 b 1+ b 2+ b 3=15,可得 b 2=5,故可设 b 1=5- d , b 3=5+ d . 2 又 a 1=1, a 2=3, a 3=9,由题意可得(5- d +1) (5+ d +9)=(5+3) ,解得 d 1=2, d 2 =-10.

? 等差数列{ b n}的各项为正,? d =2,? Tn ? 3n ?
21. (1) a n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

n ?1 ; (2) 存在, m 的最小值为 3 . 2n
2 2an ? 1
,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ,利用

解: (Ⅰ)设 bn ?

等差数列的定义 bn?1 ? bn 等于一个与 n 无关的常数,即可证明该数列是等差数列,然后求出 首项、公差即可得出的通项公式; (Ⅱ)首先求得 ?cncn?2 ? 的通项公式 cn cn ? 2 ?

4 , n ? n ? 2?

然后根据裂项求和得 Tn ? 2 ?1 ? 于 n ? N * 恒成立,只需

? ?

1 1 1 1 ? 对 ? ? ? ,故 Tn ? 3 ,依题意要使 Tn ? 2 n ?1 n ? 2 ? c m c m ?1

m(m ? 1) ? 3, 4

可得出关于 m 不等式,解之即可. 试题解析: (I)证明

bn?1 ? bn ?

2

2an?1 ? 1 2an ? 1

?

2

?

2 ? 1 2? ?1 ? 4a n ?

2an ? 1 ? ? ? ?1 ?

?

2

?

4an 2 ? ?2 4分 2an ? 1 2an ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

6分

(II) c n ?

2 4 ] ? ?1 , cn cn? 2 ? ? 2? ? ?, n n?n ? 2? ?n n? 2?

所以 Tn ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 ? ? ? ??3, 2 n ?1 n ? 2 ?

10 分

依题意要使 Tn ?

m(m ? 1) 1 * ? 3, 对于 n ? N 恒成立,只需 4 c m c m ?1
13 分

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 考点:等差数列,裂项求和.


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