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数学:第一章《空间几何体》复习教案(新人教A版必修2)


柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构
识 图





简单几何体的结构特征

空 间 几 何 体

柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影

直观图

斜二测画法 空间几何体

柱、锥、台、球的表面积与体积

概念 棱柱

多面体
柱 锥 台 球 旋转体

棱锥

性质 侧面积

棱台

体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积



由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体

棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球

棱柱

结构特征
有两个面互相平行,其 余各面都是四边形,并且 每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面 围成的多面体。

E’ F’ A’

D’ B’

C’

底 面

E
侧棱

D
C B

F A
侧面

顶点

注意:有两个面互相平行,其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗?
答:不一定是.如图所示,不是棱柱.

棱柱的性质

1.侧棱都相等,侧面都是平 行四边形; 2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形; 3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形;

棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类: 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类: 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、· · · · · ·

直棱柱

正棱柱 其它直棱柱

棱柱的分类
按 边 数 分

三棱柱
按侧 棱是 否与 底面 垂直 分

四棱柱

五棱柱

斜棱柱

直棱柱

正棱柱

几种六面体的关系:
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是

底面为

侧棱与底面 边长相等

矩形

正方形

长方体

正四棱柱

正方体

棱锥

顶点 S

结构特征
有一个面是 多边形,其余各 面都是有一个公 共顶点的三角形。

侧面
C

D B

A

棱锥的分类
按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……

S

A B D

C

正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的 射影是底面中心的棱锥。

【知识梳理】 棱锥

1、定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的 三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面 的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。

正棱锥性质2

棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ PEO Rt⊿ POB Rt⊿ PEB Rt⊿ BEO

棱台由棱锥截得而成,所以在棱台中也有类 似的直角梯形。

棱台

结构特征
D’ C’ B’ C

用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是 棱台.

D A’

A

B

圆柱

结构特征
以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转 形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱。
母 线

A’

O’

B’ B’

轴 侧 面

A

O B

底面

圆锥

顶点 S 母 线 轴 侧 面

结构特征
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥。

A

O
B

底面

圆台

结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间的 部分是圆台.
O’ O



结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的 旋转体.
半径 O 球心

归纳小结
棱柱
多面体

棱锥

柱体

棱台
圆柱 圆锥 圆台 球
锥体 台体

旋转体

课前热身
1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B) 2 2 cm2 (D)

2 cm2

2.若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积 是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C

)

(B) 1 : 3

(C) 1 : 8

(D) 1 : 7

3.上、下底面积分别为36Л 和49Л ,母线长为

5的圆台,其两底面之间的距离为

2 6

能力·思维·方法
1.已知正三棱台上底面边长为 3,下底面边长为6,侧 棱长为2, (1)求这个正三棱台的斜高; (2)求这个正三棱台的高。

【解题回顾】截取恰当的平面图形是解题的关键,与 三视图的本质思想是一致的。

本节小结:
? 对于棱柱、棱锥、棱台要理解其结构特征,严 格辨析所给几何体的类别;同时也要注意分析 棱柱、棱锥、棱台的诸元素如底面、侧棱、侧 面的特点,辨析所给命题的真假。

? 圆柱、圆锥、圆台、球都是以旋转的角度定义 的,处理旋转体的有关问题一般要过轴作出其 轴截面,在轴截面中寻找各元素的关系,从而 把问题转化在平面图形中解决。
? 借助平面图形,求解立体几何问题是常用的解 题方法之一。

画直观图的方法:斜二侧法
1、画水平放置的正六边形的直观图.
y
F M E

y′
A' B'
F' M'
O′

E'
D'

A

O

D

x

x′

N'

C'

B

N

C

规则:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交 于点O.画直观图时,把它们画成对应的 x'轴和 y'轴,两 轴相交于O,且使?x' o' y' ? 450 ?或1350 ? ,它们确定的平 面表示水平面;

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观 图中分别画成平行于 x' 或轴 y' 轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中 保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的 一半

2、画水平放置的圆的直观图.
y
C E G

y′
C'
E'

A

O

B

x

A'

O′

D'

B'

x′

F'

D FH

3、画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的

长方体的直观图.
D1

z
C1

y

A1 D M A P Q

B1 C N B

o

x

4、已知几何体的三视图如下,画出它的直观图.
p

p

. 正视图 . O .p .
O′

. 侧视图 . O
O′

.
俯视图

z

y′

y

O′

x′

o

x

.p . .
o

O′

课前热身 1.一平面图形的直观图如图所示,它原来的面积是 ( )

A. 4

B.

4 2

C.
y’

2 2 D.8

B 2

o’

2

A

x’

能力· 思维· 方法 2.如图所示, △ABC的直观图△A’B’C’,这里△A’B’ C’ 是边长为2的正三角形,作出△ABC的平面图 ,并求 △ABC的面积.
A’
y’

B’

O’

C’

x’

课堂小结:

画水平放置的平面图形的步骤为: 画轴、取点、成图。

在已知图形中平行于x轴和z轴的 线段,在直观图中保持长度不变; 平行于y轴的线段,长度为原来 的一半

三视图属于新课标的内容,经常通过两种题 型进行考查空间想象能力:由几何体研究三视图

和通过三视图研究原几何体的性质。而提高空间
想象能力的方法之一就是熟悉常见几何体的三视

图,因为熟能生巧.

2.平行投影法 投影线相互平行的投影法. (1)斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. (2)正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.
斜 投 影 法
a c b

A

C B

A C

B
a b

正 投 影 法

c

平行投影法

三视图的形成原理

正 投 影

有关概念
物体向投影面投影所得 到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直 的投影面分别投影,所得到 的三个图形摊平在一个平面 上,则就是三视图。

三视图的形成
正视图 侧视图

俯视图

正 视 图



高 宽


长 宽

侧视图
?长对正,

展 开 图

?高平齐,

俯视图

?宽相等.

三视图的作图步骤
俯视图方向 1.确定视图方向 2.先画出能反映物体 真实形状的一个视图 侧视图方向
4.运用长对正、高平 齐、宽相等的原则画 出其它视图 5.检查,加深, 加粗。

正视图方向

例1:下面是用小正方体搭建成的一个几何体, 请画出它的三视图。

正视图

侧视图

侧视图 从左向右 侧面投影

水 平从俯 面上视 投面图 影向

俯视图

正视图

侧视图





?长对正, ?高平齐, ?宽相等.
俯视图



总结

(1)一般几何体,投影各顶点,连接。

画三视图: (2)常见几何体,熟悉。

三视图中,
两个三角形, 一般为锥体 两个矩形, 一般为柱体 两个梯形, 一般为台体 两个圆, 一般为球

练习1:
正三棱柱的侧棱为2,底面是边长为2
的正三角形,则侧视图的面积为( B )

A.

4

B. 2

3

C. 2

2

D.

3

2
3
侧视图 正视图

3

2

例 2:

一个长方体去掉一角的直观图如图所示。

关于它的三视图,画法正确的是( A ) A.它的正视图是 B.它的正视图是 C.它的侧视图是 几何体投影的方法: D.它的俯视图是 投影各顶点,连接。

练习2: 将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是
三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按

图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )
H B A
Q

G C I

A

侧视 B

C

E
图1

P

D F

E
图2

D F
B

B

B

B

E A.

E B.

E C.

E D.

(1)如图是一个空间几何体 练习3: 的三视图,如果直角三角形的直角边 长均为1,那么几何体的体积为( C )
正视图
侧视图

A.1

1 B. 2

C. 1

1 D. 6

俯视图

3

1 1 1 V ? S 底 h ? ? 1?1?1 ? 3 3 3

1 1

1

(2)已知某个几何体的三视图如图2,根据图中标出的尺寸 8000 3 (单位:cm),可得这个几何体的体积是________. cm 3
20

主视图
10 10

20

侧视图

20

俯视图

20

小结

拓展

? 三视图

? 正视图——从正面看到的图
? 侧视图——从左面看到的图 ? 俯视图——从上面看到的图 ? 画物体的三视图时,要符合如下原则: ? 位置:正视图

侧视图

俯视图 ? 大小:长对正,高平齐,宽相等.
?


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