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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题7


阶段性测试题七(不 等 式)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2014· 江西临川十中期中)不等式(x-50)(60-x)>0 的解集 是( ) A.(-∞,50) C.(50,60) [答案] C [解析] 不等式化为(x- 50)(x- 60)<0,∴ 50<x<60,故选 C. 2 (理)(2014· 江西白鹭洲中学期中)不等式 >x-1 的解集为( x A.{x|x<-2 或 0<x<1} B.{x|x<-1 或 0<x<2} ) B.(60,+∞) D.(-∞,50)∪(60,+∞)

C.{x|-2<x<0 或 x>1} D.{x|-1<x<0 或 x>2} [答案] B x2- x- 2 ?x+ 1??x- 2? [解析] 不等式化为 <0,即 <0, x x ∴ x<- 1 或 0<x<2. 2.(2014· 浙江杜桥中学期中)设 a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>b3>0” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 由 a3>b3>0 得 a>b>0,∴a2>b2, B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

但 a2>b2 时,可能有 a<b<0,∴a3>b3>0 不一定成立. 3. (2014· 广东梅县东山中学期中)若 0≤x≤2, 则 f(x)= x?8-3x? 的最大值( A. 5 16 C. 3 [答案] B [解析] ∵ 0≤x≤2 , ∴ 8 - 3x>0 , ∴ f(x) = x?8- 3x? = ) B. 4 3 3

D.2

1 3 3 3x+ ?8- 3x? 4 3 ×[3x· ?8- 3x?]= · 3x?8- 3x? ≤ · = ,等号成 3 3 3 2 3 4 立时,3x= 8- 3x,∴ x= , 3 4 4 3 ∵ 0< <2,∴ f(x)的最大值为 . 3 3 4.( 文)(2014· 河南省实验中学期中 )不等式(a-2)x2+ 2(a-2) x- 4<0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,2) C.(-∞,2] [答案] B
? ?a- 2<0, [解析] 由条件知? ?Δ= 4?a- 2?2+ 16?a- 2?<0, ?

)

B.(-2,2] D.[-2,2)

∴- 2<a<2,当 a=2 时,结论也成立,故选 B. (理)(2014· 辽宁师大附中期中)若不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5] 上有解,则 a 的取值范围是( 23 A.(- ,+∞) 5 ) 23 B.[- ,1] 5

C.(1,+∞) [答案] A

23 D.(-∞,- ] 5

2 [解析] ∵ x∈ [1,5],∴不等式变形为 a>- x+ , x 2 23 ∵ x∈ [1,5]时, y=- x+ 单调递减,∴ y∈ [- , 1], x 5 ∴要使不等式在[1,5]上有解,应有 a>- 23 ,故选 A. 5

5.(2014· 浙北名校联盟联考)已知 a∈R,则“a<2”是“a|a|<1”成立 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B
? ?a ≥0, [解析] ∵a|a|<1,∴? 2 或 a<0, ?a <1, ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

∴a<1, ∵ (-∞, 1) (- ∞, 2), ∴a<2 是 a<1 的必要不充分条件,∴选 B. 2 1 6.(文)(2014· 威海期中)已知正数 x,y 满足 + =1,则 x+2y 的 x y 最小值为( A.8 [答案] A 2 1 4y x [解析] ∵ x>0, y>0,∴ x+ 2y= (x+ 2y)( + )= 4+ + ≥4+ x y x y 2 4y x 4y x ·= 8,等号在 = ,即 x= 4, y= 2 时成立,故选 A. x y x y (理)(2014· 安徽程集中学期中)已知 a+b=2,则 3a+3b 的最小值 ) B.4 C.2 D.0

是(

) A.2 3 C .2 [答案] B [解析] ∵ a+ b= 2,∴ 3a+ 3b≥2 3a· 3b = 2 3a+ b= 2 32 = 6,等 B.6 D.2 2

号在 3a= 3b 时,即 a=1,b= 1 时成立,故选 B. 7. ( 文 )(2014· 浙江杜桥中学期中 ) 若实数 x 、 y 满足约束条件 x-y≥1, ? ? ?x+2y≤4, ? ?y≥0, A.4 [答案] A [解析] 作出可行域如图中阴影部分,作直线 l0:x+ y= 0,平移 l0 到经过(4,0)点时,z 取最大值, zmax= 4+ 0= 4,故选 A.

,则目标函数 z=x+y 的最大值为(

)

B.3

C.2

D.1

( 理 )(2014· 江 西 临川十 中期 中 ) 已知 实数 x , y 满 足约 束条 件 x≥1, ? ? ?y≤2, ? ?x-y≤0. A.3 [答案] C

则 z=2x+y 的最大值为(

)

B.5

C.6

D.不存在

[解析] 作出可行域如图中阴影部分,作直线 l0: 2x+ y= 0,平 移直线 l0 到经过点 A(2,2)时, z 取最大值,z= 2×2+ 2= 6,故选 C.

8 . (2014·河 南 省 实 验 中 学 期 中 ) 设 函 数 f(x) =
? ?2x+1 ? 2 ?x -2x-2 ?

?x≥1? ?x<1?

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(

)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-3)∪(1,+∞) [答案] B [解析] 不等式 f(x0)>1 化为

B.(-∞,-1)∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪[1,+∞)

?x0≥1, ?x0<1, ? ? ? 或? 2 ?2x0+ 1>1, ? ? ?x 0- 2x0- 2>1,

∴ x0≥1 或 x0<- 1,∴选 B. 9.(文)(2014· 山西曲沃中学期中)已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为( A.5 [答案] C [解析] 由条件知 a2b-(a2+ 1)= 0,且 a≠0, 1 ∴ab=a+ , a B.4 C.2 D.1 )

1 1 ∵a+ ≥2(a>0 时 )或 a+ ≤- 2(a<0 时 ), a a ∴ |ab|≥2,故选 C. (理)(2014· 三峡名校联盟联考)已知 a,b∈R+,直线 ax+by=6 平 分圆 x2+y2-2x-4y+m=0 的周长,则 2a+b+ a+5b的最大值为 ( ) A.6 [答案] A [解析] 解法 1:∵直线 ax+by= 6 平分圆的周长, ∴直线过圆心 C(1,2),∴a+ 2b= 6,∴a= 6- 2b, ∵ ( 2a+ b + a+ 5b )2 = 3a + 6b + 2 ?2a+b??a+ 5b? = 18 + 2 ?12- 3b??6+ 3b?= 18+ 6 -b2+ 2b+ 8= 18+ 6 - ?b- 1?2+ 9, ∵b>0,a= 6- 2b>0,∴ 0<b<3, ∴b= 1 时,取到最大值 18+ 6×3= 36, 从而 2a+ b+ a+ 5b≤6,故选 A. 解法 2:∵直线平分圆的周长,且圆心为 (1,2), ∴a+ 2b= 6,∵a+b≥2 ab(a>0, b>0), ∴ a+ b≤ 2?a+b?. ∴ 2a+ b+ a+ 5b≤ 2[?2a+b?+ ?a+ 5b?] = 6?a+ 2b?= 6. 10. (2014· 抚顺市六校联合体期中)已知 a, b 是正数, 且满足 2<a +2b<4,那么 a2+b2 的取值范围是( 4 16 A.( , ) 5 5 C.(1,16) ) 4 B.( ,16) 5 16 D.( ,4) 5 B.4 C.3 D. 3

[答案] B [解析] 作出不等式表示的平面区域为图中四边形 ABCD,O 到 直线 a+2b=2 的距离 d= 2 , |OB|= 4, 5

4 显然 d2≤a2+b2≤|OB|2,∴ ≤a2+b2≤16, 5 4 ∵平面区域不包括边界,∴ <a2+b2<16,故选 B. 5 11.(文)(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)若 x,y∈R, x≥1 ? ? 且?x-2y+3≥0 ? ? y≥x A.9 [答案] C [解析] 作出可行域如图,作直线 l0: x+ 2y= 0,平移 l0 到经过 可行域内点 A(1,1)时, zmin= 3,故选 C.

,则 z=x+2y 的最小值等于(

)

B.5

C.3

D.2

( 理 )(2014· 高 州四中质 量监测 )设 变量 x, y 满足约 束条 件

x+y≥3 ? ? ?x-y≥-1 ? ?2x-y≤3 A.6

,则目标函数 z=2x+3y 的最小值为(

)

B.7

C.8

D.23

[答案] B [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,作直线 l0: 2x+ 3y = 0,平移 l0,当平移到经过点 A(2,1)时,zmin= 2×2+ 3×1= 7,故选 B.

12 . (2014· 文 登 市 期 中 ) 已 知 a>0 , x 、 y 满 足 约 束 条 件 x≥1 ? ? ?x+y≤3 ?y≥a?x-3? ? 1 A. 4 C .1 [答案] A x≥1 ? ? 作出不等式组?x+ y≤3 ? ?y≥a?x- 3? 3 ,若 z=2x+y 的最小值为 ,则 a=( 2 1 2

)

B.

D.2

[ 解析 ]

所表示的可行域如下图中

阴影部分,联立 x= 1 与 y=a(x- 3)得点 A(1,- 2a),作直线 l: z= 2x+ y, 则 z 为直线 l 在 y 轴上的截距, 当直线 l 经过可行域上的点 A(1,

- 2a)时, 直线 l 在 y 轴上的截距最小, 此时, z 取最小值, 即 zmin= 2×1 3 1 + (- 2a)= 2- 2a= ,解得 a= ,故选 A. 2 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(2014· 天津市六校联考)已知集合 A={x∈R|3x+ 2>0},B= {x∈R|(x+1)(x-3)>0},则 A∩B=________. [答案] {x|x>3} [ 解析 ] {x|x>3}. 14. (2014· 江西临川十中期中)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数. 当 x>0 时, f(x)=x2-4x, 则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. [答案] (-5,0)∪(5,+∞) [解析] 当 x>0 时,不等式 f(x)>x 化为
?x>0, ? ? 2 ∴ x>5; ? ?x - 4x>x,

2 ∵ A= {x|x> - } , B= {x|x< - 1 或 x>3} ,∴ A∩B= 3

当 x<0 时,-x>0, f(- x)= x2+ 4x, ∵ f(x)为奇函数,∴f(- x)=- f(x),∴ f(x)=- x2- 4x(x<0).

? ?x<0, 从而 x<0 时,不等式 f(x)>x 化为? 2 ∴-5<x<0, ?- x - 4x>x, ?

又 f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(0)= 0.从而原不等式的解集为(- 5,0) ∪ (5,+∞). 15.(2014· 山西省太原五中月考)已知 a>0,函数 f(x)=x3+ax2+ bx+c 在区间[-2,2]内单调递减,则 4a+b 的最大值为________. [答案] -12 [解析] f ′(x)= 3x2+ 2ax+b,由题意知 3x2+ 2ax+ b≤0 在 x∈ [- 2,2]时恒成立,
? ? ?f ′?- 2?≤0, ?4a- b≥12, ∴? ∴? (※ ) ?f ′?2?≤0. ?4a+ b≤- 12. ? ?

令 z= 4a+b,作出不等式组※表示的平面区域,作直线 l: 4a+ b= z,可见当直线 l 与直线 4a+b=- 12 重合时,z 最大,

∴ 4a+b 的最大值为-12. x≥0 ? ? 16. (文 )(2014· 安徽程集中学期中 )已知?x-3y≤0 ? ? 2x+3y-9≤0 =x-y 的最大值是________. [答案] 2

,则 z

[解析] 作出可行域如图,作直线 l0: x- y= 0,平移 l0 到 l1: y = x- z, l1 经过点 A 时,直线 l1 的纵截距最小,此时 z 取最大值,由
?x- 3y= 0, ?x= 3, ? ? ? 解得? ∴ zmax= 2. ? ? ?2x+ 3y- 9= 0, ?y= 1.

x-y+1≥0, ? ? (理)(2014· 营口三中期中)若 x, y 满足约束条件?x+y-3≤0, ? ?x+3y-3≥0, 则 z=3x-y 的最小值为________. [答案] -1 [解析] 作出可行域如图,作直线 l0:y= 3x,平移 l0 到经过点 A 时,-z 最大,从而 z 最小,

? ?x- y+ 1= 0, 由? 得 A(0,1),∴ zmin= 3×0- 1=- 1. ? ?x+ 3y- 3= 0,

三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 泉州实验中学期中)已知关于 x 的不等式 ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b; (2)解关于 x 的不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. [解析] (1)因为不等式 ax2- 3x+ 2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b}, 所以 x1= 1 与 x2=b 是方程 ax2- 3x+ 2= 0 的两个实数根, 且 b>1, a>0. 3 ? ?1+b= a, 由根与系数的关系得,? 2 ? 1 × b = . ? a
?a= 1, ? 解得? ? ?b= 2.

(2)由 (1)知不等式 ax2- (ac+ b)x+bc<0 为 x2- (2+ c)x+ 2c<0,即 (x- 2)(x- c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x- 2)(x- c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x- 2)(x- c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c= 2 时,不等式 (x- 2)(x- c)<0 的解集为?. 综上所述:当 c>2 时,不等式的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式的解集为?. (理)(2014· 江西临川十中期中)已知 f(x)= x?x-a+1?+a-4 . x-2

(1)若关于 x 的方程 f(x)=0 有小于 0 的两个实根,求 a 的取值范 围; (2)解关于 x 的不等式 f(x)>2(其中 a>1). [解析] (1)方程 f(x)= 0 有小于 0 的两个实根,等价于方程 x(x- a+ 1)+ a- 4=0 有小于 0 的两个实根,即方程 x2- (a- 1)x+a- 4= 0

有小于 0 的两个实根, Δ= ?1-a? - 4?a- 4?≥0, ? ? ∴?x1+ x2=a- 1<0, ?x1x2= a- 4>0, ?
2

a∈ R, ? ? ∴?a<1, ?a>4, ?

∴a∈?.

x2- ?a+ 1?x+a (2)由 f(x)>2 得, >0, x- 2 ∴ ?x- a??x- 1? >0, x- 2

∴ (x-a)(x- 1)(x- 2)>0, 由于 a>1,于是有: ①当 1<a<2 时,不等式的解集为{x|1<x<a 或 x>2}; ②当 a>2 时,不等式的解集为{x|1<x<2 或 x>a}; ③当 a=2 时,不等式的解集为{x|x>1 或 x≠2}. 18.(本小题满分 12 分)(2014· 浙江省五校联考)设向量 p=(x,1), q=(x+a,2),(x∈R),函数 f(x)=p· q. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2], 求不等式 f(x)≥1-x2 的解集; (2)若函数 g(x)=f(x)+x2+1 在区间(1,2)上有两个不同的零点,求 实数 a 的取值范围. [解析] (1)f(x)= p· q= x(x+ a)+ 2= x2+ax+ 2, ∵不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2],∴a=- 3, 于是 f(x)= x2- 3x+ 2. 1 由 f(x)≥1- x2 得, x2- 3x+ 2≥1- x2,解得 x≤ 或 x≥1, 2 1 所以,不等式 f(x)≥1- x2 的解集为{x|x≤ 或 x≥1}. 2 (2)g(x) = 2x2 + ax + 3 在 区 间 (1,2) 上 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则

?1?>0, ?g ?g?2?>0, ?1<-a<2, 4 ? ?a - 24>0,
2

a+ 5>0, ? ?2a+ 11>0, 即? - 8<a<- 4, ? ?a<- 2 6或a>2

6,

得:-5<a<- 2 6. ∴a 的取值范围是(- 5,- 2 6). 19.(本小题满分 12 分)(2014· 河南省实验中学期中)已知函数 f(x) =lg( x+1). (1)若 0<f(1-2x)-f( x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数, 且当 0≤x≤1 时, 有 g(x)=f(x), 求函数 y=g(x)(x∈[1,2])的反函数.
? ?2- 2x>0, [解析] (1)由条件知? ∴- 1<x<1, ?x+ 1>0, ?

由 0<lg(2- 2x)- lg( x+ 1)= lg

2- 2x 2- 2x <1 得 1< <10, x+ 1 x+ 1

2 1 ∵ x+ 1>0,∴x+ 1<2- 2x<10x+ 10,- <x< . 3 3

?- 1<x<1, 由? 2 1 - < x < ? 3 3,

2 1 得- <x< . 3 3

(2)当 x∈ [1,2]时, 2- x∈[0,1], 因此 y=g(x)=g(x- 2)= g(2- x)= f(2- x)= lg(3- x), 由单调性可得 y∈ [0, lg2], ∵ x= 3- 10y,∴所求反函数是 y= 3- 10x, x∈ [0, lg2]. 20.(本小题满分 12 分)(2014· 安徽示范高中联考)函数 f(x)是定义 在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=log1 x.
2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x2-1)>-2. [解析] (1)当 x<0 时,- x>0,则 f(- x)= log1
2

(- x),

∵函数 f(x)是偶函数,∴f(- x)= f(x), ∴ f(x)= log1
2

(- x).

log1 x, x>0, ? ? 2 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=?0, x= 0, ?- x?, x<0. ? ?log1 2 (2)∵ f(4)= log1 4=- 2, f(x)是偶函数,
2

∴不等式 f(x2- 1)>- 2 可化为 f(|x2- 1|)>f(4), 又∵函数 f(x)在 (0,+ ∞)上是减函数, ∴ |x2- 1|<4,解得:- 5<x< 5, 即不等式的解集为 (- 5, 5). 21. (本小题满分 12 分)(2014· 山东省博兴二中质检)如图, 建立平 面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度 1 为 1km, 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- 20 (1+k2)x2( k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是 指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小), 其飞行高度为 3.2km, 试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 [解析] (1)令 y= 0,得 kx- (1+ k2)x2= 0,由实际意义和题设 20 条件知 x> 0, k> 0, 20k 20 20 故 x= ≤ = 10,当且仅当 k= 1 时取等号.所以炮 2= 1 2 1+ k k+ k 的最大射程为 10km. 1 (2)因为 a> 0, 所以炮弹可击中目标?存在 k> 0, 使 3.2= ka- 20 (1+ k2)a2 成立, ?关于 k 的方程 a2k2- 20ak+a2+ 64= 0 有正根, ∵判别式 Δ= (- 20a)2- 4a2(a2+ 64)≥0,∴a≤6. 20 ∵ k1+ k2= >0,∴a≤6 时,此方程恒有正根. a 所以当 a 不超过 6km 时,可击中目标. 22. (本小题满分 14 分)(文)(2014· 长春调研)已知函数 f(x)=ex-ax -1(a∈R). (1)讨论 f(x)=ex-ax-1(a∈R)的单调性; (2)若 a=1,求证:当 x≥0 时,f(x)≥f(-x). [解析] (1)解: f ′(x)= ex-a.当 a≤0 时, f ′(x)≥0 恒成立, 当 a>0 时,令 f ′(x)>0,得 x>lna;

令 f ′(x)<0,得 x<lna. 综上,当 a≤0 时, f(x)在 (- ∞,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,增区间是(lna,+∞),减区间是(- ∞, lna). 1 (2)证明:令 g(x)= f(x)- f(- x)= ex- x - 2x,g′(x)= ex+ e- x- e 2≥0, ∴g(x)在 [0,+∞)上是增函数,∴g(x)≥g(0)= 0, ∴ f(x)≥f(- x). (理)(2014· 吉林省实验中学一模)已知函数 f(x)=ax-ex(a>0). 1 (1)若 a= ,求函数 f(x)在 x=1 处的切线方程; 2 (2)当 1≤a≤e+1 时,求证:f(x)≤x. 1 1 1 [解析] (1)当 a= 时,f(x)= x- ex, f(1)= - e, 2 2 2 1 1 f ′(x)= - ex, f ′(1)= - e, 2 2 1 1 故函数 f(x)在 x= 1 处的切线方程为 y- + e= ( - e)(x- 1), 2 2 1 即 ( - e)x- y= 0. 2 (2)令 g(a)= x- f(x)=-ax+ x+ ex, 只需证明 g(a)≥0 在 1≤a≤e+ 1 时恒成立, g(1)=- x+ x+ ex= ex>0,① g(1+ e)=- x(1+ e)+ x+ ex= ex- ex, 设 h(x)= ex- ex,则 h′(x)= ex- e, 当 x<1 时,h′(x)<0;当 x>1 时,h′(x)>0. ∴h(x)在 (- ∞, 1)上单调递减;在(1,+ ∞)上单调递增. ∴h(x)≥h(1)= e- e= 0,即 g(1+ e)≥0,②

由①②知,g(a)≥0 在 1≤a≤e+ 1 时恒成立, 故当 1≤a≤e+ 1 时, f(x)≤x.


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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题1

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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题5

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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题9

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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题九

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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题10

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