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圆锥曲线测试题


2015-2016 学年选修 1-1 常用逻辑用语测试题
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 1.我国发射的“神舟七号”飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近 地点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行 轨道的短轴长为( ) A. 2 (m ? R)(n ? R) B. (

m ? R)(n ? R) C. mn D. 2mn

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( ) A. y ? ?8 x
2

B. y ? ?4 x
2
2

C. y ? 8 x
2

D. y ? 4 x
2

y2 ? 1的两个焦点,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线和双曲线的 m ???? ? ???? ? 一个交点为 A ,满足 AF2 ? F1 F2 ,则双曲线的离心率为( )
3.设 F1 , F2 是双曲线 x ? A. 2 C. B.

2 ?1

2 ?1

D.不确定,与 m 取值有关

4.设抛物线的焦点为 F、顶点为 O、准线与对称轴的交点为 K,分别过 F、O、K 的三条 平行直线被抛物线所截得的弦长依次为 a , b, c ,则( ) A. a 2 ? c 2 ? 2b 2 B. ac ? b 2 C. a ? c ? 2b D. ac ? 2b2

5. 若点 M 在平面 ABC 内, 且满足 OM ? pOA ? 2OB ? 3OC (点 O 为空间任意一点), 则抛物线 y 2 ? 2 px 的准线方程是( A. ) C. y ? ?1 D. y ? 1

x ? ?1

B.

x ?1

6.双曲线与椭圆 线方程为( A. y 2 ? x ? 1 3
2

x2 ? y 2 ? 1 共焦点,且一条渐近线方程是 3x ? y ? 0 ,则此双曲 5
2

) B. y ? x 2 ? 1
3
2 C. x 2 ? y ? 1 3

D. x ? y 2 ? 1
3

2

l 与 C 交于 ? 、 7. 已知直线 l : x ? y ? m ? 0 经过抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点,
2

? 两点.若 ?? ? 6 ,则 p 的值为(
A.

) C. 1 D. 2

1 2

B.

3 2 1 2

8.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点为 F ( , 0) ,动点 P 在抛物线 C 上,点 Q (2, 0) ,

试卷第 1 页,总 5 页

则 | PQ | 的最小值为( A. 2
2



B.

2

C. 3

D. 3

9.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离为( ) (A)

1 4

(B)

1 2

(C)2
2 2

(D)4

10. 已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的曲线可 能是( )

11.直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 ( ) B. (0,5)

x2 y2 ? ?1 5 m 恒有公共点。则实数 m 的取值范围是
C. [1,5) ? (5,??) D. (1, ? ?)

A. (0,1)

x2 y 2 12.设 F 1 、 F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1( a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支 a b
上存在点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则双 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 曲线的离心率为( A.
4 3

) C.
5 4

B.

5 3

D.2

试卷第 2 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 13.抛物线 x2 ? 6 y 的焦点坐标是

.

14. (本小题满分 12 分)已知椭圆 点 ? 2, 2 .

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,且经过 2 a b 2

?

?

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 ? 关于 x 轴的对称点为 ? ,已知 ? 为椭圆的上顶点,直线 ?? , ?? 分别交 x 轴于点 ? ? m,0? , ? ? n,0? ,求 mn 的值. 15.设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,点 C 在 Γ 上,且∠CBA= 两个焦点之间的距离为 16.已知椭圆 C: . ,若 AB=4,BC= ,则 Γ 的

x2 y2 + =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B a2 b2
4 ,则 C 的离心率为________. 5

两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=

17 .已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值 为 .

18. 已知圆 O 过椭圆 为_______. 评卷人 得分

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点且关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则圆 O 的方程 6 2

三、解答题 19. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 已知 ?ABC 的三个顶点在抛物线 ? : x ? y 上运动,
2

(1). 求 ? 的焦点坐标;

(2). 若点 A 在坐标原点, 且 求点 M 的轨迹方程;

?BAC ?

?
2 ,点 M 在 BC 上,且

AM ? BC ? 0 ,

(3). 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为 2 的正三角形 ABC ,若存在,求 出这个正三角形 ABC 的边长,若不存在,说明理由.

试卷第 3 页,总 5 页

5 3 20.已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (?2, 0) , (2, 0) ,并且经过点 ( , ? ) ,求它的标 2 2

准方程.
2 21.已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,过 F 任作直线 l ( l 与

x 轴不平行)交抛物线分

别于 A, B 两点,点 A 关于 y 轴对称点为 C ,
y C A B F O x D E

(1)求证:直线 BC 与 y 轴交点 D 必为定点; (2) 过 A, B 分别作抛物线的切线, 两条切线交于 E , 求 取最小值时直线 l 的方程. 22.已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O:x +y =9 上任意两个不同的点,且满足 AC · BC
2 2

| AB | | AB | 的最小值, 并求当 | DE | 1 | DE |

??? ?

??? ?

=0,设 P 为弦 AB 的中点.

(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距 离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

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23. 如图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离心率 e= 交椭圆于 A、A′两点, AA? =4.

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、P′,过 P、P′作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求△PP′Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准 方程. 24.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 3 倍,其上一点到 右焦点的最短距离为 3 ? 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 1 交椭圆 C 于 A, B 两点,当 AB ? 2 时求直线 l 的方程 25.如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,过 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,其准线
2

l 与 x 轴交于 K 点.
y Q K O P N M

F

x

(1)求证:KF 平分∠MKN; (2)O 为坐标原点,直线 MO、NO 分别交准线于点 P、Q,求 PQ ? MN 的最小值.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:根据题意,由于飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,且近地 点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则根据椭圆的性质

m ? n ? 2R ? a? ?a ? c ? R ? m ?a ? c ? R ? m ? ? 2 ?? ?? 可知 ? ? a ? c ? R ? n ? a ? c ? R ? n ?c ? n ? m ? ? 2
那么根据

a 2 ? c 2 ? b2

,进而得到 2b 的长度为

2 (m ? R)(n ? R) ,选 A.

考点:本试题考查了椭圆的运用。 点评:解决的该试题的关键是对于近地点和远地点距离的表示,从而得到 a,bc 的关系式, 求解得到方程,得到性质,属于基础题。 2.C 【解析】 试题分析:准线方程为 x ? ?2 ? 考点:抛物线方程与性质 3.C 【解析】解:因为双曲线 x ?
2

p ? 2 ? 2 p ? 8 ,抛物线为 y2 ? 8x 2

y2 b2 ? 1,过右焦点 F2 的直线与 x 轴垂直,则可知得到 2c= , m a

再结合 a,b,c 的关系式得到离心率为 2 ? 1 4.A

p ,0) ,点 O 坐标为 (0,0) ,点 K 2 p p p 的坐标为 (? ,0) ,过 F、 O、 K 的平行线方程可分别设为 y ? k ( x ? ), y ? kx , y ? k ( x ? ) . 2 2 2
【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,则点 F 的坐标为 (
2

? y 2 ? 2 px p ? 由? p 消去 y 得到 4k 2 x 2 ? (4k 2 p ? 8 p) x ? k 2 p 2 ? 0 ,设直线 y ? k ( x ? ) 与抛 y ? k(x ? ) 2 ? 2 ?
2 物线 y ? 2 px( p ? 0) 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 p ? 8 p 2p ? p? 2 , 2 4k k

k 2 p2 p2 2p 2 p2 2 2 2 x1 ? x2 ? ? , a ? k ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 = k ? 1 ? ( p ? 2 ) ? 4 ? = 4k 2 4 k 4

答案第 1 页,总 13 页

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2 p 1? k 4 2 p 1? k 2 2 p (1 ? k 2 ) 2 8 p 2 (1 ? k 2 ) 2 2 c ? a ? c ? . 同理可求得 , . ,b ? b ? k2 k4 k2 k2
4 p 2 (1 ? k 2 ) ,所以 a 2 ? c 2 ? 2b 2 ,故选 A. k4
5.A 【解析】解:因为点 M 在平面 ABC 内,且满足 OM ? pOA ? 2OB ? 3OC (点 O 为空间任 意一点),所以 p+2-3=1,则 p=2,故抛物线的开口向右,焦点在 x 轴上,因此准线为 x=-1 6.C 2 2 2 【解析】分析:求出椭圆的焦点坐标;据双曲线的系数满足 c =a +b ;双曲线的渐近线的方 程与系数的系数的关系列出方程组,求出 a,b;写出双曲线方程. 解答:解:椭圆方程为: 其焦点坐标为(±2,0) 设双曲线的方程为

x2 ? y2 ? 1, 5

x 2 y2 ? =1 a 2 b2

∵椭圆与双曲线共同的焦点 2 2 ∴a +b =4① ∵一条渐近线方程是 3x ? y ? 0 ∴ 解①②组成的方程组得 a=1,b= 3
2 所以双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 3 故选 C. 7. B 【解析】

b = 3② a

试题分析: 直线 l : x ? y ? m ? 0 经过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0 ) 的焦点 (
2 2 2 2

p p , 0) 得 m ? 2 2

① ; 由 x? y? m 0? 与 y ? 2 px 联 立 得 x ? 2( p ? m) x ? m ? 0 , 所 以

?? ? 2 [2( p ? m)]2 ? 4m2 ? 6 ②,由①②得 p =
考点:直线与抛物线的位置关系. 8.D

3 ,故选 B . 2

【 解 析 】 由 题 意 , 抛 物 线 C 的 方 程 为 y 2 ? 2 x . 设 P( x, y) , 则 y 2 ? 2 x ,

| PQ |? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 3 ? 3 , x ? 1 时取等号.选 D.
【考点定位】本题考查抛物线的方程及二次函数的最值等知识 ,意在考查学生综合运用知
答案第 2 页,总 13 页

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识解题的能力. 9.C 【解析】 试题分析:抛物线 y ? 4 x 中, p ? 2 ,此即为焦点到准线的距离
2

考点:抛物线的定义 10.C 【解析】通过直线斜率等于 m,在 y 轴上的截距为 n,从直线中可判断 m,n 的正负,从而确定 nx +my =mn 为椭圆还是双曲线,选项 C 中,从直线可以看出 m>0,n<0,而 nx +my =mn 可化为 + =1,即焦点在 x 轴上的双曲线. 11.C 【解析】略 12.B 【解析】 试题分析:由于 PF1 ? F1F2 ,就是说 ?PF 1F 2 是等腰三角形,而 F2 到直线 PF 1 的最短距离 线段即为 P 点与 F1F2 中点的连线,所以 PF1 ? 2 4c ? a ,再根据 a 2 ? b2 ? c 2 ,代入之
2 2
2 2 2 2

4b ? 2c ? 2a ,再将此式 后得到 PF 1 ? 4b ;根据双曲线的定义有 PF 1 ? F 1F 2 ? 2a ,得到
2 2 2 与 a ? b ? c 联立得到

c 5 b 4 ? ,所以 e ? ? 。 a 3 a 3

考点:三角形与双曲线的相关知识 13. (0,

3 ) 2
2

【解析】解: x ? 6 y 焦点在 y 轴上,开口向上,因此焦点坐标为(0,p/2),2p=6 所以为 (0,

3 ) 2

14. ( 1) 【解析】

x2 y 2 (2) mn ? 8. ? ? 1. 8 4

试题分析: ( 1 )依题意得 e ? 将 M (2, 2) 代入椭圆方程得

c 2 1 ? , 又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 , 即 a 2 ? 2b2 ① a 2 2
4 2 ? 2 ? 1 ②联立①②解得 a 2 ? 8, b 2 ? 4 . 2 a b

( 2 ) N 与 M (2, 2) 关于 x 轴对称,得 N (2, ? 2) ,又 P (0, 2) ,得到直线 MP 方程为

答案第 3 页,总 13 页

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y?

2 ?2 x ? 2, 2

直线 NP 方程为 y ? 计算得 mn .

?4 ?4 ? 2 ?2 ,n ? x ? , x ? 2 ,令 y ? 0 ,可得 m ? x ? 2 2 ?2 ? 2 ?2

试题解析: ( 1 )依题意得 e ? 又 c2 ? a2 ? b2 ?

c 2 2 1 ? ,? c ? a,? c 2 ? a 2 a 2 2 2

1 2 a ,? a 2 ? 2b 2 ① 2 4 2 因为 M (2, 2) 在椭圆上, ? 2 ? 2 ? 1 ② a b
联立①②解得 a ? 8, b ? 4
2 2

2分

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

5分

(2) N 与 M (2, 2) 关于 x 轴对称,? N (2, ? 2) ,

P 为椭圆上顶点? P(0, 2)
? 直线 MP 方程为 y ?

7分

?4 2 ?2 x ? 2 ,令 y ? 0 , m ? x ? 2 2 ?2
? 2 ?2 x?2 2
令 y ? 0,n ? x ?

9分

? 直线 NP 方程为 y ?

?4 ? 2 ?2

11 分

即 mn ?

?4 ?4 ? ?8 2 ?2 ? 2 ?2

12 分

考点:1.椭圆标准方程及其几何性质;2.直线方程;3.直线与椭圆的位置关系. 15. 【解析】 试题分析:如图,设椭圆的标准方程为 由题意知,2a=4,a=2. ∵∠CBA= ,BC= ,∴点 C 的坐标为 C(﹣1,1) , ,

因点 C 在椭圆上,∴


答案第 4 页,总 13 页

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∴b = , ∴c =a ﹣b =4﹣ = ,c=
2 2 2

2

, .

则 Γ 的两个焦点之间的距离为

考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质 点评:本题考查椭圆的定义、解三角形,以及椭圆的简单性质的应用 16.

5 7

【解析】在△ABF 中,由余弦定理得 2 2 2 |AF| =|AB| +|BF| -2|AB|·|BF|cos∠ABF, 2 ∴|AF| =100+64-128=36,∴|AF|=6, 2 2 2 从而|AB| =|AF| +|BF| ,则 AF⊥BF. ∴c=|OF|=

1 |AB|=5, 2

利用椭圆的对称性,设 F′为右焦点, 则|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14,a=7. 因此椭圆的离心率 e= 17.2 【解析】略 18. x ? ( y ? 1) ? 5
2 2

c 5 = . a 7

【解析】

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点为 (2,0), (?2,0) 试题分析:椭圆 6 2
由题意设圆心 o(a, a ? 1) , 因为圆 O 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点且关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对 6 2

答案第 5 页,总 13 页

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称,? a ? 0 ,

? 圆心为 (0,1), 半径为 3 ,所以圆 O 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 5
考点:椭圆的性质与圆的方程 【答案】

1? ? ?0 , ? 4? (1) 【解】. 由 x ? y 得 2 p ? 1 所以,焦点坐标为 ?
2

??3 分

(2) 【解 1】设点 M 的坐标为 ?x , y ? , BC 边所在的方程为 y ? kx ? b ( k 显然存在的),与 抛物线 x ? y 交于 B?x1 , y1 ? , C?x2 , y2 ?
2

? y ? kx ? b ? 2 y ? x2 则? 得 x ? kx ? b ? 0 , x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b
2 又点 B , C 在抛物线 ? 上,故有 y1 ? x1 , y2 ? x2 , ? y1 y2 ? x1 x2 ? b

??5 分
2 2

2

2

? AB ? AC ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?b ? b2 ? 0
? y ? kx ? 1 -------①

b ? 1 或 b ? 0 (舍)
??7 分

x y y k?? ? k ? ?1 y 代入① 又 AM 的斜率为 x ,则有 x ,既
故 M 点轨迹为 y ? x ? y ? 0 ( x ? 0)
2 2

(注:没写 x ? 0 扣 1 分)

??9 分

另解:由上式①过定点 P(0 ,1) ,? AM ? ( x , y) , MP ? (?x , 1 ? y) ? AM ? MP ? 0 , 所以, ? x ? x ? y(1 ? y) ? 0 , 既 y ? x ? y ? 0 ( x ? 0)
2 2

【解 2】设点 M 的坐标为 ?x , y ? ,

AB 方程为 y ? kx ,由

?BAC ?

?
2 得 AC 方程为

y??

? y ? kx ? 1 1 ? 1 ? C? ? , 2 ? x 2 2 k ,则 ? y ? x 得 B k , k , 同理可得 ? k k ?

?

?

1 k 2 )(x ? k ) y ? k2 ? ( 1 k? ? BC 方程为 k 恒过定点 P(0 ,1) , k2 ?

? AM ? ( x , y) , MP ? (?x , 1 ? y) ? AM ? MP ? 0 ,
答案第 6 页,总 13 页

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所以, ? x ? x ? y(1 ? y) ? 0 , (注:没写 x ? 0 扣 1 分)

既 y ? x ? y ? 0 ( x ? 0)
2 2

(其他解法,可根据【解 1】的评分标准给分) (3) 【解 1】 若存在 AB 边所在直线的斜率为 2 的正三角形 ABC ,设 A( p , p ) , B(q , q ) ,
2 2

q2 ? p2 ? 2 p ? q q ? p (其中不妨设 ), 则 , ? p?q ? 2
2 2 令 AB ? a ,则 ?q ? p ? ? q ? p 2

------① ??11 分
2

?

?

2

? a 2 ,即 ?q ? p ? ? ?q ? p ? q ? p
2

?

?

2

? a2

将①代入得, 3?q ? p ? ? a ,
2 2

?q ? p ?

a ?? p ? q ? 3

-----------------②

??13 分

p?q 2 ? 2 , 线段 AB 的中点为 M ,由①, ②得 M 的横坐标为 2 p 2 ? q 2 ?q ? p ? ? ?q ? p ? 1 a2 ? ? ? 2 4 2 12 M 的纵坐标为
2 2

??15 分

又设 d ? 1, 2 由 MC ? d 得

?

?

MC ?

3 1 ? 2a a? 3 ?? ? , (? MC ? a? , ? a) ? 2 2 2 2 3? ? ?

? 2 1 a2 ? ? 2a a? ? 2 2 a2 a 1 ? ? ? ?? ??? ? OC ? OM ? MC ? ? , ? , ? ? a , ? ? ? ? 2 2 12 ? ? ? ? 2 2 2 2 12 2 2? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 2 a ? 6a ? 6 ? ?1 ? a ? 2 2 点 C 在抛物线 x ? y 上,则 12 ,即 5a ? 18a ? 0 ,
2

?

?

又因为 a ? 0 ,
2

? a?
2

18 5
2

??18 分

设 A( p , p ) , B(q , q ) , C(r , r )

?ABC 的三边所在直线 AB , BC , CA 的斜率分别是

p2 ? q2 q2 ? r 2 r 2 ? p2 ? p?q , ?q?r , ?r? p p?q q?r r?p

------①

??12 分

答案第 7 页,总 13 页

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若 AB 边所在直线的斜率为 2 , AB 边所在直线和 x 轴的正方向所成角为

? , ?0 ? x ? 900 ? ,则 tan? ? 2 ,
0 ? ?q ? r ? t an ? ? 60 ? ?r ? p ? t an ? ? 600 所以 ?

? ?

? ?
0

??14 分

? tan? ? tan60 2? 3 ? ?q ? r ? 0 1 ? tan? tan60 1? 6 ? ? 0 ?r ? p ? tan? ? tan60 ? 2 ? 3 ? 1 ? tan? tan600 1? 6 即?
又 p ? q ? tan? ? 所以,

, ?q ? p ?

6 3 5
-----② ??16 分

2 --------------③
?

AB ?

?q ? p ?2 ? ?q 2 ? p 2 ?2
AB ? 18 5

?q ? p ?2 ?1 ? ?q ? p ?2 ?
??18 分

将②, ③代入上式得边长

(其他解法,可根据【解 1】的评分标准给分) 【解析】略

x2 y 2 ? ?1. 10 6 【解析】 试题分析:解题思路:根据条件设出椭圆的标准方程,再代点求系数即可.规律总结:求圆 锥曲线的标准方程通常用待定系数法, 即先根据条件设出合适的标准方程, 再根据题意得到 关于系数的方程或方程组,解之积得.
20. 试题解析:因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

5 3 5 3 由椭圆的定义知 2a ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? 2 10 , 2 2 2 2

所以 a ? 10 . 又因为 c ? 2 , 所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 6 ,

x2 y 2 ? ?1 . 10 6 考点:椭圆的标准方程.
所以椭圆的标准方程为 21. (1)通过确定直线 BC 的方程,证明直线 BC 与 y 轴交于定点 D(0,?1) . (2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 【解析】
答案第 8 页,总 13 页

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试题分析: (1)通过确定直线 BC 的方程,证明直线 BC 与 y 轴交于定点 D(0,?1) . (2) 应用导数的几何意义, 确定过点 A 及过点 B 的切线方程并联立方程组, 确定 E (2k ,?1) ,

| DE |? 2 | k | ,
进一步应用“弦长公式”及均值定理,建立 k 的方程,确定得到 k ? ?1 ,从而求得直线 l 的方程为: y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 试题解析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,∵抛物线 y ?
y C A B F O x D E

x2 的焦点为 F (0,1) 4

∴可设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1, (k ? 0)

? y ? kx ? 1 ? x 2 ,消去 y 并整理得: x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ? y? ? 4 ?
? x1 ? x 2 ? 4k , (1) ? ? x1 x 2 ? ?4, ( 2)
4分

1

C (? x1 , y1 ) , k CB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x12 x ? x1 ? 2 ? 2 x2 ? x1 4( x2 ? x1 ) 4
2 x ? x1 x2 x ? x1 x ? x1 xx x ?1 ? 2 ( x ? x2 ) ? y ? 2 x? 1 2 ? 2 4 4 4 4 4

直线 BC 的方程为 y ?

∴直线 BC 与 y 轴交于定点 D(0,?1) (2) f ?( x ) ?

7分

x12 x1 x ? ( x ? x1 ) ,∴过点 A 的切线方程为: y ? 2 4 2

即: y ?

x1 x2 x ? 1 ③,同理可得过点 B 的切线方程为: 2 4

答案第 9 页,总 13 页

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y?

x2 x2 x? 2 ④ 9分 2 4
1 1 2 ( x1 ? x 2 ) x ? ( x12 ? x 2 ) ? 0 ( x1 ? x 2 ) 2 4

③—④得: ∴x ?

x1 ? x 2 ? 2k 2

2 x1 ? x 2 x12 ? x 2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 x? ? x? ③+④得: 2 y ? 2 4 2 4

? 4k 2 ?

16k 2 ? 8 ? ?2 ? y ? ?1 12 分 4

∴ E (2k ,?1) , | DE |? 2 | k |

| AB |? k 2 ? 1 | x1 ? x 2 |? k 2 ? 1 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 4(k 2 ? 1)


| AB | 4(k 2 ? 1) 1 ? ? 2(| k | ? ) ? 4 ,取等号时, k ? ?1 , | DE | 2|k | |k|
15 分

直线 l 的方程为: y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .

考点:直线与抛物线的位置关系,导数的几何意义,均值定理的应用. 2 2 22. (1)x -x+y =4 (2)存在,(1,-2)和(1,2) 【解析】(1)连接 CP、OP,由 AC · BC =0,知 AC⊥BC, ∴|CP|=|AP|=|BP|=
2

??? ?

??? ?

1 |AB|. 2
2 2

由垂径定理知|OP| +|AP| =|OA| , 2 2 即|OP| +|CP| =9. 2 2 2 2 设点 P(x,y),有(x +y )+[(x-1) +y ]=9, 2 2 化简,得到 x -x+y =4. 2 (2)根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线 y = 2px 上,其中

p =1, 2
2

∴p=2,故抛物线方程为 y =4x. 由方程组 ?
2 ? ? y ? 4x 2 ,得 x +3x-4=0, 2 2 ? ?x ? x ? y ? 4

解得 x1=1,x2=-4,由于 x≥0, 故取 x=1,此时 y=±2. 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).
答案第 10 页,总 13 页

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23. (1) 【解析】

x2 y 2 + =1 16 8

(2)2 2

(x+ 2 ) +y =6,(x- 2 ) +y =6
2 2 2 2

解:(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则

? ?c ?
a2

2

+

4 22 2 =1,从而 e + 2 =1, 2 b b

又 e=

4 b2 2 2 2 ,故 b = =8, 从而 a ==16. 1 ? e2 1 ? e2 2
x2 y 2 + =1. 16 8

故该椭圆的标准方程为

(2) 由 椭 圆 的 对 称 性 , 可 设 Q(x0,0). 又 设 M(x,y) 是 椭 圆 上 任 意 一 点 , 则
2 |QM| =(x-x0) +y =x -2x0x+ x0 +8×(12 2 2 2

1 x2 2 2 )= (x-2x0) - x0 +8(x∈[-4,4]). 2 16

设 P(x1,y1),由题意知,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点, 2 因此,当 x=x1 时|QM| 取最小值, 2 又 x1∈(-4,4),所以当 x=2x0 时|QM| 取最小值,
2 从而 x1=2x0,且|QP| =8- x0 .
2

由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|, 所以 S=

1 |2y1||x1-x0| 2

? x12 ? 1 = ×2 8 ? ? 1 ? ? |x0| 2 ? 16 ?
= 2

?4 ? x ? x
2 0

2 0

2 = 2 · ? x0 ?2

?

?

2

?4.

当 x0=± 2 时,△PP′Q 的面积 S 取得最大值 2 2 . 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(± 2 ,0),半径|QP|= 8 ? x0 = 6 ,
2

因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2 ) +y =6,(x- 2 ) +y =6.
2 2 2 2

x2 3 ? y2 ? 1 y?? x ?1 3 24. (1) 3 , (2)
【解析】 试题分析: (1)求椭圆标准方程,关键确定 a , b. 需要两个独立条件,一是长轴长是短轴长的

答案第 11 页,总 13 页

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3 倍,故 a ? 3b ,二是根据椭圆右顶点到右焦点的距离最短,得 a ? c ? 3 ? 2. 这一结
PF ? e( a2 a2 ? xP ) ? e( ? a) ? a ? c. c c (2)由直线方程与椭圆方

论可由椭圆统一定义得到,即

?6k x1 ? 0, x2 ? 2 2 2 (3 k ? 1) x ? 6 kx ? 0 y 3 k ? 1 , 结 合 弦 长 公式 得 程联立方程组消去 得 ,解得 6| k | 1 | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 2 ?2 k2 ? 3k ? 1 3 ,从而解出直线 l 的方程 ,解得

y??

3 x ?1 3 .

试题解析:解: (1)由题可知: a ? c ? 3 ? 2, a ? 3b

?a ? 3 , b ? 1

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 3

5分

? y ? kx ? 1 ? 2 ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kx ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 (2)由 ? 3
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

? 6k , x1 x2 ? 0 3k 2 ? 1

? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2
? 6k 2 1 3 ) ? 4 ? k2 ? ? k ? ? 2 3k ? 1 3 3
y?? 3 x ?1 3

? 6k ?2 3k 2 ? 1

9



? (1 ? k 2 )(

所以直线 l 的方程为:

12 分

考点:椭圆标准方程,直线方程 25. (1)见解析; (2)8. 【解析】 试题分析: (1)只需证 Kmk + Knk = 0 ,设出 M,N 两点坐标和直线 MN 方程,再把直线方程 与抛物线方程联立,由韦达定理可得证; (2)由(1)设出的 M,N 两点坐标分别先求出 P、 Q 两点坐标,还是把设出的直线 MN 方程与抛物线方程联立,由韦达定理把 PQ , MN 表示 出来,再根据直线 MN 的倾斜角的范围求 PQ ? MN 的最小值. 试题解析: (1)抛物线焦点坐标为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 .
答案第 12 页,总 13 页

2分

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设直线 MN 的方程为 x ? m y ? 1。设 M、N 的坐标分别为 (

y12 y2 , y1 ), ( 2 , y2 ) 4 4
4分

由?

?x ? my ? 1 ? y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

∴ y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 .

设 KM 和 KN 的斜率分别为 k1 , k 2 ,显然只需证 k1 ? k 2 ? 0 即可. ∵ K (?1,0) , ∴ k1 ? k 2 ?

y1 y ?1 4
2 1

?

y2 y ?1 4
2 2

?

4( y1 ? y 2 )( y1 y 2 ? 4) ?0 , ( y12 ? 4)( y12 ? 4)

6分

(2)设 M、N 的坐标分别为 (

y12 y2 , y1 ), ( 2 , y2 ) ,由 M,O,P 三点共线可求出 P 点的坐标为 4 4
7分

(?1,?

4 4 ) ,由 N,O,Q 三点共线可求出 Q 点坐标为 (?1,? ) , y1 y2

设直线 MN 的方程为 x ? m y ? 1。由 ? ∴ y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 则 | PQ |?|
? 16m2 ? 16 ? 4 m2 ? 1

?x ? my ? 1 ? y 2 ? 4my ? 4 ? 0 2 ? y ? 4x

4 4 4( y1 ? y2 ) ? |? ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 y1 y2 | y1 y2 |

9分

又直线 MN 的倾斜角为 ? ,则 m ? ∴ | PQ |? 4 1 ? 同理可得 | MN |??

1 , ? ? (0, ? ) tan ?

1 4 ? .10 分 2 tan ? sin ?

4 . 13 分 sin 2 ? 4 4 ? PQ ? MN ? ? 2 ? 8 ( ? ? 时取到等号) . sin ? sin ? 2

15 分

考点:1、抛物线的方程及性质;2、直线与曲线相交的性质.

答案第 13 页,总 13 页


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