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【原创】《博雅高考》2015届高三数学三轮高频考点新题演练:排列组合与二项式定理(含解析)


【原创】 《博雅高考》2015 届高三数学三轮高频考点新题演练: 排列组合与二项式定理(含解析)
1.从 6 位男学生和 3 位女学生中选出 4 名代表,代表中必须有女学生,则不同的选法有( A.168 B.45 C.60 D.111 )

2.给出下列四个结论: ①若 a,b∈[0,1],则不等式 a 2+b 2 ≤1 成立的概率为

r />? ; 4

②由曲线 y= x3 与 y= 3 x 所围成的封闭图形的面积为 0.5; ③已知随机变量ξ 服从正态分布 N(3, ? 2 ) ,若 P(ξ ≤5)=m,则 P(ξ ≤1)=1-m; ④ ( x+

1 2 x

)8 的展开式中常数项为

35 . 8

其中正确结论的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4

3.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序,最前只能排甲或乙,最后不能 排甲,则不同的排法共有( A.192 种
2 4. ( x ?

) C.240 种 D.288 种 )

B.216 种

1 ? 2)3 展开式中的常数项为( 2 x
B.-12
10

A.-8

C.-20

D.20
2 10

5.已知 ?1 ? x? A.-180

? a0 ? a1 ?1 ? x? ? a2 ?1 ? x? ? ?a10 ?1 ? x? ,则 a8 ?
B.180 C.45 D.-45 )





6.甲、乙、丙三人站成一排,则甲、乙相邻的概率是( A.

2 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

5 6

7.把一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种 不同颜色可供选择,那么不同的染色方法共有( A.420 种 B.300 种 C.360 种 )

D.540 种

8.某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选,则不同的选 课方案有( A.35 种 ) B.16 种 C.20 种 D.25 种

9.若 ( x ? 2 ? m)9 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ??? ? a9 ( x ? 1)9 且

(a0 ? a2 ? ??? ? a8 )2 ? (a1 ? a3 ? ??? ? a9 )2 ? 39 ,则实数 m 的值是_________.
10.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要 求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为 11.在二项式 ( 3 x ? .

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.

(1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中各项的系数和. 12. (本题 12 分)用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺次排成一个三位数,此时: (1)各位数字互不相同的三位数有多少个? (2)可以排出多少个不同的数? (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个? 13.已知 f ( x) ? (2 x ? 3) n 展开式的二项式系数和为 512,且

(2x ? 3) n ? a0 ? a1( x ?1) ? a2 ( x ?1) 2 ?
(1)求 a2 的值; (2)求 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ( x ?1)n .

? an 的值.

参考答案 1.D
1 3 2 2 3 1 【解析】女生选 1,2,3 人,男生相应选 3,2,1 人,选法有 C3 C6 ? C3 C6 ? C3 C6 ? 111种.

2.C

1 S圆 ? ? ,其中 【解析】对于选项 A,由几何概型,不等式 a 2+b 2 ≤1 成立的概率 P ? 4 4 S正方形
圆的圆心为(0,0) ,半径为 1,正方形边长为 1,故 A 正确;对于选项 B,曲线 y= x3 与 y = 3 x 的交点为(1,1) ,由由定积分的定义,曲线 y= x3 与 y= 3 x 所围成的封闭图形的面积
1 3 1 3 1 2S ? 2? (3 x ? x 3 )dx ? 2 ? ( x 3 ? x4 1 ? 2 ? ( ? ) ? 1. 故 B 不正确;对于选项 C, 0) 0 4 4 4 4 4

若 P(ξ ≤5)=m,则 P(? ? 5) ? 1 ? m, 由正态分布图的对称性得 P(? ? 5) ? P(? ? 1) ,

P(? ? 1) ? 1 ? m, 故 C 正 确 ; 对 于 选 项 D , ( x+

1 2 x

)8 的 第 r ? 1 项 为
35 . 8

Tr ?1 ? C8r ( x ) 8?r (
3.B

1 2 x

) r ? C8r 2 ?r x 4?r ,当 r ? 4 时,常数项为 C84 2 ?4 ?

5 【解析】完成这件事件,可分两类:第一类,最前排甲,其余位置有 A5 ? 120中不同的排

法;第二类,最前排乙,最后有 4 种排法,其余位置有 A4 ? 24 种不同的排法;所以共有
4
5 4 A5 ? 4 A4 ? 216种不同的排法.

4.C
2 【解析】∵ ( x ?

1 1 1 r 6?r r ? 2)3 ? ( x ? )6 ,∴ Tr ?1 ? C6 x (? ) r ? C6 (?1) r x 6? 2 r , 2 x x x

3 令 6 ? 2r ? 0 ,即 r ? 3 ,∴常数项为 C6 (?1)3 ? ?20 .

5.B 【解析】由题意得 ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ?
8

10

? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ??? ? a10 ?1 ? x ?
2

10



8 2 所以 a8 ? C10 2 ? ?1? ? 180 ,故选 B

6.A 【解析】甲、乙、丙三人站成一排所有的方法数为 A33=6,其中甲、乙两人相邻的方法数为

2 2 A2 A2 ? 4 ,由此求得甲、乙两人不相邻的概率 P ?

4 2 ? . 6 3

7.A 【解析】设四棱锥为 P ? ABCD ,下面分两种情况即 B 与 D 同色和 B 与 D 不同色来讨论,
1 1 1 1 1 1 1 (1) P : C5 , B 与 D 同色: D :1, C : C3 ;(2) P : C5 ,B 与D不 , A : C4 , B : C3 , A : C4 , B : C3





:

1 1 D : C2 , C : C2

,























1 1 1 1 1 1 1 1 1 C5 ? C4 ? C3 ?1? C3 ? C5 ? C4 ? C3 ? C2 ? C2 ? 420 ,故选 A .

8.D 【解析】学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选,有三种方法,一是不
4 3 3 选甲乙共有 C5 种方法,二是选甲,共有 C5 种方法,三是选乙,共有 C5 种方法,把这 3 个

数相加可得结果为 25 9.-3 或 1 【解析】由题根据二项式定理展开式的特征进行分析,设 x+1=1 或-1 结合所给选项不难得 到 正
9















x+1=1,



-1
9





x=0,-2,





? m ? 2?

? a1 ? a ?2
9

? a , m9 9? a ? a ?1 ? a 2,

? ? m ? 2 ? ? m9 ? 39 ,?m2 ? 2m ? 3 ? 0, 所以 m=-3 或 1.
10.472 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张,若都不同色则有
1 1 1 1 2 1 C4 ? C4 ? C4 ? 64 种,若 2 色相同,则有 C32C2 C4 C4 ? 144 ;若红色卡片有 1 张,则剩余 2
1 1 1 1 2 2 张 若 不 同 色 , 有 C4 ? C32 ? C4 ? C4 ? 192 种 , 如 同 色 则 有 C4 C3 C4 ? 72 , 所 以 共 有

64 ? 144 ? 192 ? 72 ? 472 .
11. (1) T5 ?

35 8

(2)

1 256

【解析】 ( 1 )写 出 二 项 式 的 展 开 式 的 特 征 项 ,当 x 的 指 数 是 1,2,3 时 ,把 1,2,3 代 入
0 1 2 整 理 出 这 些 项 的 系 数 的 值 即 : (? )0 Cn .( 2 )根 据 上 一 问 得 出 的 结 论 ,( )Cn ,( )2 Cn

1 2

1 2

1 2

令 x ? 1 即 可 .解 题 的 关 键 是 写 出 展 开 式 的 特 征 项 , 利 用 特 征 项 的 特 点 解 决 问 题 ,

注意代数式的整理,特别是当分母上带有变量时注意整理.

1 r x 解:展开式的通项为 Tr ?1 ? (? )r Cn 2

n?2r 3

(r ? 0,1, 2 ,… , n )

0 1 2 由已知: (? )0 Cn 成等差数列, ,( )Cn ,( )2 Cn

1 2

1 2

1 2

1 2 ∴ 2 ? Cn ? 1 ? Cn ,? n ? 8

1 2

1 4

(1) T5 ?

35 8

(2)令 x ? 1 ,各项系数和为

1 256

12. 【解析】 (1)得到一个三位数,分三步进行:先填百位,有 6 种方法;再填十位,有 5 种方法;最后填个位,有 4 种方法,根据分步计数原理可得; (2)分三步进行:先填百位,再填十位,最后填个位,每种都有 6 种方法,根据分步计数 原理可得;
2 (3)从三个位中任选两个位,填上相同的数字,有 6C3 种方法,剩下的一位数字的填法有

5 中,根据分步计数原理可求得结果. 解: (1)得到一个三位数,分三步进行:先填百位,再填十位,最后填个位.百位上的数字 填法有 6 种,十位上的数字填法有 5 种,个位上的数字填法有 4 种,根据分步计数原理,各 位数字互不相同的三位数有 6 ? 5 ? 4 ? 120 个. (2)分三步进行:先填百位,再填十位,最后填各位,每种都有 6 种方法,根据分步计数 原理,可以排出 6 ? 6 ? 6 ? 216 个不同的数. (3)两个数字相同有三种可能性,即第一、二位,第二、三位,第三、一位相同,而每种 情况有 6× 5 种,故有 3× 6× 5=90(个).

13.已知 f ( x) ? (2 x ? 3) n 展开式的二项式系数和为 512,且

(2x ? 3) n ? a0 ? a1( x ?1) ? a2 ( x ?1) 2 ?
(1)求 a2 的值; (2)求 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ( x ?1)n .

? an 的值. ? a9 ? 2 .

13. (1) a2 ? ?144 ; (2) a1 ? a2 ? a3 ?

【解析】 (1)根据二项式的系数和即为 2 ,可得 2n ? 512 ? n ? 9 ,因此可将 f ( x) 变形为
n

f ( x) ? (2x ? 3)9 ? [2( x ?1) ?1]9



















r ?1



r 7 2 Tr ?1 ? C9 (?1)r 29?r ( x ?1)9?r (0 ? r ? 9) ,故令 r ? 7 ,可得 a2 ? C9 2 (?1)7 ? ?144 ;

(2)首先令 x ? 1, a0 ? (2 ?1 ? 3)9 ? ?1 ,再令 x ? 2 ,得

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?
从而 a1 ? a2 ? a3 ?

? a9 ? (2 ? 2 ? 3)9 ? 1,

? a9 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? a9 ) ? a0 ? 2 .
2 分,

n 9 (1)由二项式系数和为 512 知, 2 ? 512 ? 2 ? n ? 9

7 2 (2x ? 3)9 ? [2( x ?1) ?1]9 ,∴ a2 ? C9 2 (?1)7 ? ?144 6 分;

(2)令 x ? 1, a0 ? (2 ?1 ? 3) 9 ? ?1 , 令 x ? 2 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ∴ a1 ? a2 ? a3 ?

? a9 ? (2 ? 2 ? 3)9 ? 1,

? a9 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? a9 ) ? a0 ? 2

12 分.


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