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2015山东高考数学(理)试题及答案


绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、 考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后

,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答 案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原 来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题
-1-

给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 (1) 已知集合 A={X|X?-4X+3<0},B={X|2<X<4},则 A B= (A) (1,3) (B) (1,4) (C) (2,3) (D) (2,4) (2)若复数 Z 满足 (A)1-i
Z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 Z= 1? i

(B)1+i
? 3

(C)-1-i

(D)-1+i

(3)要得到函数 y=sin(4x- )的图像,只需要将函数 y=sin4x 的图 像() (A)向左平移
?
12

个单位

(B)向右平移

?
12

个单位

(C)向左平移 个单位

? 3

(D)向右平移 个单位

? 3

(4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60o ,则 BD CD = (A)(B)(C) (D)

(5)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是 (A) (- ,4) (B) (- ,1) (C) (1,4) (D) (1,5)

(6)已知 x,y 满足约束条件 (A)3 (B)2 (C)-2

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a= (D)-3

(7)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

-2-

(A )

(B)

(C)

(D)2

(8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0, 32) ,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附:若随机变量ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ?) ,则 P(μ -σ <ξ <μ + σ )=68.26%,P(μ -2σ <ξ <μ +2σ )=95.44%.) (A)4.56% (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74%

( 9 ) 一 条 光 线 从 点 ( -2 , -3 ) 射 出 , 经 y 轴 反 射 后 与 圆 相切,则反射光线所在直线的斜率为() (A) (C) 或 或 (B (D ) 或 或 ,则满足 f(f(a))= 的 a 的取值范围是 ()

(10) 设函数 f(x)= (A)[ ,1](B)[0,1] (C)[ (D)[1, +

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)观察下列各式: C10 =40

-3-

?? 照此规律,当 n ? N 时, C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +?+ Cn-12n-1 =
?
4

.

(12)若“ ? x ? [0, ],tanx ? m”是真命题,则 实数 m 的最小值为

( 13)执行右边的程序框图,输出的 T 的值 为 .



(14) 已知函数 f ( x) ? a x ? b(a ? 0, a ? 1) 的定义域 和值域都是 ? ?1, 0? ,则 a ? b ? (15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2: a 2 b2

X2=2py(p>0)交于 O, 若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为 _ __ 三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。 (16) (本小题满分 12 分) 设 f(x)= sin x cos x ? cos 2(x+ ).
4

?

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间;
-4-

(Ⅱ) 在锐角△ABC 中, 角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f ( 求△ABC 面积的最大值。 (17)(本小题满分 12 分)

A ) =0,a=1, 2

如图,在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点。 (Ⅰ)求证:BC//平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE, ∠BAC= 450 ,求平面 FGH 与平 面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.

(18) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n = 3n +3. (I)求 {an } 的通项公式; (II)若数列 {bn } 满足 anbn = log32 ,求 {bn } 的前 n 项和Tn . (19) (本小题满分 12 分) 若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字, 十位数字大于百位数字, 则称 n 为 “三位递增数” (如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递 增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若 抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者 得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得 ?1 分;若能被 10
-5-

整除,得 1 分. (I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . (20) (本小题满分 13 分) 平面直角坐标系 中,已知椭圆 : 的离心

率为 ,左、右焦点分别是

.以 为圆心以 3 为半径的圆与

以 为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设椭圆 交椭圆 点 . 的值; 面积的最大值. 为椭圆 上任意一点,过点 的直线 于 两点, 射线 交椭圆 于

( i )求

(ii)求△

(21)(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x )= In( x +1)+ ? ( x 2 - x ) ,其中 ? ? R 。 (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?? >0, f ( ? ) ? 0 成立,求 ? 的取值范围。

-6-

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学试题参考答案

一、 选择题 (1)C (6)B (2)A (7)C (3)C (8)B (4)D (9)D (5)A (10)C

二、填空题 (11) 4n ?1 (12)1 (13)
11 6

(14) ?

3 2

(15)

3 2

三、解答题 (16)
1 ? cos(2 x ? ) 1 2 解: (Ⅰ)由题意 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 1 ? sin 2 x ? 2 ? ? k ?Z 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k? 2 2 ? ? k ?Z 可得 ? ? k? ? x ? ? k? 4 4


?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 2 k? 2

k ?Z
-7-



?
4

? k? ? x ?

3? ? k? 4

k ?Z

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 [ ? 单调递减区间是 [ (II)

?
4

? k? ,

?
4

? k? ] ( k ? Z )

3? ? k? ] ( k ? Z ) 4 4 A 1 1 f ( ) ? sin A ? ? 0 ? sin A ? 2 2 2 ? k? ,

?

由题意 A 是锐角,所以 cos A ?

3 2

由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

可得1 ? 3bc ? b 2 ? c 2 ? 2bc

? bc ?

1 ? 2 ? 3 ,且当 b ? c 时成立 2? 3
2? 3 4
2? 3 4

? bc sin A ?

? ?ABC 面积最大值为
(17)

(Ⅰ)证法一: 连接 DG,CD ,设 CD ? GF ? O ,连接 OH 在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE , G 为 AC 的中点, 可得 DF // GC,DF ? GC , 所以 四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为 CD 的中点, 又 H 为 BC 的中点, 所以 OH // BD , 又 OH ? 平面 FGH BD ? 平面 FGH , 所以 BD // 平面 FGH 证法二: 在三棱台 DEF ? ABC 中, 由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH // EF , BH ? EF , 所以四边形 BHFE 为平行四边形,
-8-

可得 BE // HF , 在 ?ABC 中, G 为 AC 的中点, H 为 BC 的中点, 所以 GH // AB , 又 GH ? HF ? H ,所以平面 FGH // 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD // 平面 FGH 。 (II)解法一: 设 AB ? 2 ,则 CF ? 1 , 在三棱台 DEF ? ABC 中, G 为 AC 的中点,

z
D

F

E

1 AC ? GC , 2 可得 四边形 DGCF 为平行四边形, 因此 DG // FC , 又 FC ? 平面 ABC , 所以 DG ? 平面 ABC ,
由 DF ?

G
A
B

y
C
H

x

在 ?ABC 中,由 AB ? BC , ?BAC ? 45? , G 是 AC 中点, 所以 AB ? BC,GB ? GC , 因此 GB, GC , GD 两两垂直, 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz , 所以 G (0, 0, 0),B( 2 ,0, 0),C (0,2 ,0), D (0, 0, 1)

可得 H (

2 2 , ,0),F (0,2 ,0) 2 2
2 2 , ,0), GF (0,2 ,0) , 2 2

故 GH ? (

设 n ? ( x, y , z ) 是平面 FGH 的一个法向量,则 由?

? ?n ? GH ? 0 ? ? n ? GF ? 0

可得 ?

? x? y ?0 ? 2y ? z ? 0

可得 平面 FGH 的一个法向量 n ? (1,?1, 2 ) ,

( 2, 0, 0) 因为 GB 是平面 ACFD 的一个法向量, GB ?
所以 cos GB, n ?

GB ? n 2 1 ? ? | GB | ? | n | 2 2 2

所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60?
D F

E

-9-

N

G
A

M

C

解法二: 作 HM ? AC 与点 M ,作 MN ? GF 与点 N ,连接 NH 由 FC ? 平面 ABC ,得 HM ? FC , 又 FC ? AC ? C , 所以 HM ? 平面 ACFD , 因此 GF ? NH , 所以 ?MNH 即为所求的角, 在 ?BGC 中, MH // BG , MH ? 由 ?GNM ~ ?GCF , 可得

1 2 , BG ? 2 2

MN GM , ? FC GF

从而 MN ?

6 , 6

由 HM ? 平面 ACFD , MN ? 平面 ACFD , 得 HM ? MN , 因此 tan ?MNH ?

所以 ?MNH ? 60? , 所以 平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60? 。

HM ? 3, MN

(18) 解: (I)因为 2 Sn ? 3n ? 3 ,
所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 , 当 n ? 1 时, 2 Sn ?1 ? 3n ?1 ? 3 , 此时 2an ? 2 Sn ? 2 Sn ?1 ? 3n ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ,即 an ? 3n ?2 ,

? 3, n ? 1 an ? ? n ? 2 所以 ?3 , n ? 1
(II)因为 an bn ? log3 2 ,所以 b1 ?

1 , 3

当 n ? 1 时, bn ? 3n ?2 log2 3n ?1 ? ( n ? 1) ? 31?n , 所以 T1 ? b1 ?

1 ; 3
- 10 -

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
所以

1 ? (1 ? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ( n ? 1) ? 32?n ) , 3

3Tn ? 1 ? (1 ? 30 ? 2 ? 3?1 ? ? ? ( n ? 1) ? 33?n )

两式相减,得

2Tn ?

2 ? (30 ? 3?1 ? 3?2 ? ? ? 32?n ) 3

?
?

2 1 ? 32?n ? ? ( n ? 1) ? 32?n ?2 3 1? 3

13 6n ? 3 , ? 6 2 ? 3n 13 6n ? 3 所以 Tn ? ? 12 4 ? 3n 经检验, n ? 1 也适合, 13 6n ? 3 综上可得 Tn ? ? 12 4 ? 3n
(19) 解: (I)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345;
3 (II)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C9 ? 84 ,

随机变量 X 是取值为:0,-1,1,因此

C83 2 P ( X ? 0) ? 3 ? , C9 3 P( X ? ?1) ?
2 C4 1 ? 3 C9 14

P( X ? 1) ? 1 ?
所以 X 的分布列为

1 2 11 , ? ? 14 3 42

X P

0

-1

1

2 1 3 14 2 1 11 4 则 EX ? 0 ? ? ( ?1) ? 1? ? 3 14 42 21

11 42

(20)
解: (I)由题意知 2a ? 4 ,则 a ? 2 ,
- 11 -



c 3 2 ? , a ? c 2 ? b2 , a 2

可得 b ? 1 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4 x2 y2 ? ?1 16 4

(II)由(I)知椭圆 E 的方程为

(i)设 P ( x0 , y0 ),
2

| OQ | ? ? ,由题意知 Q ( ??x0 ,??y0 ) , | OP |

因为

x0 2 ? y0 ? 1 4
2 ? x0 2 ( ? y0 ) ?1 4 4



( ??x0 ) 2 ( ??y0 ) 2 ? ? 1, 即 16 4

所以

? ? 2 ,即

| OQ | ?2 | OP |

(ii)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程, 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 16 ? 0 ,
2 2 2

由 ? ? 0 ,可得 m 2 ? 4 ? 16k 2 则有 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 16 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 | x1 ? x2 |?

4 16k 2 ? 4 ? m 2 1 ? 4k 2

因为 直线 y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m ) , 所以 ?OAB 的面积 S ?

1 | m || x1 ? x2 | 2

2 16k 2 ? 4 ? m 2 | m | ? 1 ? 4k 2

- 12 -

2 (16k 2 ? 4 ? m 2 )m 2 ? 1 ? 4k 2
? 2 (4 ? m2 m2 ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2



m2 ?t 1 ? 4k 2

将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程, 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

由 ? ? 0 ,可得 m 2 ? 1 ? 4k 2 由① ② 可知 0 ? t ? 1 , 因此 S ? 2 ( 4 ? t )t ? 2 ? t 2 ? 4t , 故 S?2 3, 当且仅当 t ? 1 时,即 m 2 ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 2 3 , 由(i)知, ?ABQ 面积为 3S , 所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 .

(21)
解: (Ⅰ)由题意知 函数 f ( x ) 的定义域为 (1,??) ,

f ?( x ) ?

1 2ax 2 ? ax ? a ? 1 , ? a ( 2 x ? 1) ? x ?1 x ?1
2

令 g ( x ) ? 2ax ? ax ? a ? 1, x ? ( ?1,?? ) , (1)当 a ? 0 时, g ( x ) ? 1 , 此时 f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 单调递增,无极值点; (2)当 a ? 0 时, ? ? a ? 8a (1 ? a ) ? a (9a ? 8) ,
2

- 13 -

① 当0 ? a ?

8 时, ? ? 0 , g ( x ) ? 0 , 9

f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 单调递增,无极值点;
② 当a ?

8 时, ? ? 0 , 9

设方程 2ax 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 因为 x1 ? x2 ? ? 所以 x1 ? ?

1 , 2

1 1 , x2 ? ? , 4 4 1 , 4

由 g ( ?1) ? 1 ? 0 ,可得 ? 1 ? x1 ? ?

所以 当 x ? ( ?1, x1 ) 时, g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, g ( x ), ? 0, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? ( x2 ? ?) 时, g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 因此 函数有两个极值点。 (3)当 a ? 0 时, ? ? 0 , 由 g ( ?1) ? 1 ? 0 ,可得 x1 ? ?1 , 当 x ? ( ?1, x2 ) 时, g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( x2 ? ?) 时, g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 所以函数有一个极值点。 综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 有一个极值点; 当0 ? a ? 当a ?

8 时,函数 f ( x ) 无极值点; 9

8 时,函数 f ( x ) 有两个极值点。 9 8 时,函数 f ( x ) 在 (0,?? ) 上单调递增, 9

(II)由(I)知, (1)当 0 ? a ?

因为 f (0) ? 0 , 所以 x ? (0,?? ) 时, f ( x ) ? 0 ,符合题意;

- 14 -

(2)当

8 ? a ? 1 时,由 g (0) ? 0 ,得 x2 ? 0 , 9

所以 函数 f ( x ) 在 (0,?? ) 上单调递增, 又 f (0) ? 0 ,所以 x ? (0,?? ) 时, f ( x ) ? 0 ,符合题意; (3)当 a ? 1 时,由 g (0) ? 0 ,可得 x2 ? 0 , 所以 x ? (0, x2 ) 时,函数 f ( x ) 单调递减; 因为 f (0) ? 0 , 所以 x ? (0, x2 ) 时, f ( x ) ? 0 ,不合题意; (4)当 a ? 0 时,设 h ( x ) ? x ? ln( x ? 1) , 因为 x ? (0,?? ) 时, h?( x ) ? 1 ?

1 x ? ?0 x ?1 x ?1

所以 h ( x ) 在 (0,?? ) 上单调递增。 因此 当 x ? (0,?? ) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 即

ln( x ? 1) ? x ,
2 2

可得 f ( x ) ? x ? a ( x ? x ) ? ax ? (1 ? a ) x , 当 x ? 1?

1 2 时, ax ? (1 ? a ) x ? 0 , a

此时 f ( x ) ? 0 ,不合题意, 综上所述, a 的取值范围是 [0,1]

- 15 -


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