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江苏省数学竞赛提优教案:第58讲 二项式定理


第 58 讲 n n n 二项式定理 n-1 n-r r n 本二项式定理 设 n∈N,则(a+b) =Ca +Ca b+?+Ca b +?+Cb n-r r ① ①式右边称为二项式(a+b) 的展开式,第 r+1 项 Tr+1=Ca b 称为二项式展开式的通 项公式,C 叫做第 r+1 项的二项式系数。 特别地,(1+x) =C+Cx+?+Cx +?+Cx 。 为方便起见,我们引入记号“∑” ,a1+a2+?+an 可记为 n r n ?a k ?1 n k ,于是①式可以写成(a +b) = n ?C k ?1 n n k n?k k b na 。 二项式系数之间有如下性质: ① ?C k ?1 k n =2 ; n ?r ②C=C n n ,0?r?n; ?1 r ③C r n +C=C n ?1 ④当 n n 2 为偶数时,C<C<?<C n , n 2 Cn > n ?1 2 >?>C; Cn n ?1 ?1 n ?1 n ?1 当 n 为奇数时,C<C<?<C n 2 =C n 2 > C n 2 >?> C。 对于二项式定理,不仅要掌握其正向运用,而且要学会逆向运用和变式使用,有时先作 适当变形后再展开;有时需适当配凑后逆用二项式定理。 二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具, 如: 整除或求余数 (余式)问题,组合数的求和式组合恒等式的证明问题,近似计算问题等等。对于利用二项 式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式;对于处理整除性问题,往往构造对偶式或利用 与递推式的结合。 A 类例题 例 1 若(3x+1) (n∈N+)的展开式中各项系数和是 256,则展开式中 x 的系数是 n 2 _________。 (上海高考题) 分析 分清系数和二项式系数两个概念,系数之和常令 x=1,二项式系数之和为 C+C +?+C=2 . 解 设(3x+1) =a0+a1x+a2x +?+a2x ,令 x=1,得 4 =a0+a1+?+an,即各项 系数之和为 4 ,由题得 4 =256,得 n=4。 故(3x+1) 的展开式中含 x 改为 C (3x) =54x 。 4 2 2 2 n n n 2 n n n 故所求展开式中 x 系数为 54. 说明:求二项式所有系数和的方法,常令其字母为 1。若求所有奇数项系数和,可先令 字母为 1,求出所有系数和 a0+a1+a2+?+an,再令字母为-1,求出 a0-a1+a2-a3+?+ an,再令字母为-1,求出 a0-a1+a2-a3+?+(-1) an,原式相加除以 2。即得 an 有奇数项 系数和 a0+a2+a4+?。 同理,两式相减除以 2,可求出展开式所有偶数项系数和 a1+a3+a5+?。 注意,二项式系数与展开式某一项系数是不同概念,第 r+1 项的二项式系数是 C。 例 2 在(x +3x+2) 的展开式中 x 的系数为( A.160 B.240 C.360 2 2 5 n 2 ) D.8004 3 分析 二项式定理实质上是(a+b) ,(a+b) ,展开公式的推广,是两个字母 a 和 b 的 和或差的 n 次方的展开公式, 因此只能处理两个字母或两个量之间的关系, 遇到大于二个量 的和式或差式时,常进行因式分解分成两个量和与两个量和(或差)的积的形式,再利用定 理. 解 (x +3x+2) =(x+1) ·(x+2) ,在(x+1) 的展开式中 x 项的系数为 C=5,常 数项为 1


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