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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件


2.3.3 2.3.4

平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示

问题提出

1.平面向量的基本定理是什么?
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ 2,使a=λ1e1+λ2e2.

2.用坐标表示向量的基本原理是什么?<

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设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量,若a=xi+yj,则a=(x,y).

3.用坐标表示向量,使得向量具有代数 特征,并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算,为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是,向量 的和、差、数乘运算,如何转化为坐标 运算,对于共线向量如何通过坐标来反 映等.

探究(一):平面向量的坐标运算

思考1:设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线 性运算性质,向量a+b,a-b,λa (λ∈R)如何分别用基底i、j表示? a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j, a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j, λa=λx1i+λy1j.

a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,
a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j, λa=λx1i+λy1j. 思考2:根据向量的坐标表示,向量 a+b,a-b,λa的坐标分别如何? a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).

a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).

思考3:如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算? 两个向量和(差)的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.

思考4:如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2), ??? ? 那么向量 AB 的坐标如何?一般地,一个 任意向量的坐标如何计算?
A
??? ? AB

y
B o x

??? ? AB=(x2-x1,y2-y1).

任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.

A

y B

o

x

P(x2-x1,y2-y1) 思考5:在上图中,如何确定坐标为 (x2-x1,y2-y1)的点P的位置?

思考6:若向量a=(x,y),则|a|如何计 ??? ? 算?若点A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 如何计算?
y A a
a ? x ?y
2 2

O

x

??? ? 2 2 AB ? (x 2 ? x1 ) ? (y 2 ? y1 )

探究(二):平面向量共线的坐标表示

思考1:如果向量a,b共线(其中b≠0), 那么a,b满足什么关系? a=λb. 思考2:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向 量a,b共线(其中b≠0),则这两个向量 的坐标应满足什么关系?反之成立吗? 向量a,b(b≠0)共线 ? x1y2 ? x 2 y1

思考3:如何用解析几何观点得出上述结 论? 向量a,b(b≠0)共线 ? x1y2 ? x 2 y1
y
D O C B

b
A

a

kA B = kCD
x

思考4:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点, 如何用向量方法求点P的坐标?
y
P P1 O P P

P2

x

思考5:一般地,若点P1(x1,y1), P2(x2,y2),点P是直线P1P2上一点, ??? ? ???? 且 PP1 ? ? PP2 ,那么点P的坐标有何计算 公式? y
x + l x 2 y1 + l y 2 P( 1 , ) 1+ l 1+ l

P P1 O

P2

x

x1 ? ? x 2 y1 ? ? y 2 P( , ) 1? ? 1? ?

理论迁移

例1 已知a=(2,1), b=(-3,4),求 a+b,a-b,3a+4b的坐标. a+b=(-1,5), a-b=(5,-3), 3a+4b=(-6,19).

例2 如图,已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A(-2,1)、B(-1,3)、 C(3,4),试求顶点D的坐标.
B A o y

C D x

D(2,2)

例3 已知向量a=(4,2),b=(6,y), 且a∥b,求y的值.

y=3

例4 已知点A(-1,-1),B(1,3), C(2,5),试判断A、B、C三点是否共线?
??? 2 ??? ? ? AB ? AC 3

,A、B、C三点共线.

小结作业

1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表 示和向量的线性运算律得出的结论,它 符合实数的运算规律,并使得向量的运 算完全代数化.
2.对于两个非零向量共线的坐标表示, 可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算,可以求点的坐 标,判断点共线等问题,这是一种向量 方法,体现了向量的工具作用.

作业:

P100练习:2,4. P101习题A组:1,3,4,5.


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