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2013湖北高考数学文科试题及解析


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1, 2} , B ? {2,3, 4} ,则 B ? ?U A ? A. {2} 2.已知 0 ? ? ? B. {3, 4}

C. {1, 4,5} D. {2,3, 4,5}

π x2 y2 y2 x2 C ,则双曲线 C1 : 2 ? 与 : ? 1 ? ?1的 2 4 sin ? cos2 ? cos2 ? sin 2 ?
B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

A.实轴长相等

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指 定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. (?p) ∨ (?q) B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q

4.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论: ① y 与 x 负相关且 ? y ? 2.347 x ? 6.423 ; ③ y 与 x 正相关且 ? y ? 5.437 x ? 8.493 ; 其中一定不 正确 的结论的序号是 . .. A.①② B.②③ ② y 与 x 负相关且 ? y ? ?3.476 x ? 5.648 ; ④ y 与 x 正相关且 ? y ? ?4.326 x ? 4.578 .

C.③④

D. ①④

5.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与 以上事件吻合得最好的图象是
距学校的距离 距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C

时间

O D

时间

6.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是 A.

??? ? ???? 7.已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

8.x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数

9.某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型 车 7 辆.则租金最少为 A.31200 元 B.36000 元 C.36800 元 D.38400 元

10.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 A. (??, 0)

1 B. (0, ) 2

C. (0, 1)

D. (0, ? ?)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置, ....... 书写不清,模棱两可均不得分. 11. i 为虚数单位,设复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点关于原点对称,若 z1 ? 2 ? 3i ,则 z 2 ? 12.某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为 ; (Ⅱ)命中环数的标准差为 . . .

13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入 m 的值为 2, 则输出的结果 i ?
开始 输入 m

A ? 1, B ? 1, i ? 0

i ? i ?1

A ? A? m
B ? B?i
A? B?
是 输出 i 结束 否

第 13 题图 14.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 5 ,直线 l : x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ? 的个数为 k ,则 k ? .

π ).设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点 2

15.在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为

5 ,则 m ? 6

.

16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天

池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量 是 寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 17.在平面直角坐标系中,若点 P( x, y ) 的坐标 x , y 均为整数,则称点 P 为格点. 若一个多边形的顶点全 是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为 S ,其内部的格点数记为 N ,边界上的 格点数记为 L . 例如图中△ ABC 是格点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 . (Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别是
N ? 71 , L ? 18 , 则 S ?



(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为 S ? aN ? bL ? c ,其中 a,b,c 为常数. 若某格点多边形对应的 (用数值作答).

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

19. (本小题满分 13 分) 已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S4 ,S2 , S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说明理 由.

20. (本小题满分 13 分) 如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1 A2 ? d1 .同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚 度分别为 B1 B2 ? d 2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d 2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线 AA2 平行的平面截 多面体 A1B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S中 . (Ⅰ)证明:中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)在△ ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏 储 量 ( 即 多 面 体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 的 体 积 V ) 时 , 可 用 近 似 公 式 V估 ? S中 ? h 来 估 算 . 已 知

1 V ? (d1 ? d2 ? d3 )S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

第 20 题图

21. (本小题满分 13 分) 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?

ax ? b . x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. (i)判断 f (1) , f (
b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

(ii) a 、b 的几何平均数记为 G. 称 的取值范围.

2ab 为 a 、b 的调和平均数,记为 H. 若 H ? f ( x) ? G ,求 x a?b

22. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2 m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y A B

M

O C
D
第 22 题图

N x

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
一、选择题: 1.B B ? ?U A ? {2,3,4} ? {3,4,5} ? {3,4}. 2.D 在双曲线 C1 : 距相等 3.A 因为 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围” ,则 ? p 是“没有降落在指定范围” ,? q 是“乙没有降落在指定范围” ,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 (?p) ∨ (?q) . 4.D 5.C 在○ 1 中,y 与 x 不是负相关;○ 1 一定不正确;同理○ 4 也一定不正确. 可以将小明骑车上学的行程分为三段,第一段是匀速行驶,运动方程是一次函数,即小明距学校的

x2 y2 y2 x2 2 2 2 C 与 : ? ? 1 ? ? 1 中,都有 c ? sin ? ? cos ? ? 1 ,即焦 2 sin 2 ? cos2 ? cos2 ? sin 2 ?

距离是他骑行时间的一次函数,所对应的函数图象是一条直线段,由此可以判断 A 是错误的;第二段因交通 拥堵停留了一段时间, 这段时间内小明距学校的距离没有改变, 即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数, 所对应的函数图象是平行于 x 轴的一条线段,由此可以排除 D;第三段小明为了赶时间加快速度行驶,即小 明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度,所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行,从而排除 B. 故选 C. 6.B 因为 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 可化为 y ? 2 cos( x ?

?
6

) (x∈R) ,将它向左平移 个单位得

π 6

? ?? ? y ? 2 cos?( x ? ) ? ? ? 2 cos x ,其图像关于 y 轴对称. 6 6? ?
7.A , CD =(5,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为 AB =(2,1)

AB cos? ?
8.D

AB ? CD CD

?

(2,1) ? (5,5) 5 2 ? 52

?

2 ? 5 ? 1? 5 3 2 . ? 2 5 2

函数 f ( x) ? x ? [ x] 表示实数 x 的小数部分,有

f ( x ? 1) ? x ? 1 ? [ x ? 1] ? x ? [ x] ? f ( x) ,
所以函数 f ( x) ? x ? [ x] 是以 1 为周期的周期函数. 9.C 根据已知,设需要 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,则根据题设,有

? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 画出可行域,求出三个顶点的坐标分别为 A(7,14), B(5,12),C(15,6) ,目标函数(租 ? ? x ? 0, y ? 0, ? ?36x ? 60y ? 900,
金)为 k ? 1600x ? 2400y ,如图所示.

将点 B 的坐标代入其中,即得租金的最小值为:

k ? 1600 ? 5 ? 2400 ?12 ? 3 6 8 0 (元) 0 .
10.B

f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,由 f (x) ? x(ln x ? ax) 由两个极值点,得 f ' ( x) ? 0 有两个不等的实数解,

即 ln x ? 2ax ? 1 有两个实数解, 从而直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点. 过点 (0, -1) 作 y ? ln x 的切线,设切点为(x0,y0) ,则切线的斜率 k ?

1 1 ,切线方程为 y ? x ? 1 . 切点在切线上,则 x0 x0

y0 ?

x0 又切点在曲线 y ? ln x 上, 则 ln x0 ? 0 ? x0 ? 1 , 即切点为 (1, 0) .切线方程为 y ? x ? 1 . ?1 ? 0 , x0

再由直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点.,知直线 y ? 2ax ? 1 位于两直线 y ? 0 和 y ? x ? 1 之间, 如图所示,其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得 0<a<

1 . 2

二、填空题: 11. ?2 ? 3i 复数 z1 ? 2 ? 3i 在复平面内的对应点 Z1(2,-3) ,它关于原点的对称点 Z2 为(-2,3) ,所 对应的复数为 z2 ? ?2 ? 3 i. 12. (Ⅰ)7 (Ⅱ)2 (Ⅰ)7 (Ⅱ)2 13. 4

1 ?7 ? 8 ? 7 ? 9 ? 5 ? 4 ? 9 ? 10 ? 7 ? 4? ? 7 ; 10
s? 1 (10 ? 7) 2 ? 2(9 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? 3(7 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? 2(4 ? 7) 2 10

?

?

= 40 ? 2 . 10

初始值 m=2,A=1,B=1,i=0,第一次执行程序,得 i=1,A=2,B=1,因为 A<B 不成立,则第

二次执行程序,得 i=2,A=2×2=4,B=1×2=2,还是 A<B 不成立,第三次执行程序,得 i=3,A=4×2=8, B=2×3=6,仍是 A<B 不成立,第四次执行程序,得 i=4,A=8×2=16,B=×4=24,有 A<B 成立,输出 i=4. 14. 4 这圆的圆心在原点,半径为 5,圆心到直线 l 的距离为

1 cos2 ? ? sin 2 ?

? 1 ,所以圆 O 上到直线 l

的距离等于 1 的点有 4 个,如图 A、B、C、D 所示.

15. 3

因为区间 [?2, 4] 的长度为 6,不等式 | x | ? m 的解区间为[-m,m] ,其区间长度为 2m. 那么在区

间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,要使 x 满足 | x | ? m 的概率为 且两区间的长度比为 5:1,所以 m=3. 16. 3

5 ,m 将区间 [?2, 4] 分为[-2,m]和[m,4] , 6

如图示天池盆的半轴截面,那么盆中积水的体积为 V ?

?
3

? 9 6 2 ? 10 2 ? 6 ?10 ? 3 ?196? (立

?

?

3 ?196(寸3 ) ? 3(寸). 方寸) ,盆口面积 S=196π (平方寸) ,所以,平地降雨量为 196 (寸2)

17. (Ⅰ)3, 1, 6 (Ⅱ)79 (Ⅰ)3, 1, 6 S=S△DFG+S△DEF=1+2=3 ,N=1,L=6; (Ⅱ)79 根据题设△ ABC 是格点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 ,有 4b ? c ? 1 , 由(Ⅰ)有 a ? 6b ? c ? 3 , 2 ○ 3 ○ 1 ○

再由格点△DEF 中,S=2,N=0,L=6,得 6b ? c ? 2 , 联立○ 1 ○ 2 ○ 3 ,解得 b ?

1 , c ? ?1, a ? 1. 2
1 ?18 ? 1 ? 79 . 2

所以当 N ? 71 , L ? 18 时, S ? 71 ? 三、解答题:

18. (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 , 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍去). 2

π . 3

1 1 3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7
19. (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1 ? 0 , q ? 0 . 由题意得
? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18, ? a ? 3, 解得 ? 1 ?q ? ?2.
2 3 2 ? ? ?a q ? a1q ? a1q , 即 ? 1 2 ? ?a1q(1 ? q ? q ) ? ?18,

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 3(?2)n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn ?
3 ? [1 ? (?2)n ] ? 1 ? (?2)n . 1 ? (?2)

若存在 n ,使得 Sn ? 2013 ,则 1 ? (?2)n ? 2013 ,即 (?2)n ? ?2012. 当 n 为偶数时, (?2)n ? 0 , 上式不成立; 当 n 为奇数时, (?2)n ? ?2n ? ?2012 ,即 2n ? 2012 ,则 n ? 11 . 综上,存在符合条件的正整数 n ,且所有这样的 n 的集合为 {n n ? 2k ? 1, k ? N, k ? 5} . 20. (Ⅰ)依题意 A1 A2 ? 平面 ABC , B1 B2 ? 平面 ABC , C1C2 ? 平面 ABC , 所以 A1A2∥B1B2∥C1C2. 又 A1 A2 ? d1 , B1 B2 ? d 2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d 2 ? d3 . 因此四边形 A1 A2 B2 B1 、 A1 A2C2C1 均是梯形. 由 AA2 ∥平面 MEFN , AA2 ? 平面 AA2 B2 B ,且平面 AA2 B2 B ? 平面 MEFN ? ME , 可得 AA2∥ME,即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG,所以 DE∥FG. 又 M 、 N 分别为 AB 、 AC 的中点, 则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 A1 B1 、 A2 B2 、 A2C2 、 A1C1 的中点, 即 DE 、 FG 分别为梯形 A1 A2 B2 B1 、 A1 A2C2C1 的中位线.

1 1 1 1 因此 DE ? ( A1 A2 ? B1B2 ) ? (d1 ? d2 ) , FG ? ( A1 A2 ? C1C2 ) ? (d1 ? d3 ) , 2 2 2 2 而 d1 ? d 2 ? d3 ,故 DE ? FG ,所以中截面 DEFG 是梯形.
(Ⅱ) V估 ? V . 证明如下: 由 A1 A2 ? 平面 ABC , MN ? 平面 ABC ,可得 A1 A2 ? MN . 而 EM∥A1A2,所以 EM ? MN ,同理可得 FN ? MN . 由 MN 是△ ABC 的中位线,可得 MN ? 因此 S中 ? S梯形DEFG 即 V估 ? S中 ? h ?

1 1 BC ? a 即为梯形 DEFG 的高, 2 2 1 d ? d2 d1 ? d3 a a ? ( 1 ? ) ? ? (2d1 ? d2 ? d3 ) , 2 2 2 2 8

ah (2d1 ? d2 ? d3 ) . 8 1 1 ah 又 S ? ah ,所以 V ? (d1 ? d2 ? d3 )S ? (d1 ? d2 ? d3 ) . 2 3 6 ah ah ah 于是 V ? V估 ? (d1 ? d2 ? d3 ) ? (2d1 ? d2 ? d3 ) ? [(d2 ? d1 ) ? (d3 ? d1 )] . 6 8 24
由 d1 ? d 2 ? d3 ,得 d2 ? d1 ? 0 , d3 ? d1 ? 0 ,故 V估 ? V .

21. (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (?1, ??) ,
f ?( x) ? a ( x ? 1) ? (ax ? b) a ?b ? . ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

当 a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ( ??, ?1) , ( ?1, ?? ) 上单调递增; 当 a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ( ??, ?1) , ( ?1, ?? ) 上单调递减. (Ⅱ) (i)计算得 f (1) ?
b a?b b 2ab ? 0, f ( ) ? ? 0 , f ( ) ? ab ? 0 . a 2 a a?b

b a ? b 2ab b ? ? ab ? [ f ( )]2 , 即 故 f (1) f ( ) ? a 2 a?b a b b f (1) f ( ) ? [ f ( )]2 . a a



所以 f (1), f ( 因

b b ), f ( ) 成等比数列. a a

b b b a?b ) . ? ab ,即 f (1) ? f ( ) . 由①得 f ( ) ? f ( a a a 2

b b (ii)由(i)知 f ( ) ? H , f ( ) ? G .故由 H ? f ( x) ? G ,得 a a
b b f ( ) ? f ( x) ? f ( ) . a a b b 当 a ? b 时, f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? a . a a



这时, x 的取值范围为 (0, ??) ; 当 a ? b 时, 0 ? 得
b ?x? a
b b b ,由 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增与②式, ? 1 ,从而 ? a a a

?b b ,即 x 的取值范围为 ? , a ?a
b b ? 1 ,从而 ? a a

b? ?; a?

当 a ? b 时, 得

b ,由 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减与②式, a

? b b? b b ? x ? ,即 x 的取值范围为 ? , ? . a a ? a a?

22. 依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

m x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1, C2 : 2 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 n a m a n l l (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 与 y 轴重合,即直线 的方程为 x ? 0 ,则
C1 :

S1 ?

S | BD | 1 1 1 1 . | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2 2 2 | BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是 若

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2 S | BD | m ? n ? ? 1 ? ? 所以 1 ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1 S1 ?


S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

y

A B

y A

M

O C
D 第 22 题解答图 1

N x

M

O C
D

B

N x

第 22 题解答图 2

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是
| AD | ? ? 1 ? . | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a k ?m
2 2 2

, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是

1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m
从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)





令t ?

? ?1 n 2 (? 2 t 2 ? 1) ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )
n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当

等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1 ?

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ? 因为
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 ??. | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2

x ? ?1 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? xB ? ? 1 | AB | 1 ? k 2 | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 xA2 xB 2 k 2 xB 2 x A 2 ? xB 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 x B 2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? ?0, , ,两式相减可得 a2 m2 a2 n2 a2 m2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ? 因为 k 2 ? 0 ,所以由 从而 1 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 (? 2 xB 2 ? xA2 )

x m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . xB a 2 ( ? 2 xB 2 ? x A 2 )

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 .


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