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高中数学竞赛培训专题5---指数函数、对数函数


竞赛培训专题 5---指数函数、对数函数
一、计算: 例 1.化简

(1)

(2)

(3)

解:(1)x 的指数是

所以原式=1

(2)x 的指数是

=0 所以原式=1

(3)原式=
<

br /> 例 2.若

,求

解:因为

所以 f(x)+f(1-x)=1

= 例 3.已知 m,n 为正整数,a>0,a?1,且

求 m,n

解:左边=

原式为 loga(m+n)=logamn 得 m+n=mn 即(m-1)(n-1)=1

因为 m,n?N,所以

从而 m=n=2

二、比较大小

例 1.试比较 解:令 12
1995

与 =a>0 则

的大小

?

=

所以

>

例 2.已知函数 f(x)=logax (a>0,a?1,x?R )若 x1,x2?R ,试比较

+

+



的大小 解:f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)

∵x1,x2?R ,∴

+

(当且仅当 x1=x2 时,取“=”号),

当 a>1 时,有

,∴



(当且仅当 x1=x2 时,取“=”号)

当 a>1 时,有

,∴



(当且仅当 x1=x2 时,取“=”号)

例 3.已知 y1= (1)y1=y2

,y2= (2)y1>y2
x

,当 x 为何值时 (3)y1<y2

解:由指数函数 y=3 为增函数知 (1)y1=y2 的充要条件是:2x -3x+1=x +2x-5 解得 x1=2,x2=3 (2)y1>y2 的充要条件是:2x -3x+1>x +2x-5 解得 x<2 或 x>3 (3)y1<y2 的充要条件是:2x -3x+1<x +2x-5 解得 2<x<3 三、证明
2 2 2 2 2 2

例 1.对于自然数 a,b,c (a?b?c)和实数 x,y,z,w 若 a =b =c =70 (1) 求证:a+b=c

x

y

z

w

(2)

证明:由(1)得:

∴ 把(2)代入得:abc=70=2?5?7,a?b?c 由于 a,b,c 均不会等于 1,故 a=2,b=5,c=7 从而 a+b=c 例 2.已知 A=6lgp+lgq,其中 p,q 为素数,且满足 q-p=29,求证:3<A<4

证明:由于 p,q 为素数,其差 q-p=29 为奇数,∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(2 ×31)=lg1984 1000<1984<10000 故 3<A<4
6

例 3.设 f(x)=logax (a>0,a?1)且

(q 为锐角), 求证: 1<a<15

证明:∵q 是锐角,∴

,从而 a>1

又 f(15)=

=sinq+cosq

= 故 a<15 综合得:1<a<15

1

例 4.已知 0<a<1,x +y=0,求证: 证:因为 0<a<1,所以 a >0,a >0 由平均值不等式
x y

2



四、图象和性质 例 1.设 a、b 分别是方程 log2 +x-3=0 和 2 +x-3=0 的根,求 a+b 及 log2a+2
x x x b

解:在直角坐标系内分别作出函数 y=2 和 y=log2x 的图象,再作直线 y=x 和 y= -x+3,由 x x x 于 y=2 和 y=log2 互为反函数, 故它们的图象关于直线 y=x 对称, 方程 log2 +x-3=0 的根 a x 就是直线 y= -x+3 与对数曲线 y=log2x 的交点 A 的横坐标,方程 2 +x-3=0 的根 b 就是直 x 线 y= -x+3 与指数曲线 y=2 的交点 B 的横坐标 设 y= -x+3 与 y=x 的交点为 M,则点 M 的横坐标为(1.5,1.5), 所以 a+b=2xM=3 log2a+2 =2yM=3
b

例 6.设 f(x)=min(3+ 大值

,log2x),其中 min(p,q)表示 p、q 中的较小者,求 f(x)的最

解:易知 f(x)的定义域为(0,+?)

因为 y1=3+

在(0,+?)上是减函数,y2=log2x 在(0,+?)上是增函数,而当 y1=y2,即

3+

=log2x 时,x=4,所以由 y1=3+

和 y2=log2x 的图象可知

故当 x=4 时,得 f(x)的最大值是 2

另解:f(x)?3+

=3-

(1)

f(x)=log2x

(2)

(1)?2+(2)消去 log2x,得 3f(x)?6,f(x)?2

又 f(4)=2,故 f(x)的最大值为 2

例 7.求函数

的最小值

解:由 1-3 >0 得,x<0,所以函数的定义域为(-?,0) 令 3 =t,则 t?(0,1),于是
x

x

故当 x= -1 时,得 y 的最小值-2+2log23 五、方程和不等式 例 1.解方程(1)x+log2(2 -31)=5
x x x

(2) 2 ×x -3×x -2

lgx

lg2

lg2

1+lgx

+4=0

解:(1)原方程即:log22 +log2(2 -31) =5 log2[2 (2 -31)]=5
lgx 2

x

x

(2 ) -31×2 =32
lgx

x 2

x

解得:2 =32, ∴x=5 解得:x1=100,x2=1

x

(2)原方程即:(2 ) -5×2 +4=0
x
-x

例 2.设 a>0 且 a?1,求证:方程 a +a =2a 的根不在区间[-1,1]内 解:设 t=a ,则原方程化为:t -2at+1=0 令 f(t)= t -2at+1
2

x

2

(1)

由 D=4a -4?0 得 a?1,即 a>1

2

,

f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0

所以 f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在

之外,故方程 t -2at+1=0 在

2



外有两个实根,原方程有两实根且不在区间[-1,1]内 例 3.解方程:lg x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数 x 的最大整数) 解:由[x]的定义知,[x]?x,故原方程可变为不等式:
2

lg x-lgx-2?0 即-1?lgx?2

2

当-1?lgx<0 时,[lgx]= -1,于是原方程为 lg x=1

2

当 0?lgx<1 时,[lgx]=0,原方程为 lg x=2,

2

均不符合[lgx]=0

当 1?lgx<2 时,[lgx]=1,原方程为 lg x=3,所以 lgx= 当 lgx=2 时,x=100

2



所以原方程的解为 x1= 例 4.当 a 为何值时,不等式

有且只有一解 解:易知:a>0 且 a?1,设 u=x +ax+5,原不等式可化为
2

(1)当 0<a<1 时,原不等式为

(1)

由于当 u?0 时,



均为单调增函数,所以它们的乘积

也是单增函数 因为 f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1

所以(1)等价于 u?4,即 x +ax+5?4 此不等式有无穷多解

2

(2)当 a>1 时,不等式化为 由 f(4)=1 知,(2)等价于 0?u?4,即 0?x +ax+5?4
2

(2)

从上式可知,只有当 x +ax+5=4 有唯一解即 D=a -4=0,a=2 时,不等式 0?x +ax+5?4 有唯 一解 x= -1 综上所述,当 a=2 时原不等式有且只有一个解

2

2

2

例 5.已知 a>0 且 a?1,试求使方程

有解的 k 的取值范围

解:原方程即



分别解关于

的不等式、方程得:

(k?0 时)

所以

解得 k< -1 或 0<k<1

又当 k=0 时,代入原式可推出 a=0 与已知矛盾,故 k 的取值范围为(-?,-1)U(0,1)


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