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四川省绵阳市2013届高三数学第一次诊断性考试试题 理 新人教A版


绵阳市高中 2013 级第一次诊断性考试 数学 (理科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、 考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置.

2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题 0 标号的位置上, 非选择题用 0.5 毫米的 黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上 答题无效. 3.考试结束后,将答题卡收回. 第 I 卷(选择题,共 60.分) —、选择题:本大题共彳 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目荽求的. 1. 设集合 A. {0} C. {0, 1, 2} 2. 命题 A. C. D. ,则 D. ,则 的值为 B. ,则 是 ,B={0, 1, 2},则 等于 B. {0,1} D.

3. 己知数列为等差数列,且 A. 4. 设 B. C. ,

用心

爱心

专心

1

A. c<b<a C. c<a<b 5. 函数. A. (-1,0) C. (1, 2) 6. 如 图 ,在 , A. C. 7. 设函数 为 A. B. C. D. 8. 若函数 D. B. 中 ,AD=2DB,DE=EC,若 的零点所在的区间为

B. b<a<c D. a<b<c

B. (0, 1) D. (2,3) ,则 =

的部分图象如下图所示, 则/(力的表达式

在区间(O, 1)上单调递增,且方程

的根都在区间[-2, 2]

上, 则实数 b 的取值范围为 A. [O, 4] C. [2, 4] 9. 已知定义在 R 上的奇函数/(X)是 .若 值范围是 A. B. C. D. 是 B. D. [3, 4] 上的增函数,旦 f(1)=2, f(-2)=-4,设 的充分不必要条件,则实数 t 的取

10. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件

用心

爱心

专心

2

和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲 每天的 租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产 品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为 A. .2400 元 11. 已知函数 B. 2300 元 C. 2200 元 D. .2000 元 例 X 的取值范围为

则满足不等式.

A. (0,3) B.

C.

D. (-1, 3) (X)满足 等于 且当

12. 已知定义在 R 上的函数 f ,则 A. B. C. D.

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 a//b,则 x= ______ 14. 已知偶函数 在 上是增函数,则 n= _______ 都有 恒成

15. 已知{an}是递增数列,且对任意的 立, 则角θ 的取值范围是_______

16. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合 M.给出下列命题: ①所有奇数都属于 M. ②若偶数 2k 及属于 M,则 ③若 ,则, . ,

④把所有不属于 M 的正整数从小到大依次择成一个数列,则它的前 n 项和 其中正确命 题的序号是_______?(写出所有正确命题的序号》 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 设向量 (I)求函数 f(x))的最小正周期及对称轴方程; , 函数, .

用心

爱心

专心

3

(II)当

时,求函数 f(x)的值域.

. , S3+S5=58, 1,a3,a7 且 a

18. (本题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 公差 成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式; ( I I ) 若{bn}为等比数列,且 T10 值. 记



19. (本题满分 12 分)己知二次函数 y=f(x) 的图像过点(1,-4),且不等式 f(x)<0 的解 集 是(O, 5). (I )求函数 f(x)的解析式; (II)设 若函数 在[-4,-2]上单调递增,在[-2, .

0]上单调递减,求 y=h(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 20. (本题满分 12 分)在

中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若

(I)求角 C 的值: (II) 若 c=2,且 ,求 的面积. (其中 t 为常数,

21. (本题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 且 t>0). (I )求证:数列{an}为等比数列; (II )若数列{an}的公比 q= f(t},数列{bn}满足 式; (III) 设

,求数列{bn}的通项公

’对(II )中的数列{bn},在数列{an}的任意相邻两项 ak 与 ak+1 之间插 入

k个

后,得到一个新的数列:

记此数列为{cn}.求数列 {cn}的前 2012 项之和.

用心

爱心

专心

4

22. (本题满分 14 分)己知函数 (I)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (II) 设, 求正实数的取值范围; (III) 证明: , 对

在;c=2 处的切线斜率为

.

使得

成 立,

?

绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. BCBCC AADDB AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.-4 14.2 15. ? 0,
? ? 4? ? ? 5? ? ,2 ? ? ??? 3 ? ? 3 ?

16.①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)f (x)=a·b =(cos2x,1)·(1, 3 sin2x) = 3 sin2x+ cos2x =2 sin(2x+ ∴ 最小正周期 T ? 令 2x+
?
6
2? 2 ??

?
6

),

……………………………………………6 分


k? 2 k? 2 ? ?

= k? ?

?
2

,k∈Z,解得 x=
?
6

?
6

,k∈Z,

即 f (x)的对称轴方程为 x= (Ⅱ)当 x∈[0,
?
2

,k∈Z.…………………………………8 分
?
2

]时,即 0≤x≤

,可得

?
6

≤2x+

?
6



7? 6



用心

爱心

专心

5

∴ 当 2x+ 当 2x+
?
6

?
6

=
7? 6

?
2

,即 x=
?
2

?
6

时,f (x)取得最大值 f (
?
2

?
6

)=2;

=

,即 x=

时,f (x)取得最小值 f (

)=-1.

即 f (x) 的值域为[-1,2].……………………………………………………12 分 18.解: (Ⅰ)由 S3+S5=58,得 3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58, ① ∵ a1,a3,a7 成等比数列,a3 =a1a7,
2 2

即(a1+2d) =a1(a1+6d),整理得 a1=2d, 代入①得 d=2, a1=4, ∴ an=2n+2. …………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a8=18,b5·b6+b4·b7=2b5·b6=18,解得 b5·b6 =9. ∵ T10= log3b1 +log3b2+ log3b3+…+ log3b10 =log3(b1·b10) + log3(b2·b9) +…+ log3(b5·b6) =5log3(b5·b6) =5log39 =10. ……………………………………………………………………12 分 19.解: (Ⅰ)由已知 y= f (x)是二次函数,且 f (x)<0 的解集是(0,5), 可得 f (x)=0 的两根为 0,5, 于是设二次函数 f (x)=ax(x-5), 代入点(1,-4),得-4=a×1×(1-5),解得 a=1, ∴ f (x)=x(x-5). ………………………………………………………………4 分
3 3 2

(Ⅱ)h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x -(4k-10)x+5=x +2x -4kx+5, 于是 h ? ( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 k , ∵ h(x)在[-4,-2]上单调递增,在[-2,0]上单调递减, ∴ x=-2 是 h(x)的极大值点, ∴ h ? ( ? 2 ) ? 3 ? ( ? 2 ) 2 ? 4 ? ( ? 2 ) ? 4 k ? 0 ,解得 k=1. …………………………6 分 ∴ h(x)=x +2x -4x+5,进而得 h ? ( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 . 令 h ? ( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 ? 3( x ? 2 )( x ? 由下表: x (-3,-2) -2 (-2,
2 3
3 2

2 3

)?0

,得 x1 ? ? 2, x 2 ?

2 3



)

2 3

(

2 3

,1)

用心

爱心

专心

6

h ?( x )

+ ↗

0 极大



0 极小

+ ↗

h(x)

可知:h(-2)=(-2) +2×(-2) -4×(-2)+5=13,h(1)=1 +2×1 -4×1+5=4, h(-3)=(-3) +2×(-3) -4×(-3)+5=8,h( ∴ h(x)的最大值为 13,最小值为
95 27
3 2

3

2

3

2

2 3

)=(

2 3

) +2×(

3

2 3

) -4×

2

2 3

+5=

95 27



.……………………………………12 分

20.解: (Ⅰ)∵asinA=(a-b)sinB+csinC, 由正弦定理
a s in A ? b s in B ? c s in C

,得 a 2 ? ( a ? b ) b ? c 2 ,

即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? a b .① 由余弦定理得 c o s C ?
a ?b ?c
2 2 2

?

1 2



2ab

结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

?
3



…………………………………………………6 分

(Ⅱ)由 C=π -(A+B),得 sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA, ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A, ∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA, 整理得 sinBcosA=3sinAcosA. ………………………………………………8 分 若 cosA=0,即 A=
?
2

时,△ABC 是直角三角形,且 B=
?
6

?
6



于是 b=ctanB=2tan

=

2 3 3

,∴ S△ABC=

1 2

bc=

2 3 3

. ……………………10 分

若 cosA≠0,则 sinB=3sinA,由正弦定理得 b=3a.② 联立①②,结合 c=2,解得 a=
1 2 1 2

2 7

7

,b=
7

6 7

7


3 3 7

∴ S△ABC=

absinC=

×

2 7

7

×

6 7

×

3 2

=



综上,△ABC 的面积为

2 3 3



3 3 7

.………………………………………12 分

21.解: (Ⅰ)当 t=1 时,2an-2=0,得 an=1, 于是数列{an}为首项和公比均为 1 的等比数列. ……………………………1 分

用心

爱心

专心

7

当 t≠1 时,由题设知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得 a1=1, 由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1, 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan, , ∴
a n ?1 an ? 2t t ?1

(常数) .
2t t ?1

∴ 数列{an}是以 1 为首项, (Ⅱ)∵ q= f (t)=
1 bn ?1 bn ? 1 bn 1 bn

为公比的等比数列.………………………4 分
1 2

2t t ?1

,b1=a1=1,bn+1=

f (bn)=

bn bn ? 1





?

?

?1,

∴ 数列 ?

? 1 ? ? ? bn ?

是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,于是

1 bn

? n



∴ bn ?

1 n

.………………………………………………………………………8 分
1 3

(III)当 t=

时,由(I)知 an= ( ) n ? 1 ,
2 1 2

1

于是数列{cn}为:1,-1,

,2,2, ( ) 2 ,-3,-3,-3, ( ) 3 ,…
2
k

1

1

2

设数列{an}的第 k 项是数列{cn}的第 mk 项,即 ak= c m , 当 k≥2 时,mk=k+[1+2+3+…+(k-1)]= ∴ m62=
62 ? 63 2 ? 1 9 5 3 ,m63= 63 ? 64 2

k ( k ? 1) 2



? 2016



设 Sn 表示数列{cn}的前 n 项和, 则 S2016=[1+
1 2

+ ( ) 2 +…+ ( ) 6 2 ]+[-1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+…+(-1) ×62×62]
2 2
1 63 1? ( ) 1 2 ? 2 ? 62 = 1 2 1? 2

1

1

2

3

62

显然 1+

1 2

+ ( ) 2 +…+ ( ) 6 2
2 2

1

1



∵ (2n) -(2n-1) =4n-1, ∴ -1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+…+(-1) ×62×62 =-1+2 -3 +4 -5 +6 -…-61 +62
2 2 2 2 2 2 2 2 3 62

2

2

用心

爱心

专心

8

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =
3 1 ? (3 ? 1 2 3) 2

=1953. ∴ S2016= 2 ?
1 2
62

+1953=1955-

1 2
62



∴ S2012=S2016-(c2016+c2015+c2014+c2013) =1955=17691 2
62

-( .

1 2
62

+62+62+62)

1 2
61

即数列{cn}的前 2012 项之和为 176922.解: (Ⅰ)由已知: f ? ( x ) ? ∴由题知 f ? ( 2 ) ? 于是 f ? ( x ) ?
1 x 1 2 ?1? 1? x x ?a ? ? 1 2 1 x ?a

1 2
61

.…………………………………12 分



,解得 a=1.



当 x∈(0,1)时, f ? ( x ) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ? ( x ) ? 0 ,f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ……5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x1∈(0,+∞),f (x1) ≤f (1)=0,即 f (x1)的最大值为 0, 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f (x1)≤g(x2)成立, 只须 f (x)max≤g(x)max. ∵ g (x) ?
x ? 2 kx ? k
2

? x?

k

x

k ? ? ? 2k ? ? ? ? x ? ? ? 2k ?x ? x ?

≤ ?2 k ? 2k ,

∴ 只须 ? 2 k ? 2 k ≥0,解得 k≥1.………………………………………10 分 (Ⅲ)要证明
2 ln 2 2
2

ln 2 2
2

?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n ? n ? 1
2

4 ( n ? 1)
2

(n∈N*,n≥2).

只须证

?

2 ln 3 3
2

?? ?

2 ln n n
2

?

2n ? n ? 1 2 ( n ? 1)



用心

爱心

专心

9

只须证

ln 2 2
2

2

?

ln 3 3
2

2

?? ?

ln n n
2

2

?

2n ? n ? 1
2

2 ( n ? 1)



由(Ⅰ)当 x ? ? 1,? ? ? 时, f ? ( x ) ? 0 ,f (x)为减函数, f (x)=lnx-x+1≤0,即 lnx≤x-1, ∴ 当 n≥2 时, ln n 2 ? n 2 ? 1 ,
ln n n
2 2

?

n ?1
2

n
2

2

?1?

1 n
2

?1?

1 n ( n ? 1)
1 2

?1?

1 n

?

1 n ?1


1 1 ? ? ? ?1 ? ? n n ?1? ?

ln 2 2
2

?

ln 3 3
2

2

?? ?

ln n n
2

2

< ?1 ?
?

?

?

1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ??? ? 2 ?1? ? 3 3?1?

? n ?1?

1 2

?

1 n ?1

?

2n ? n ? 1
2

2 ( n ? 1)





ln 2 2
2

?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n ? n ? 1
2

4 ( n ? 1)

.………………………………………14 分

用心

爱心

专心

10


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