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复习专题:二次方程根的分布


一元二次方程根的分布
一.知识要点
二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根从几何意义上来说就是抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴交点的 横坐标,所以研究方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的实根的情况,可从 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象上进行研究. 若在 (??,?? ) 内研究方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的实根情况, 只需考察函数 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴 交点个数及交点横坐标的符号,根据判别式以及韦达定理,由 y ? ax 2 ? bx ? c 的系数可判断出 ?, x1 ? x 2 , x1 x 2 的符号,从而判断出实根的情况. 若在区间 (m, n) 内研究二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ,则需由二次函数图象与区间关系来确定. 1.二次方程有且只有一个实根属于 (m, n) 的充要条件 若 m, n 其中一个是方程的根,则由韦达定理可求出另一根. 若 m, n 不是二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根,二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图象有以下几种 可能: (1) a ? 0, m ? x1 ? n ? x 2 (2) a ? 0, x1 ? m ? x 2 ? n

y

y

m x1

n
O

x2

x

x1

m
O

x2

n

x

(3) a ? 0, m ? x1 ? n ? x 2

(4) a ? 0, x1 ? m ? x 2 ? n

y
m x1 n
O

y

x2
x

x1
m O

x2

n x

由图象可以看出, f ( x) 在 x ? m 处的值 f ( m) 与在 x ? n 处的值 f (n) 符号总是相反,即 f ( m) ? f ( n ) ? 0 ; 反之, 若 f (m) ? f (n) ? 0 , f ( x) 的图象的相对位置只能是图中四种情况之一. 所 以得出结论: 若 m, n 都不是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根,记 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,则 f ( x) ? 0 有且只 有一个实根属于 (m, n) 的充要条件是 f (m) f (n) ? 0 . 2.二次方程两个根都属于 (m, n) 的充要条件 方程 ax 2 ? bc ? c ? 0 (a ? 0) 的两个实根都属于 (m, n) ,则二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图
1

象与 x 轴有两个交点或相切于点,且两个交点或切点的横坐标都大于 m 小于 n ,它的图象有以下 几种情形: (1) a ? 0, m ? x1 ? x2 ? n (2) a ? 0, m ? x1 ? x2 ? n

y

y

m x 1

O

x2

n

x

m x1 ? x 2 O n

x

(3) a ? 0, m ? x1 ? x2 ? n

(4) a ? 0, m ? x1 ? x2 ? n

y
m x1 n
x

y
m x1 ? x 2 O n

O

x2

x

由此可得出结论: 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个实根都属于区间 (m, n) 的充要条件是:

?b 2 ? 4ac ? 0 ? af (m) ? 0 ? ? ?af (n) ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 2a ?
这里 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c . 同理可得出: 3.二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别在区间 (m, n) 的两侧(一根小于 m ,另一根大 于 n )的充要条件是: ?af (m) ? 0 ? ?af (n) ? 0 这里 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c . 4.二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实根都在 ( m, n ) 的右侧的充要条件是:

? ?b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (n) ? 0 ? b ?? ?n ? 2a
2

二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实根都在 ( m, n ) 的左侧(两根都小于 m )的充要条件是:

? ?b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (m) ? 0 ? b ?? ?m ? 2a
这里 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c .

二.例题选讲
例1.设关于 x 的方程 4 x ? 2 x?1 ? b ? 0(b ?R) , (1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。

例2.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f[f(x)]=x 也无实根.

例3.设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

3

变式:已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3),且其中至少有一个根小于 1,求 m 的取值范围.

例4.已知方程 4x 2 ? 2(m ? 1) x ? (2m ? 3) ? 0(m ? R) 有两个负根,求 m 的取值范围.

例5.求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 ? 0 . (1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小. (2)有两个实根 ? , ? ,且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 4 . (3)至少有一个正根.
2

4

例6. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

变式:已知方程 2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间,求 a 的取值范围.

例7.已知二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围.

5

变式: 如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求 m 的 取值范围.

例8.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ??11 , ? 上有零 点,求 a 的取值范围.

二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况, 在其它的一些场合下也 可以适当运用.下面再举两个例子: x+1 例9.求函数 y = 2 (1<x<2)的值域. x -3x+2

6

例 10. 已知抛物线 y = 2x2-mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点) 有公共点,求 m 的取值范围.

三.巩固练习
1.已知二次方程 (3m ? 1) x 2 ? (2m ? 3) x ? m ? 4 ? 0 有且只有一个实根属于( -1, 1),求 m 的 取值范围.

2.已知方程 m ? 2 2 x ? (2m ? 1) ? 2 x ? m ? 0 在 (?? , 1) 上有两个根,求 m 的取值范围.

3. 已知二次方程 (2m ? 1) x 2 ? 2mx ? (m ? 1) ? 0 有且只有一个实根属于 (1, 2) , 且 x ? 1, x ? 2 都不是方程的根,求 m 的取值范围.

7

4.已知二次方程 (m ? 1) x 2 ? (3m ? 4) x ? (m ? 1) ? 0 的两个根都属于(–1,1) ,求 m 的取值 范围.

5.若关于 x 的方程 x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根,且两根均在区间[0,2]上,求实数 a 的取值 范围.

6.二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足 (1) pf(

p q r ? ? =0, 其中 m>0,求证 m ? 2 m ?1 m

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特级教师 王新敞
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m )<0; m ?1

(2) 方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解。

8

参考答案
x 2 例1.分析:可用换元法,设 2 ? t ,原方程化为二次方程 t ? 2t ? b ? 0 ,但要注意 t ? 0 ,故

原方程有解并不等价于方程 t ? 2t ? b ? 0 有解,而等价于方程 t ? 2t ? b ? 0 在 (0,??) 内有 解.另外,方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题,它的原理是:若关于 x 的 方程 a ? f ( x) 有解,则 a ? f ( x) 的值域.
2 2

解: (1)原方程为 b ? 4 ? 2
x

x ?1



? 4 ? 2 ? (2 ) ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1, ?当b ? [?1,??) 时方程有实数解; x (2)① 当 b ? ?1 时, 2 ? 1 ,∴ 方程有唯一解 x ? 0 ; ② 当 b ? ?1 时,? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? b ? 2 x ? 1 ? 1 ? b .
x x 2

x ?1

? 2 x ? 0,1 ? 1 ? b ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
令 1 ? 1 ? b ? 0 ? 1 ? b ? 1 ? ?1 ? b ? 0,

?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
综合① 、② ,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0或b ? ?1 时,原方程有唯一解 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 3)当 b ? ?1 时,原方程无解。 例2.证明:方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0 无实根,f(x)-x 仍是二次函数,f(x)-x=0 仍是二 次方程,它无实根即 Δ=(b-1)2-4ac<0 ① 若 a>0,则函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴上方, ∴ y>0,即 f(x)-x>0 恒成立,即:f(x)>x 对任意实数 x 恒成立。 ∴ 对 f(x),有 f(f(x))>f(x)>x 恒成立 ∴ f(f(x))=x 无实根 ② 若 a<0,函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴下方 ∴ y<0,即 f(x)-x<0 恒成立 ∴ 对任意实数 x,f(x) <0 恒成立 ∴ 对实数 f(x),有:f(f(x))<f(x)<x 恒成立 ∴ f(f(x))=x 无实根 综上可知,当 f(x)=x 无实根时,方程 f(f(x))=x 也无实根. 例3.分析:观察到方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根,故此题不妨用求根公式来解决.
9

解:因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 , , x2 ? ? 4 ? ? 4? 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 . 变式:解:原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0,所以方程两根分别为-1, 2-3m,而-1 在(-3,1)上,则由 1 5 题意,另一根满足 -3<2-3m<3 ? - <m< . 3 3 例4.解:依题意有

?? ? 4(m ? 1) 2 ? 4 ? 4(2m ? 3) ? 0 ? ? (m ? 1) ? 0 ? ? 2m ? 3 ? 0 ?

? m ? 11 .

例5.解:设 y ? f ( x) ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 . (1) 依题意有 f (2) ? 0 ,即 4 ? 4(m ? 1) ? 2m ? 6 ? 0 ,得 m ? ?1 . (2) 依题意有

? f (0) ? 2m ? 6 ? 0 ? ? f (1) ? 4m ? 5 ? 0 ? f (4) ? 10m ? 14 ? 0 ?

解得: ?

7 5 ?m?? . 5 4

(3)方程至少有一个正根,则有三种可能:

? ?m ? ?1或m ? 5 ? ??0 ? ? ? ? 3 ? m ? ?1 . m ? ?3 ① 有两个正根,此时可得 ? f (0) ? 0 ,即 ? ? ? 2(m ? 1) m ?1 ?0 ? ? ? ?2 ② 有一个正根,一个负根,此时可得 f (0) ? 0 ,得 m ? ?3 . ? 6 ? 2m ? 0 ? m ? ?3 . ③ 有一个正根,另一根为0,此时可得 ? ?2(m ? 1) ? 0 综上所述,得 m ? ?1 .
例6.解:(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内, 则

10

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0,1) 内,列不等式组 ? ?? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1 1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 1 ? ? - <m≤1- 2 , ? ?m ? ? , 2 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ?? 1 ? m ? 0.
∴ 实数 m 的范围是 (? ,1 ? 2 ] . 变式:解:设 f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2,则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 △ ≥0 4(2a-1)2 – 8(a+2)≥0 f(-3)>0 18+6(2a-1)+a+2>0 f(3)>0 18-6(2a-1)+a+2>0 ? 2a-1 2a-1 -3< <3 -3< <3 2 2 14 3- 21 3+ 21 26 ?<m≤ 或 ≤m< . 13 4 4 11 14 3- 21 3+ 21 26 故 a 的取值范围是 (, ]∪ [ , ). 13 4 4 11 例7.解一:二次方程两个根都小于 1,其充要条件为 ? ?(2m ? 1) 2 ? 4m(m ? 2) ? 0 (1) ? (2) ?m[m ? (2m ? 1) ? m ? 2] ? 0 ? 2m ? 1 ?? ?1 (3) 2m ?

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , 5 1 ? ? ? 1 ? ? ?m?? , ? ? f ( 1 ) ? 4 m ? 2 ? 0 , m ? ? , 6 2 ? ? 2 ? ? f ( 2 ) ? 6 m ? 5 ? 0 ? ?m ? ? 5 ? 6 ? 5 1 ∴ 实数 m 的范围是 (? ,? ) . 6 2

1 2

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

(1)即为 8m 2 ? 12m ? 1 ? 0 ,它的解集是 ( ?? ,

3? 7 3? 7 ]?[ ,?? ) . 4 4

(2)即为 m(2m ? 1) ? 0 ,它的解集是 (??,? ) ? (0,??) .

1 2

11

(3)的解集是 (??,0) ? ( ,??) .

1 4

1 3? 7 ,?? ) . 所以, m 的取值范围是 ( ?? ,? ) ? [ 2 4 解二:二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两个根的充要条件是 ? ? 0 .
设两根为 x1 , x 2 ,由于 x1 , x 2 都小于 1,即 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0 ,其充要条件为:

?( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0 ? ?( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0


? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 因此,方程两个根都小于 1 的充要条件是: ? ?( 2m ? 1) 2 ? 4m( m ? 2) ? 0 ? ? 2m ? 1 ?2?0 ? ? m ? ? m ? 2 2m ? 1 ? ?1? 0 ? m ? m 以下同解法一(略) . 解三:令 y ? x ? 1 ,原方程转化为 m( y ? 1) 2 ? (2m ? 1)( y ? 1) ? m ? 2 ? 0 ,即
(*) my 2 ? (4m ? 1) y ? 2m ? 1 ? 0 因为原方程两根都小于 1,所以方程(*)的两个实根都小于 0,其充要条件是: ? ?? ? 0 ? ? 4m ? 1 ?0 ?? m ? ? 2m ? 1 ?0 ? ? m 同样可求出 m 的取值范围(略) . 变式:解:∵ f(0)=1>0 (1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题意. ?? ? 0 ? (2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m 解得 0<m≤1 ?0 ? ? m 综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}. 例8.解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1] 上有解, a=0 时 , 不 符 合 题 意 , 所 以 a≠0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 , 1] 上 有 解 <=> f (?1) ? f (1) ? 0 或

12

?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 ? 或a?5 ? a ? 或 a≥1. ?? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ?1 ? a ? 5 或 a ? 2 2 ? ?? 1 ? [?1.1] ? ? a

?3 ? 7 或 a≥1. 2 解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又

所以实数 a 的取值范围是 a ?

∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解,? (2x2 ?1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ? [-1, 1]上有解, 问题转化为求函数 y ?

1 2 x2 ? 1 在 ? a 3 ? 2x

2 x2 ? 1 [-1, 1]上的值域; 设 t=3-2x, x∈ [-1, 1], 则 2x ? 3 ? t , 3 ? 2x

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 t∈ [1,5], y ? ? ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t 2 7 t ?7 设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ? 2 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, g '(t ) >0, t t 此函数 g(t)单调递增,∴ y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] ,∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解 3? 7 1 ∈[ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 a 2 例9.解:原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ① 由题意,关于 x 的方程① 在(1,2)上有实根. 易知 y<0, 令 f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1,则 f(1)= -2<0, f(2)= -3<0,所以方程① 在(1,2)上有实根当 △ ≥0 ? 3y+1 且仅当 ? ,解得 y≤-5-2 6 . 1< <2 ? 2y ∴ 原函数的值域为 (-?, -5-2 6 ]. 例 10.解:以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为 y=x,代入抛物线方程得: x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意,方程① 在区间(0, 1)上有实根,令 f(x) = 2x2-(m+1)x+m,则当且仅当 △ ≥0 2 m+1 ? m -6m+1≥0 0< <1 4 f(0)· f(1)<0 或 ? m<0 或 ? -1<m<3 ? m≤3-2 2 且 m≠0. ? m>0 f(0)>0 f(1)>0 故 m 的取值范围为 (-?, 0)∪ (0, 3-2 2 ]. 巩固练习 m-4 1.解:易知 x1 = -1 是方程的一个根,则另一根为 x2 = ,所以原方程有且仅有一个实 3m-1 m-4 4m-5 +1>0 >0 3 m -1 3m-1 m-4 3 5 根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1, 即 ? ? m< - 或 m> , m-4 2m+3 3m-1 2 4 -1 <0 >0 3m-1 3m-1 3 5 ∴m 的取值范围为 (-?,- )∪ ( , +?). 2 4

?

? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

13

2.解:令 t ? 2 x ,当 x ? (??, 1) 时, t ? (0, 2) . 由于 t ? 2 x 是一一映射的函数,所以 x 在 (?? , 1) 上有两个值,则 t 在 (0, 2) 上有两个对应的 值.因而方程 mt 2 ? (2m ? 1)t ? m ? 0 在(0,2)上有两个不等实根,其充要条件为

?( 2m ? 1) 2 ? 4m 2 ? 0 (1) ? 2 m ?0 ( 2) ? ? ?m(9m ? 2) ? 0 (3) ? ?0 ? 2m ? 1 ? 2 ( 4) ? ? 2m ? 1 由(1)得: m? , 4 m ? 0, 由(2)得: 2 m ? 0或m? , 由(3)得: 9 1 1 由(4)得: ?m? . 6 2 2 1 2 1 ? ? m ? ,即 m 的取值范围为 ( , ) . 9 4 9 4 2 3.解:设 f(x) = (2m ? 1) x ? 2mx ? (m ? 1) ,由于 f(x)是二次函数,所以 2m+1 ≠ 0,即 m ≠ 1 - . 2 3 f(x) =0 在(1,2)上有且仅有一个实根当且仅当 f(1)· f(2)<0 ? (5m+3)(m-2)<0 ? - <m<2. 5 3 1 1 综上得:m 的取值范围是(- , - )∪ (- , 2). 5 2 2 4.令二次函数 f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1,则 m-1 ≠ 0,即 m ≠ 1. f(x)=0 的两个实根均在(-1,1)上,当且仅当 ?? ? (3m ? 4) 2 ? 4(m ? 1)( m ? 1) ? 0, ? 3m ? 4 ? ? 12 ? 2 11 ? 12 ? 2 11 4 ? 1, ?? 1 ? ? 或 ?m?? ? ?4?m? 2m ? 2 ? 5 5 5 ?(m ? 1) f (?1) ? 0, ? ? ?(m ? 1) f (1) ? 0.
? 12 ? 2 11 ? 12 ? 2 11 4 } ? {m | ? m ? ? }. 5 5 5 5.解:令 f(x) = x2+(a-1)x+1,则满足题意当且仅当 △ = (a-1)2-4>0 a-1 3 0< <2 2 解得 - ≤a<-1. 2 f(0)≥0 f(2)≥0 3 ∴ a 的取值范围是 [ - , -1). 2
∴ m 的取值范围为 {m | ?4 ? m ?

? ? ? ? ?

14

6.证明 (1) pf (
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m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1 pm q r pm p ? pm[ ? ? ] ? pm[ ? ] 2 2 m ?1 m m?2 ( m ? 1) ( m ? 1)
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m( m ? 2) ? ( m ? 1) 2 ] ( m ? 1) 2 ( m ? 2) ?1 ? p2m , (m ? 1) 2 (m ? 2) ? p 2 m[
由于 f(x)是二次函数,故 p≠0, 又 m>0, 所以,pf( (2)由题意,得 f(0)=r, f(1)=p+q+r, ① 当 p>0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(

m )<0. m ?1

m )<0, m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解 m ?1 m ?1
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② 当 p<0 时同理可证 故方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解.
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