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高中物理模型-斜面模型


斜面模型

[模型概述] 斜面模型是中学物理中最常见的模型之一, 各级各类考题都会出现, 设计的内容有力学、 电学等。相关方法有整体与隔离法、极值法、极限法等,是属于考查学生分析、推理能力的 模型之一。 [模型要点] 斜面固定时,对斜面上的物体受力分析,建立坐标系进行正交分解,选择利用三大定律 列方程求解;对斜面不固定时,我们将斜面与斜面上的物体看成系统,仔细

观察题中条件, 采用整体法或动量定理甚至动量守恒定律处理。

[误区点拨] (1)要注意斜面上物体受到摩擦力的种类、 方向判断, 如斜面倾角 ? 与 arctan ? 的比较等; (2)在采用整体法处理斜面体与它上面的物体时要区分变速运动部分(合外力)与整体的质 量; (3)在计算正压力时遗漏除重力以外的其他力产生的作用而导致摩擦力大小计算错误; (4) 在分析电磁力时电荷或导体棒的极值问题而引起的弹力或摩擦力的变化;

[模型讲解] 一. 利用正交分解法处理斜面上的平衡问题 1.(浙江省宁波市 2012 届高三下学期 4 月高考模拟考试)如图所示,矩形物体甲和丙 在水平外力的作用下静止在乙物体上,物体乙静止在水平面上。现减小水平外力,三物体仍 然静止,则下列说法中正确的是( )

A.物体乙对于物体甲的摩擦力一定减小 B.物体丙对于物体甲的支持力一定减小 C.物体乙对于地面的摩擦力一定减小 D.物体丙对于物体甲的摩擦力可能减小
[来源:学科网]

1.C 解析:将甲和丙作为一个整体,对其受力分析并根据平衡条件可知,物体乙对物
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2. 广西南宁市 2012 年高中毕业班第三次适应性测试) ( 质量为 m 的物体放在质量为 M、 倾角为 θ 的斜面体上,斜面体置于粗糙的水平地面上,用平行于斜面的力 F 拉物体 m 使其

支持力 N=G+Fsinθ=(M+m)g+Fsinθ,所以选项 AC 错误,B 正确;对 m 受力分析,并根 据平衡条件可知,M 对 m 的摩擦力大小 f`=mgsinθ+F,选项 D 错误。本题答案为 B。 3.(2004 夏季高考理综全国Ⅲ卷)如图,在倾角为α 的固定光滑斜面上,有一用绳子拴着的 长木板,木板上站着一只猫。已知木板的质量是猫的质量的 2 倍。当绳子突然断开时,猫立 即沿着斜面向上跑,以保持其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为

g

sin ?

A. 2
3 g sin ?

B. g sin ?

C. 2

D.2 g sin ? ① ② ③

答案 ?C 解析 对猫受力分析如图(a)由平衡条件:Ff =mgsinα 对木板受力分析如图(b) 由牛顿第二定律:Ff′+2mgsinα =2ma 又由牛顿第三定律:Ff′=Ff
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由①②③得 a =

3 2

gsinα

4.湖北省襄樊四中 2010 届高三摸底考试如图 4 所示,固定斜面倾角 为 θ,整个斜面分为 AB、BC 两段,且 2AB=BC.小物块 P(可视为质 点)与 AB、BC 两段斜面之间的动摩擦因数分别为 μ1、μ2.已知 P 由 静止开始从 A 点释放,恰好能滑动到 C 点而停下,那么 θ、μ1、μ2 间 应满足的关系是( A ) μ1+2μ2 A.tanθ= 3 2μ1+μ2 B.tanθ= 3 C.tanθ=2μ1-μ2 D.tanθ=2μ2-μ1
θ

P B
图4

A

C

说明:正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的,其目的是用代数运算来解 决矢量运算。正交分解法在求解不在一条直线上的多个力的合力时显示出了较大的优越性。 建立坐标系时, 一般选共点力作用线的交点为坐标轴的原点, 并尽可能使较多的力落在坐标 轴上,这样可以减少需要分解的数目,简化运算过程。

二. 利用矢量三角形法处理斜面系统的变速运动 1. 物体置于光滑的斜面上,当斜面固定时,物体沿斜面下滑的加速度为 a 1 ,斜面对物体 的弹力为 F N 1 。斜面不固定,且地面也光滑时,物体下滑的加速度为 a 2 ,斜面对物体的弹 力为 F N 2 ,则下列关系正确的是: A. a 1 ? a 2 , F N 1 ? F N 2 C. a 1 ? a 2 , F N 1 ? F N 2 B. a 1 ? a 2 , F N 1 ? F N 2 D. a 1 ? a 2 , F N 1 ? F N 2
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解析:当斜面可动时,对物体来说是相对斜面这个加速参考系在作加速运动,而且物体 和参考系的运动方向不在同一条直线上, 利用常规的方法难于判断, 但是利用矢量三角形法 则能轻松获解。 如图 4 所示,由于重力的大小和方向是确定不变的,斜面弹力的方向也是惟一的,由共 点力合成的三角形法则,斜面固定时,加速度方向沿斜面向下,作出的矢量图如实线所示, 当斜面也运动时, 物体并不沿平行于斜面方向运动, 相对于地面的实际运动方向如虚线所示。 所以正确选项为 B。

评点:在运动学中巧取参考系;在动力学中运用整体法与隔离法;在研究重力势能时选 取参考平面;在电学中善用等势面等往往能起到柳暗花明的效果。 三. 斜面上的运动问题 1.(陕西省交大附中 2012 届高三第三次诊断试题)如图所示,在光滑水平面上,用弹 簧水平连接一斜面,弹簧的另一端固定在墙上,一玩具遥控小车,放在斜面上,系统静止

弹簧逐渐伸长, 当弹簧对小车水平向右的弹力平衡小车对斜面水平向左的作用力时, 斜面静 止,所以此时弹簧处于伸长状态,选项 A 错误。

2(08 年高考全国 II 理综).如图,一固定斜面上两个质 量相同的小物块 A 和 B 紧挨着匀速下滑,A 与 B 的接触 面光滑。已知 A 与斜面之间的动摩擦因数是 B 与斜面之
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间动摩擦因数的 2 倍,斜面倾角为 ? 。B 与斜面之间的动摩擦因数是 A A. 答案 解析
2 3 tan ?

B.

2 .3

co t ?

C. tan ?

D. co t ?

C ?? 对整体应用牛顿第二定律(mA+mB)gsinθ =(mA+mB)a 共,a 共=gsinθ ,对 B 应用牛顿第二

定律:假设有摩擦力,mBgsinθ - f =mBa 当 f =0 时 a 相同,所以假设不成立,A、B 间摩擦力为 零,故 C 对. 3(08 年高考北京卷理综).有一些问题你可能不会求解,但是你仍有可能对这些问题的解是 否合理进行分析和判断。例如从解的物理量单位,解随某些已知量变化的趋势,解在一跸特 殊条件下的结果等方面进行分析,并与预期结果、实验结论等进行比较,从而判断解的合理 性或正确性。 举例如下:如图所示。质量为 M、倾角为 ? 的滑块 A 放于水平地面上。把质量为 m 的滑块 B 放在 A 的斜面上。忽略一切摩擦,有人求得 B 相对地面的
M ?m g sin ?

加速度 a= M ? m sin ?
2

,式中 g 为重力加速度。

对于上述解,某同学首先分析了等号右侧量的单位,没发现问题。他进一步利用特殊条件对 该解做了如下四项分析和判断,所得结论都是“解可能是对的” 。但是,其中有一项是错误 的。请你指出该项。D A. B. C. 当 ? ? 时,该解给出 a=0,这符合常识,说明该解可能是对的 当 ? =90 ? 时,该解给出 a=g,这符合实验结论,说明该解可能是对的 当 M≥m 时,该解给出 a=gsin ? ,这符合预期的结果,说明该解可能是对的
B

D.

当 m≥M 时,该解给出 a= s in ? ,这符合预期的结果,说明该解可能是对的
0

4. 上海市建平中学 2010 届高三摸底测试如图所示,在倾角为 30 的足够长的斜面上有一质 量为 m 的物体,它受到沿斜面方向的力 F 的作用。力 F 可按图(a)(b) 、 、 (c)(d)所示的 四种方式随时间变化(图中纵坐标是 F 与 mg 的比值,力沿斜面向上为正) 。已知此物体在

t=0 时速度为零,若用 v1、v2 、v3 、v4 分别表示上述四种受力情况下物体在 3 秒末的速率,
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则这四个速率中最大的是(

C )

A、v1

B、v2

C、v3

D、v4

5(08 年高考海南卷物理)如图,水平地面上有一楔形物体 b,b 的斜面上有一小物块 a;a 与 b 之间、b 与地面之间均存在摩擦.已知楔形物体 b 静止时,a 静止在 b 的斜面上.现给 a 和 b 一个共同的向左的初速度,与 a 和 b 都静止时相比,此时可能 BC A.a 与 b 之间的压力减少,且 a 相对 b 向下滑动 B.a 与 b 之间的压力增大,且 a 相对 b 向上滑动 C.a 与 b 之间的压力增大,且 a 相对 b 静止不动 D.b 与地面之间的压力不变,且 a 相对 b 向上滑动 6.(河南省南召二高 2010 届高三上学期期末模拟)如图所示, 物体 B 的上表面水平, A、 当 B 相对静止沿斜面匀速下滑时, B 给 A 的摩擦力为 f1, 设 水平面给斜面体 C 的摩擦力为 f2, 则( ) 左 b a



A.f1=0,f2=0 B.f1 水平向右,f2 水平向左 C.f1 水平向左,f2 水平向右 D.f1=0,f2 水平向右 物体 a,b 匀速运动 ,即 斜面只给 ab 垂直向上的力 , 力的相互作用 ,即斜面也只受 到垂直向下的力 ,所以没有摩擦力。

7. 一质量为 M=6kg,倾角为 θ=45°的楔形木块,静置在水平桌面上,与桌面间的动摩擦 因数为 μ=0.5, 一物块质量为 m=4kg, 置于楔形木块的斜面上, 物块与斜面的接触是光滑的。 为了保持物块相对斜面静止,可用一水平力 F 推楔形木块,如图所示。此水平力的大小等 于 。

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启发提问:为了保持物块与斜面相对静止,它们应做何种运动?这时物块受哪些作用 力? 分析:首先把物块和楔形木块看成一个整体,受力情况如图 3—17(a),由牛顿第二 定律和滑动摩擦定律有 F-f=(m+M)a N-(m+M)g=0 f=μ N 由①②③联立解得 F=μ (m+M)g+(m+M)a④ 为了求出上式中的 a,再隔离小物块,其受力图如图 3—17(b)。小物块受重力 mg,楔形 木块对它的支持力 N1,这二力的合力 F 合 应沿水平向左。分力 N1、mg 与合力 F 合 遵守力的平行四边形法则,故有 N1sinθ =ma N1cosθ =mg 间 ① ② ③

解得 a=gtgθ 代入④式即得水平推力 F=μ (m+M)g+(m+M)a =μ (m+M)g+(m+M)gtgθ =(m+M)g(μ + t gθ )

8.(2004 春季高考理综北京卷)图中 a、b 上是两个位于固定斜面上的正方形物块,它们的 质量相等。F 是沿水平方向作用于 a 上的外力。已知 a、b 的接触面,a、b 与斜 面的接触面都是光滑的。正确的说法是 A.a、b 一定沿斜面向上运动 B.a 对 b 的作用力沿水平方向 C.a、b 对斜面的正压力相等 D.a 受到的合力沿水平方向的分力等于 b 受到的合力滑水平方向的分力 解析 ? 对于 AB 做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件有:2mgsinα -3μ mgcosα =0

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2

所以 B 与斜面间的动摩擦因数为:μ = 3 tanα . 9.(04·上海·5)物体 B 放在物体 A 上,A、B 的上下表面均与斜面平行(如图),当两者以相同 的初速度靠惯性沿光滑固定斜面 C 向上做匀减速运动时 ( )? A. A 受到 B 的摩擦力沿斜面方向向上 B.A 受到 B 的摩擦力沿斜面方向向下? ? C.A、B 之间的摩擦力为零 D.A、B 之间是否存在摩擦力取决于 A、B 表面的性质 ? 10.(2009 年广东汕头市高三模拟)质量为 M=10kg,倾角为 α=60°的楔形物 A 放在水平地 面上。质量为 m=4kg 的 B 物体从楔形物的光滑斜面上由静止释放,在 B 物体加速下滑过程 中,A 物体保持静止。地面受到的压力多大?

【正确解答】分别以 A,B 物体为研究对象。A,B 物体受力分别如图 2-24a,2-24b。根 据牛顿第二定律列运动方程,A 物体静止,加速度为零。 x:Nlsinα -f=0 ① y:N-Mg-Nlcosα =0 ② B 物体下滑的加速度为 a, x:mgsinα =ma ③ y:Nl-mgcosα =0 ④ 由式①,②,③,④解得 N=Mg+mgcosα 2 根据牛顿第三定律地面受到的压力为 Mg 十 mgcosα 2。 【小结】 在解决物体运动问题时,在选取研究对象时,若要将几个物体视为一个整体 做为研究对象,应该注意这几个物体必须有相同的加速度。

11.(2005 年西南联考)如图 7 所示,质量为 M 的木板放在倾角为 ? 的光滑斜面上,质 量为 m 的人在木板上跑,假如脚与板接触处不打滑。 (1)要保持木板相对斜面静止,人应以多大的加速度朝什么方向跑动? (2) 要保持人相对于斜面的位置不变, 人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向 运动?

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答案: (1)要保持木板相对斜面静止,木板要受到沿斜面向上的摩擦力与木板的下滑力 平衡,即 Mg sin ? ? F ,根据作用力与反作用力人受到木板对他沿斜面向下的摩擦力,所 以人受到的合力为:
mg sin ? ? F ? ma a ? mg sin ? ? Mg sin ? m

方向沿斜面向下。 (2)要保持人相对于斜面的位置不变,对人有 mg sin ? ? F ,F 为人受到的摩擦力且沿 斜面向上, 根据作用力与反作用力等值反向的特点判断木板受到沿斜面向下的摩擦力, 大小 为 mg sin ? ? F 所以木板受到的合力为:
Mg sin ? ? F ? Ma 解得 a ? mg sin ? ? Mg sin ? M

方向沿斜面向下。

三. 斜面上的综合问题 1.江苏省马塘中学 2010 届高三阶段测试质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连接,绳跨过位于倾角α =30° 的光滑斜面顶端的轻滑轮, 滑轮与转轴之间的摩擦不计, 斜面固定在水平桌面上,如图所示。第一次,m1 悬空, m2 放在斜面上, t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运动 用 至斜面顶端所需的时间。第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发 现 m1 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为 t 3 。求 m1 与 m2 之比。 解: 第一次,小物块受力情况如图所示,设 T1 为绳中张力,a1 为两物块加速度的大小, l 为斜面长,则有
m 1 g ? T1 ? m 1 a 1

(1)
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T1 ? m 2 g sin ? ? m 2 a 1

(2) (3)

N1 T1

T1

l ?

1 2

a1t

2

??
m2 g

m1g

第二次,m1 与 m2 交换位置.设绳中张力为 T2,两 物块加速度的大小为 a2,则有
m 2 g ? T2 ? m 2 a 2 T 2 ? m 1 g sin ? ? m 1 a 2

(4) (5)

?t ? l ? a2 ? ? 2 ?3? 1

2

(6)
2m1 ? m 2

由 (1)、(2) 式注意到? =30°得 a 1 ?

2 ?m 1 ? m 2 ? 2m 2 ? m1

g

(7)

由 (4)、(5) 式注意到? =30°得 a 2 ?
a2 9
m1 m2 ? 11 19

2 ?m 1 ? m 2 ?

g

(8)

由 (3)、(6) 式得 a 1 ?

(9)

由 (7)、(8)、(9) 式可解得

(10)

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