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圆的极坐标方程


圆的极坐标方程

学习目标:
1、掌握极坐标方程的意义 2、类比圆的直角坐标方程,结合直 角坐标与极坐标的互化,掌握圆的 极坐标方程 3、掌握特殊位置下的圆(过极点或 圆心在极点的圆)的极坐标方程.

自学指导:
阅读课本P12~13探究上面的内容 思考:
1、找出极坐标方程定义(在文中画出来) 2、在极坐

标方程定义中你是如何理解“平面 曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满 足方程f(?,?)=0 ”这句话的? 3、“探究”中设M(ρ,θ)时,为什么要除点 O,A外?OM为什么是垂直于AM的?①式是 由什么得来的? 4、例1中为什么|MO|=r?比较圆的极坐标方 程和直角坐标方程,哪个更简单? 6分钟后比比谁能做对检测题

知识回顾

曲线的直角坐标方程
1. 定义:如果曲线C上的点与方程 f(x,y)=0有如下关系 (1)曲线C上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解 ; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在 曲线C上。 则曲线C的方程是f(x,y)=0 。

曲线的极坐标方程
1. 定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都 在曲线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

探究:

如图,在极坐标系下半径为a的圆 的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用 一个等式表示圆上任意一点的极 坐标(?,?)满足的条件吗?
O M ? O A co s ? M O A

即 ?=2acos ? 所以半径为a,过 极点且圆心在极轴 O 上的圆的极坐标方 程为?=2acos ?

? ? C(a,0)

M(?,?)

A

x

例1、已知圆O的半径为r,建立怎样 的坐标系,可以使圆的极坐标方程更 简单?
M(?,?)

MO ? r
? O r x

?



?=r

所以圆心在极点,半径为r的圆的极坐标 方程为

?=r

知识总结

求曲线的极坐标方程的基本步骤:
1、建立极坐标系 2、设点(点与坐标的对应)

3、列式(方程与坐标的对应)
4、化简 5、说明

比较:
极坐标方程 直角坐标方程
2

?=2acos ? ( x ? a )
?=r

?
2

y
?

2

?

a
2

2

x

2

?

y

r

发现: 一般的,当曲线的几何特征是用距离 及角度表示时,选择曲线的极坐标方程表 示曲线往往更方便,得到的方程也更简单。

沙场点兵:
1、 按 下 列 条 件 写 出 圆 的 极 坐 标 方 程 : ( 1 ) 以 A ( 3 ,0 ) 为 圆 心 , 且 过 极 点 的 圆 ;

? = 6 cos ?
(2 )圆 心 在 极 点 , 半 径 为 4 的 圆 ;

? =4
(3 )以 A (1 ,

?
2

)为 圆 心 , 半 径 为 1 的 圆 ;

(4 )以 B (2 , )为 圆 心 , 半 径 为 3 的 圆 ; 4

?

沙场点兵:
2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程, 并说出表示什么曲线。 (1)ρ=5 (2)ρ=2sinθ

课堂小结
(1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程

当堂作业 必做题
1、在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标 方程。
(1 ) 圆 心 在 A 1 , ) , 半 径 为 1 的 圆 ; ( 4 (2) 圆 心 在 ( a,

?

?
2

) ,半 径 为 a的 圆 。
2

2、把下列直角坐标方程化成极坐标方程。

(1 ) x = 4

(2) ? x

2

y

?4

3、把下列极坐标方程化成直角坐标方程。

(1 ) ? =-10cos ?

( 2 ) ? =2cos ? -4sin ?

当堂作业 选做题
在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(3, 半径r=3,求圆C的极坐标方程。
π 6

),

练 习 1、 按 下 列 条 件 写 出 圆 的 极 坐 标 方 程 : (1 ) 以 A (3 ,0 ) 为 圆 心 , 且 过 极 点 的 圆 ;

? (2 ) 以 B (8 , ) 为 圆 心 , 且 过 极 点 的 圆 ; 2
(3 ) 以 极 点 O 与 点 C (-4 ,0 ) 连 接 的 线 段 为 直 径 的 圆 ;

? (4 ) 圆 心 在 极 轴 上 , 且 过 极 点 与 点 D (2 3, ) 的 圆 。 6 ( 2 ) ? ? 1 6 sin? (1 ) ? = 6 c o s ?

(3) ? ? ? 4 co s ?

( 4 ) ? ? 4 co s ?

辨析:圆心在不同位置时圆参数方程和特征.

运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐 标方程。
1 、 当 圆 心 位 于 M ( r , 0 )时 , 由 上 式 可 得 圆 的 极 坐 标方程是: ?

=2rcos?
?
2 )时 , 由 上 式 可 得 圆 的 极 坐

2 、 当 圆 心 位 于 M (r, 标 方 程 是 :?

=2rsin?

求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为r;

?=r

(2)中心在C(a,0),半径为a; (3)中心在(a,?/2),半径为a; (4)中心在C(a,?0),半径为a
? = 2 a co s(? ? ? 0 )

?=2acos ?
?=2asin ?

圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等

练习:

当堂作业:

1、 曲 线 的 极 坐 标 方 程 ? = 4 sin ? 化 为 直 角 坐 标 方程_________ 2.曲 线 极 坐 标 方 程 ? cos(? 标方程_________

?
6

)=1化 为 直 角 坐

3、在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(3,6 ), 半径r=3,求圆C的极坐标方程。

π


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