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广东省揭阳市2015届高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题


绝密★启用前

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {4,5, 6,8}, B ? {3,5, 7,8} ,则 A A.8 B.7 C.6

B 中元素的个数为
D.5

2.已知复数 z ? (?8 ? 7i )(?3i ) ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. “ a ? b ”是 “ ac 2 ? bc 2 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 4.已知双曲线 为 A. 3 B. D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 ,则该双曲线的离心率 2 a b 2

5

C.2

D.

5 2

?5 x ? 3 y ? 15, ? 5.不等式组 ? y ? x +1, 表示的平面区域的面积为 ? x ? 5 y ? 3. ?
A. 7 B.5 C. 3 D.14 6.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是 A.若 m // l , m // ? , 则l // ? ; B.若 m ? ? , l ? m, 则l / /? ; C.若 ? / / ? , l ? ? , m / / ? , 则l ? m ; D.



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m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? ; 7.将 5 本不同的书摆成一排,若书甲与书乙必须相邻,而书丙与书丁不能相邻,则不同的 摆法种数为 A. 48 B. 24 C. 20 D. 12
8.非空数集 A 如果满足:① 0 ? A ;②若对 ?x ? A, 有 以下数集:
2 ② {x | x ? 4 x ? 1 ? 0} {x ? R | x 2 ? ax ? 1 ? 0} ; ln x 1 {y | y ? , x ? [ ,1) ? (1, e]} ; x e ? ? 2 ? 2 x ? , x ? [0,1) ? ? ? ? ? ? 5 ④?y y ? ? ? .其中“互倒集”的个数是 1 ? ? x ? . x ? [1, 2]? ? ? ? ? x ? ?

1 ? A ,则称 A 是“互倒集”.给出 x
; ③



A.4 B. 3 C.2 D. 1 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.已知 a ? (sin ? , cos ? ), b ? ,若 a ? b ,则 tan ? 的值为 (-2,1) . .

1 2 11.在△ABC 中, ?A、?B、?C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? 3 , ?B ? 2?A ,
10. 已知函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的图象经过点 (2, ) , 则其反函数的解析式 y =

cos A ?

6 ,则 b ? ______ . 3
3 ,则这名运动员在 10 次射 5

12.某射击运动员在练习射击中,每次射击命中目标的概率是 击中,至少有 9 次命中的概率是 表示)

10 . (记 ( ) ? p ,结果用含 p 的代数式

3 5

13.已知函数 f ( x) ? x 对应的曲线在点 (ak , f (ak ))(k ? N ? ) 处的切线与 x 轴的交点为
3

(ak ?1 , 0) ,若 a1 ? 1 ,则

f ( 3 a1 ) ? f ( 3 a2 ) ? ? f ( 3 a10 ) ? 2 10 1? ( ) 3



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? sin(? ? 长 为 .

?
4

) ? 2 被圆 ? =4 截得的弦

15. (几何证明选讲选做题)如图 1,BE、CF 分别为钝角△ ABC 的两条高, 已知 AE ? 1, AB ? 3, CF ? 4 2, 则 BC 边的 长为



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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? (1)求 ? 的值; (2)若 f (? ) ?

? )(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 ? . 6

2 ? , ? ? (0, ) ,求 cos 2? 的值. 3 8

17.(本小题满分 12 分) 图 2 是某市今年 1 月份前 30 天空气质量指数(AQI)的趋势图.

(1)根据该图数据在答题卷中完成频率分布表,并在图 3 中作出这些数据的频率分布 直方图;

(2)当空气质量指数(AQI)小于 100 时,表示空气质量优良.某人随机选择当月 1 日至 10 日中的某一天到达该市,并停留 2 天,设 ? 是此人停留期间空气质量优良的天数, 求 ? 的数学期望.

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18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1 ,

AB ? 6 , AB ⊥平面 BCD , E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点.
(1)求证:平面 BEF ⊥平面 ABC ; (2)求四棱锥 B-CDFE 的体积 V; (3)求平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值. 图 4 19. (本小题满分 14 分) 已知 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ? nan ? 3n(n ? 1) ( n ? N * ) ,且 a2 ? 11 . (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (3)设数列 {bn } 满足 bn ? 20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0, 1) ,点 B 在直线 l1 : y ? ?1 上,点 M 满足

n ,求证: b1 ? b2 ? Sn

? bn ?

2 3n ? 2 . 3

uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur MB / / OA , MA ? AB ? MB ? BA ,点 M 的轨迹为曲线 C .
(1)求 C 的方程; (2) 设直线 l2 : y ? kx ? m 与曲线 C 有唯一公共点 P , 且与直线 l1 : y ? ?1 相交于点 Q , 试探究,在坐标平面内是否存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ?若存在,求出点

N 的坐标,若不存在,说明理由.
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x ,其中 a ? R ,(e≈2.718) . (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1,求 a 的值; (2)若函数 G ( x) ? f (sin( x ? 1)) ? g ( x) 在区间 (0,1) 上为减函数,求 a 的取值范围;

(3)证明:

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2 .

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揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.

1 23 x ;10. 4 ;11. 2 6 ;12. p ;13. 3;14. 4 3 ;15. 57 . 2 3 3 10 2 3 3 5 23 9 3 9 2 解析:12.所求概率 P ? C10 ( )( ) +C10 ? 10 ? ? ( )9 ? ( )10 ? 4 p ? ? p ? p. 10 ( ) 5 5 5 5 5 5 3 3
二、填空题:9.
2 3 2 13.由 f '( x) ? 3 x 得曲线的切线的斜率 k ? 3ak ,故切线方程为 y ? ak ? 3ak ( x ? ak ) ,令

2

y ? 0 得 ak ?1 ?

a 2 2 2 ak ? k ?1 ? ,故数列 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 的等比数列,又 3 3 ak 3

f ( 3 a1 ) ? f ( 3 a2 ) ?

? f ( 3 a10 ) ? a1 ? a2 ?

? a10 ?

a1 (1 ? q10 ) ? 3(1 ? q10 ) ,所以 1? q

f ( 3 a1 ) ? f ( 3 a2 ) ? ? f ( 3 a10 ) ?3. 2 10 1? ( ) 3

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[解法 2:由 f (? ) ? 2sin(2? ?

π 2 π 1 得 sin(2? ? ) ? , )? 6 3 6 3

--------------------------3 分 即

sin 2? cos


?
6

? cos 2? sin

?
6

?

1 -------------------------------------------------5 3

2 ? cos 2? 3 -----------------------① ? sin 2? ? 3
---------------------------------6 分 将①代入 sin 2 2? ? cos 2 2? ? 1 并整理得 4 cos 2 2? ? 12 cos 2? ? 23 ? 0 , ---------------8 分 解得: cos 2? ? 分

12 ? 24 6 1 ? 2 6 , -------------------------②----------------10 ? 72 6

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∵ ? ? (0, 分 ∴

?
8

)

∴ 0 ? 2? ?

?
4

, ∴ cos 2? ? 0 , 故②中负值不合舍去, ----------------11

cos 2? ?
分]

1? 2 6 .-----------------------------------------------------------12 6

18. (1) 证明: AB⊥平面 BCD,CD ? 平面 BCD 分 又 BC ? CD , AB 分

? AB ? CD ,-------------------1

BC ? B , ? CD ? 平面 ABC , ------------------------------2

又 E、 F 分别是 AC、 AD 的中点, ∴ EF // CD. ---------------------------------------3 分
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∴EF⊥平面 ABC 又 EF ? 平面 BEF,? 平面 BEF⊥平面 ABC-----------4 分

(3)解法 1:以点 C 为坐标原点,CB 与 CD 所在的直线分别为 x、y 轴建 立空间直角坐标系如图示, --------------------------------------------------------9 分 则 C (0, 0, 0), D(0, 1, 0), A(1, 0,6) E ( , 0, ), F ( , , 0, 0) , B(1,

1 2

6 2

1 1 2 2

6 ) 2

∴ BE ? (?

1 6 1 1 6 , 0, ) , BF ? (? , , ) ,---------------10 分 2 2 2 2 2

设平面 BEF 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,由 ?

? ?n ? BE ? 0 ? ?n ? BF ? 0



? 1 6 c?0 ?? a ? ? 2 2 令 c ? 6 得 a ? 6, b ? 0 ,∴ n ? (6, 0, 6) , ? 1 1 6 ?? a ? b ? c?0 ? ? 2 2 2
------------------12 分 ∵ BA ? (0, 0, 6) 是平面 BCD 的法向量, 设平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角大小为 ? ,
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则 cos ? ?

n ? BA 6 7 , ? ? 7 | n | ? | BA | 6 ? 42

∴所求二面角的余弦值为

7 .---------------------------------------------------14 分 7

19.解: (1)由 S 2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3 ? 2(2 ? 1) 和 a2 ? 11 可得 a1 ? 5 --------------------2 分 (2)解法 1:当 n ? 2 时,由 an ? S n ? S n ?1 得 an ? nan ? 3n(n ? 1) ? (n ? 1)an ?1 ? 3(n ? 1)(n ? 2) , ---------------------------------4 分

? (n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 ? 6(n ? 1) ? an ? an ?1 ? 6(n ? 2, n ? N ? ) --------------------6 分 ∴数列 {an } 是首项 a1 ? 5 ,公差为 6 的等差数列, ∴

an ? a1 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 1 -------------------------------------------------------7
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分 ∴

Sn ?


n(a1 ? an ) ? 3n 2 ? 2n -----------------------------------------------------8 2

[解法 2: 当 n ? 2 时, 由 S n ? nan ? 3n(n ? 1) ? n( S n ? S n ?1 ) ? 3n(n ? 1) ------------------4 分 可得 (n ? 1) S n ? nS n ?1 ? 3n(n ? 1)

?

S n S n ?1 ? ? 3 ,---------------------------------6 分 n n ?1 S S ∴数列 { n } 是首项 1 ? 5 ,公差为 3 的等差数列, n 1 S ? n ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 n
S n ? 3n 2 ? 2n .--------------------------------------8 分]

(2) 解法 1: 由曲线 C 关于 y 轴对称可知, 若存在点 N , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N , 则点 N 必在 y 轴上,设 N (0, n) , --------------------------------------------------6 分
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又设点 P ( x0 , 切, 由y?

2 x0 ) ,由直线 l2 : y ? kx ? m 与曲线 C 有唯一公共点 P 知,直线 l2 与曲线 C 相 4

1 2 1 1 x 得 y ' ? x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 , 4 2 2

---------------------------------------7 分
2 x0 x ∴直线 l2 的方程为 y ? ? 0 ( x ? x0 ) , 4 2

--------------------------------------------8 分
2 x0 ?2 x 2 令 y ? ?1 得 x ? 2 , ∴ Q 点的坐标为 ( 0 ? , ?1) , -----------------------------9 x0 2 x0



? NP ? ( x0 ,
10 分

2 x0 x 2 ? n), NQ ? ( 0 ? , ?1 ? n) --------------------------------------4 2 x0

∵点 N 在以 PQ 为直径的圆上, ∴

NP ? NQ ?


2 x0 x2 x2 ? 2 ? (1 ? n)( 0 ? n) ? (1 ? n) 0 ? n 2 ? n ? 2 ? 0 2 4 4

(*) ---------------12

要使方程 (*) 对 x0 恒成立,必须有 ? -------------------------13 分

?1 ? n ? 0
2 ?n ? n ? 2 ? 0

解得 n ? 1 ,

∴在坐标平面内存在点 N , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N , 其坐标为 (0,1) . ---------14 分

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②③联立解得 ?

? x ? 0, ? x ? 0, 或? , ? y ? 1. ? y ? ?1.

-----------------------------------------------12 分 ∴在坐标平面内若存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ,则点 N 必为 (0,1) 或

(0, ?1) ,
将 (0,1) 的坐标代入①式得,①式, 左边= 2(1 ? y0 ) ? (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2(1 ? y0 ) ? 2( y0 ? 1) ? 0 =右边, x0

将 (0, ?1) 的坐标代入①式得,①式, 左边= (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2( y0 ? 1) 不恒等于 0, x0

------------------------------------13 分 ∴在坐标平面内是存在点 N , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N , 点 N 坐标为为 (0,1) . --14 分]

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设 H ( x) ?

1 ,则 x cos( x ? 1)
x cos ( x ? 1)
2 2

H '( x) ?

? ? cos ? x ? 1? ? x sin ? x ? 1? ?

?

x sin ? x ? 1? ? cos ? x ? 1? ----7 分 x 2 cos 2 ( x ? 1)

当 x ? ? 0,1? 时, sin ? x ? 1? ? 0 , cos ? x ? 1? ? 0 所以 H '( x) ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立,即函数 H ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减, -------------------8 分 ∴当 x ? ? 0,1? 时, H ( x) ? H (1) ? 1 , ∴

a ? 1 .-----------------------------------------------------------------------9


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(3)证法 1:由(2)知,当 a ? 1 时, G ( x) ? sin( x ? 1) ? ln x ? G (1) ? 0 ,

1 ? sin( x ? 1) ? ln x ? sin(1 ? x) ? ln , x
------------------------------------------10 分 ∵对任意的 k ? N ? 有

1 1 ? (0,1) ,∴ 1 ? ? (0,1) 2 (k ? 1) (k ? 1) 2

∴ sin

1 1 (k ? 1) 2 ? ln ? ln , 1 (k ? 1) 2 k ( k ? 2) 1? (k ? 1) 2

--------------------------------------12 分

1 1 ∴ sin 2 ? sin 2 ? 2 3 22 32 ? ln[ ? ? 1? 3 2 ? 4


1 22 32 ? sin ? ln ? ln ? (n ? 1) 2 1? 3 2? 4 ? (n ? 1) 2 2(n ? 1) ] ? ln ? ln 2 , n(n ? 2) n?2

( n ? 1) 2 ? ln n( n ? 2)

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2 .--------------------------------------------------------14



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