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辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末考试 试题


2014-2015 学年高一上学期期末考试 数学试题
注意事项: 1.请在答题纸上作答,在试卷上作答无效. 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷

选择题

(共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知点 A(-3,1,5)与点 B(0,2,3),则 A,B 之间的距离为 ( ) A. 22 B. 2 3 C. 14 D. 7

2.集合 A ? ?( x, y) y ? ax ? 1? , B ? ?( x, y) y ? x ? 3? ,且 A A. a ? 3 B. a ? 2 C. a ? ? 3 D. a ? ?2

B ? ?(2,5)? ,则





3. a, b, c 为空间中三条直线,若 a ? b , b ? c ,则直线 a, c 的关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能





4.直线 ax ? by ? c ? 0 经过第一、第二、第四象限,则 a, b, c 应满足 A. ab >0, bc >0





B. ab >0, bc <0 C. ab <0, bc >0 D. ab <0, bc <0

5. 两条平行线 l1 :3x-4y-1=0,与 l2 :6x-8y-7=0 间的距离为 A.





1 2

B.

3 5

C.

6 5

D.1

6.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A.



1 ? 4? 2?
0.5

B.

1 ? 2? 4?

C.

1 ? 2?

?

D.

1 ? 2? 2?
( )

7.若 a ? 2

, b ? log? 3 , c ? log2 0.3 ,则 B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? b ? c

A. b ? c ? a

8.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°且腰和上底均为 1 的等腰梯形, 则原平面图形的面积是 ( ) A.

2? 2 2

B.

1? 2 2

C. 2 ? 2

D. 1 ? 2

9. 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 10, 过点 P(1,3)作圆 C 的切线,则切线方程为 A. x ? 3 y ? 10 ? 0 C. 3x ? y ? 6 ? 0 B.





x ? 3 y ? 8? 0

D. 3x ? y ? 10 ? 0

10.如图所示,已知三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1 ABC1 的体积为 ( )

A.

3 12

B.

3 4

C.

6 12

D.

6 4

第 10 题图

11.已知函数 f (x) ? 3 ? 2 x , g(x) ? x , 构造函数 F (x) ? ?
2

? g ( x) , f ( x) ? g ( x) , ? f ( x ) , g ( x) ? f ( x)
( )

那么函数 y ? F (x) A. 有最大值 1,最小值 ?1 C. 有最大值 1,无最小值 B. 有最小值 ?1 ,无最大值 D.有最大值 3,最小值 1

12. 若半径均为 2 的四个球, 每个球都与其他三个球外切, 另有一个小球与这四个球都外切, 则这个小球的半径为 ( ) A. 6 ? 2 B.

6 ?2

C.

10 ? 3

D. 2 2 ? 2

第Ⅱ 卷

非选择题(共 90 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷卡的相应位置上) 13.计算 (lg 2) ? lg 20 lg5=
2

. .

14. 一个几何体的三视图如图所示,俯视图为等边三角形,若其体积为 8 3 ,则 a =

a
2 3

第 14 题图

15.已知两圆相交于两点(1,3)和( m ,1),两圆圆心都在直线 x ? y ? 则 m?c = .

c ? 0 上, 2

16. 过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1 相切的直线方程为



三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 如图,平面 α⊥平面 β,在 α 与 β 的交线 l 上取线段 AB=4,AC、BD 分别在平面 α 和平面 β 内,它们都垂直于交线 l ,并且 AC=3,BD=12,求 CD 的长.

第 17 题图

18. (本小题满分 12 分) 设 f(x)? a?

2 , x ? R . (其中 a 为常数) 2 ?1
x

(1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值; (2)若不等式 f ( x) ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 圆 C 过点 A(6,0),B(1,5) ,且圆心在直线 l : 2 x ? 7 y ? 8 ? 0 上. (1)求圆 C 的方程; (2) P 为圆 C 上的任意一点,定点 Q(8,0) ,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

20.(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 6, ? BAD=60 ,对角线 AC,BD 相交于点 O,将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B-ACD,点 M 是棱 BC 的中点, DM= 3 2 . 求证: (1)OM∥平面 ABD; (2)平面 ABC ? 平面 MDO.
?

第 20 题图

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (ax2 ? 2x ? 3) ( a ? R ). (1)若 f (1) ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值为 0. 若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ? 0,3? ,直线 l:y=2x-4. (1)求以点 A 为圆心,以 10 为半径的圆与直线 l 相交所得弦长; (2)设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的 横坐标 a 的取值范围.

2014~2015 学年第一学期期末考试答案 高一数学
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.C;2.B;3.D;4.B;5.A;6.D;7.D;8.C;9.A;10.A;11.C;12.B. 12、提示:四个大球两两外切,四个大球的球心连线构成边长为 4 的正四面体 A ? BCD , 小球与四个大球都外切,小球的球心到四个大球的球心的距离为 2+r,所以小球的球心为正 四面体 A ? BCD 的外接球的球心(即为正四面体的中心) 。 二.填空题 13. 1;14.2;15.3;16.x=2 或 4x-3y+1=0.

三.解答题 17.解 连接 BC.∵ AC⊥l , ∴BC= AC2+AB2= 32+42=5. 又∵BD⊥ l ,α⊥β,α∩β= l , ∴BD⊥α. 又∵BC ? α,∴BD⊥BC. ∴CD= CB2+BD2= 52+122=13. ∴CD 长为 13 cm. 18. 解:(1)因为 x ? R, 所以 f (0) ? 0得a ? 1 . (2) f ( x ) ? a ? ----------------------------3 分 ----------------------------6 分 ----------------------------8 分 ---------------------------10 分 ---------------------------4 分

2 2 ?1
x

因为 f ( x) ? a ? 0 恒成立, 即 2a ?
x

2 恒成立. 2 ?1
x

----------------------------6 分

因为 2 ? 1 ? 1 ,所以 0 ? 所以 2a ? 2 ,即 a ? 1 .

2 ?2. 2 ?1
x

------------------10 分 -------------------12 分

19. 解: (1)解法 1:直线 AB 的斜率 k ?

5?0 ? ?1 , 1? 6
---------------------------2 分

所以 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 1. AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x ? 因此,直线 m 的方程为 y ?

6 ?1 7 0?5 5 ? ,y? ? . 2 2 2 2
--------------------4 分

5 7 ? 1(x ? ) .即 x ? y ? 1 ? 0 . 2 2

又圆心在直线 l 上,所以圆心是直线 m 与直线 l 的交点。联立方程组

? x ? y ?1 ? 0 ? ?2 x ? 7 y ? 8 ? 0
解得 ?

?x ? 3 ?y ? 2

--------------------------6 分

所以圆心坐标为 C(3,2) ,又半径 r ? CA ? 13 , 则所求圆的方程是 (x ? 3) ? (y? 2) ? 13 .
2 2

----------------------------8 分
2

解法 2:设所求圆的方程为 (x ? a) ? (y? b) ? r .由题意得
2 2

?(6 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(1 ? a) ? (5 ? b) ? r ?2a ? 7b ? 8 ? 0 ?
?a ? 3 ? 解得 ?b ? 2 ? r 2 ? 13 ?
所以所求圆的方程是 (x ? 3)2 ? (y? 2)2 ? 13 . (2)设线段 PQ 的中点 M(x,y) ,P (x0 , y0 )

----------------------------3 分

----------------------------6 分

----------------------------8 分

? x0 +8 =x ? ? 2 M 为线段 PQ 的中点,则 ? ? y0 ? 0 ? y ? ? 2
解得 ?



-----------------------------9 分

? x0 ? 2 x ? 8 . ? y0 ? 2 y

P(2 x ? 8, 2 y) 代入圆 C 中得 (2x ? 8 ? 3)2 ? (2 y? 2)2 ? 13 ,
即线段 PQ 中点 M 的轨迹方程为 ( x ?

11 2 13 ) ? (y ? 1) 2 ? . 2 4

-----------12 分

20 ( . 1)证明:由题意知,O为AC的中点, M 为BC的中点, ? OM / / AB. 又 OM ? 平面ABD, BC ? 平面ABD, ? OM / / 平面ABD. ------------------------6分 ------------------------2分

(2)证明:由题意知,OM=OD=3,DM=3 2, ? OM 2 ?OD 2 ? DM 2 ??DOM ? 900 , 即OD ? OM . 又 四边形ABCD是菱形, ? OD ? AC. OM ? AC ? O, OM , AC ? 平面ABC, ? OD ? 平面ABC. OD ? 平面MDO, ? 平面ABC ? 平面MDO.
21.解:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 2 这时 f(x)=log4(-x +2x+3).

------------------------8分

------------------------10分 ------------------------12分

----------------------------2 分

由-x +2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). ----------------------------4 分 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3).------------------6 分 (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0,则 h(x)=ax +2x+3 应有最小值 1,----8 分 a>0, ? ? 因此应有?12a-4 =1, ? ? 4a 1 解得 a= . 2 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2 -------------------12 分
2

2

----------------------------10 分

22.解: (1)设直线 l : y ? 2 x ? 4 与圆 A 相交的弦为线段 BC 则圆心到直线 l 的距离 d ?
2

0?3?7 5

?

7 7 ? 5. 5 5

---------------------------2 分

? BC ? 2 2 由题意知 ? ? ? d ? ( 10) , ? 2 ? 2 5. 解得 BC ? 5

---------------------------4 分

--------------------6 分
2 2

(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 ( x-a) + [ y-2(a-2)] = 1. 设点 M(x,y),因为 MA ? 2 MO ,
2 2 2 2 2 2 2 所以 x ? ( y ? 3) =2 x ? y ,化简得 x +y +2 y-3=0 ,即 x +( y+ 1)2=4 ,

所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上.

---------------------------8 分

由题意, 点 M(x, y)在圆 C 上, 所以 M 是圆 C 与圆 D 的公共点, 则|2-1|≤ CD ≤2+1, 所 以 1?

a 2 ? (2 a ? 3) 2 ? 3.
得0 ? a ?

---------------------------10 分

2 ? ?5a ? 12a ? 8 ? 0 即? 2 ? ?5a ? 12a ? 0

12 5
----------------12 分

所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 ? 0,

? 12 ? . ? 5? ?


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