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高中常用函数性质及图像汇总


高考 我们在拼搏------------让奋斗持之以恒

高中常用函数性质及图像 一次函数
(一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定

义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如 y ? kx ? b ( k , b 是常数,且 k ? 0 )的函数,叫做一次函数,其中 x 是 自变量。当 b ? 0 时,一次函数 y ? kx ,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是 y ? kx ? b ,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断 是否能化成以上形式. ⑵当 b ? 0 , k ? 0 时, y ? kx 仍是一次函数. ⑶当 b ? 0 , k ? 0 时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零 当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大;当 k<0 时,?直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随 x 增大 y 反而减小.

(1) 解析式:y=kx(k 是常数,k≠0) (2) 必过点: (0,0)(1,k) 、 (3) 走向:k>0 时,图像经过一、三象限;k<0 时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴 3、一次函数及性质 一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时,y=kx +b 即 y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注: 一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数

一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(-

b ,0)两点的一条直线,我们称它为直 k

线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到.(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移)
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(1)解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0) (2)必过点: (0,b)和(-

b ,0) k

(3)走向: k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限

?k ? 0 ? 直线经过第一、二、三象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第一、二、四象限 ? ?b ? 0

?k ? 0 ? 直线经过第一、三、四象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第二、三、四象限 ? ?b ? 0

(4)增减性: k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小. (5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于 y 轴;|k|越小,图象越接近于 x 轴. (6)图像的平移: 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.

一次 函数
k ,b 符号 k ?0 b?0
y

k ? kx ? b ? k ? 0 ?

k ?0 b?0
y

b?0
y

b?0
y

b?0
y

b?0
y

图象
O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

性质

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

4、一次函数 y=kx+b 的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直 线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取

它与两坐标轴的交点: (0,b) ,

.即横坐标或纵坐标为 0 的点.

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b>0 经过第一、二、三象限

b<0 经过第一、三、四象限

b=0 经过第一、三象限

k>0

图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

k<0

图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而 得到(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移) 6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数 概 念 一般地, 形如 y=kx(k 是常数, k≠0) 的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数 X 为全体实数 一条直线 (0,0)(1,k) 、 k>0 时,直线经过一、三象限; k<0 时,直线经过二、四象限 (0,b)和(一次函数 一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时,是 y=kx,所以 说正比例函数是一种特殊的一次函数.

自变量 范 围 图 象 必过点 走 向

b ,0) k

k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限 k>0,b<0 直线经过第一、三、四象限 k<0,b>0 直线经过第一、二、四象限 k<0,b<0 直线经过第二、三、四象限

增减性 倾斜度 图像的 平 移

k>0,y 随 x 的增大而增大; (从左向右上升) k<0,y 随 x 的增大而减小。 (从左向右下降) |k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴 b>0 时, 将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; b<0 时, 将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
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6、直线 y ? k1 x ? b1 ( k1 ? 0 )与 y ? k 2 x ? b2 ( k 2 ? 0 )的位置关系 (1)两直线平行 ? k1 ? k 2 且 b1 ? b2 (2)两直线相交 ? k1 ? k 2 (3)两直线重合 ? k1 ? k 2 且 b1 ? b2 (4)两直线垂直 ? k1k 2 ? ?1 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 8、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0(a,b 为常数,a≠0)的形式,所以解一元一 次方程可以转化为:当某个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值. 从图象上看,相当 于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值. 9、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0(a,b 为常数,a≠0)的形 式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于 0 时, 求自变量的取值范围. 10、一次函数与二元一次方程组 (1)以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= ? 图象相同. (2)二元一次方程组 ?

a c x? 的 b b

?a1 x ? b1 y ? c1 a c 的解可以看作是两个一次函数 y= ? 1 x ? 1 和 b1 b1 ?a 2 x ? b2 y ? c 2

y= ?

a2 c x ? 2 的图象交点. b2 b2
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二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax 2 ? bx ? c ( a , , 是常数, a ? 0 )的函数,叫做 b c 二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b , 可 c

以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. ⑵ a , , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. b c

二、二次函数的基本形式
① 一般式: f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ?
2

② 顶点式: f ? x ? ? a ? x ? m ? ? n ? a ? 0 ?
2

③ 零点式: f ? x ? ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ?? a ? 0 ?

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ?

a?0

a?0

图像

x??
定义域 对称轴

b 2a
? ?? , ? ? ?
x?? b 2a

x??

b 2a

顶点坐标

? b 4ac ? b 2 ? , ?? ? 2a 4a ? ?

值域

? 4ac ? b 2 ? , ? ?? ? ? 4a ?

? 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 4a ? ?

b ? ? ? ?? , ? ? 递减 2a ? ?
单调区间

b ? ? ? ?? , ? ? 递增 2a ? ?

? b ? , ? ? ? 递增 ?? ? 2a ?
-5-

? b ? , ? ? ? 递减 ?? ? 2a ?

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2 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,二次函数的图像和 x 轴有两个交点 M1 ? x1 , 0 ? , M 2 ? x2 , 0 ? ,

线段 M 1M 2 ? x1 ? x2 ?

? b 2 ? 4ac ? . a a

当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,二次函数的图像和 x 轴有两个重合的交点 M ? ?
2
2

? b ? , 0? . ? 2a ?

特别地,当且仅当 b ? 0 时,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 为偶函数.

1. 二次函数基本形式: y ? ax2 的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质

? 0 ,0 ?
? 0 ,0 ?

y轴

x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大;x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 0 .
x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小;x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 0 .

a?0

向下

y轴

2.

y ? ax2 ? c 的性质:

上加下减。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质

? 0 ,c ? ? 0 ,c ?

y轴

x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大;x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 c .

a?0

向下

y轴

x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小;x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 c .

3.

y ? a ? x ? h ? 的性质:
2

左加右减。

a 的符号
a?0
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质

? h,0 ?

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 0 . x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 0 .

向下

? h,0 ?

X=h

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4.

y ? a ? x ? h ? ? k 的性质:
2

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质

? h ,k ? ? h ,k ?

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 k . x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 k .

a?0

向下

X=h

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:

方法一: ⑴

k 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h ? ? k , 确定其顶点坐标 ? h , ? ;
2

k ⑵ 保持抛物线 y ? ax 2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h , ? 处,具体平移方法如下:

y=ax2

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” .

方法二:
⑴ y ? ax ? bx ? c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ? ax ? bx ? c 变成
2 2

y ? ax 2 ? bx ? c ? m (或 y ? ax 2 ? bx ? c ? m )
⑵ y ? ax ? bx ? c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y ? ax ? bx ? c 变成
2 2

y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c (或 y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c )
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四、二次函数 y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax 2 ? bx ? c 的比较
2

从解析式上看, y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax 2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配
2

b ? 4ac ? b 2 b 4ac ? b2 ? 方可以得到前者,即 y ? a ? x ? ? ? ,其中 h ? ? , ? . k 2a ? 4a 2a 4a ?
2

五、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 c c c 选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 ? 0 , ? 、以及 ? 0 , ? 关于对称轴对称的点 ? 2h , ? 、
0 0 与 x 轴的交点 ? x1 , ? , ? x2 , ? (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点.

六、二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的性质
1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ?
? b 4ac ? b2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ?. 4a ? 2a ? 2a

当x??

b b b 时, y 随 x 的增大而减小; x ? ? 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 当 2a 2a 2a
4ac ? b 2 . 4a
? b 4ac ? b2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ? .当 4a ? 2a ? 2a

时, y 有最小值

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x ? ?

x??

b b b 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, 2a 2a 2a
4ac ? b 2 . 4a

y 有最大值

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: y ? ax 2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; 3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写 2 成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 中, a 作为二次项系数,显然 a ? 0 . ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越
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大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越 大.

总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数 b

在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在 a ? 0 的前提下, 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?
b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?
b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a

ab 的符号的判定:对称轴 x ? ?
则 ab ? 0 ,概括的说就是“左同右异”

b 在 y 轴左边则 ab ? 0 ,在 y 轴的右侧 2a

3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.

总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
总之,只要 a , , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. b c

二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情
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况: 1. 2. 3. 4.

已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y ? a 2 ? b x 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax 2 ? bx ? c ; x ? c
y ? a ? x ? h ? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2

2. 关于 y 轴对称
y ? a 2 ? b x 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax 2 ? bx ? c ; x ? c
y ? a ? x ? h ? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h ? ? k ;
2 2

3. 关于原点对称
y ? a 2 ? b x 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax 2 ? bx ? c ; x ? c
y ? a? x? ?h ? 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ; k
2 2

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y ? a 2 ? b x 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ? x ? c
2 2

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h ? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k .

n 5. 关于点 ? m , ? 对称
y ? a ? x ? h ? ? k 关于点 ? m , ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m ? ? 2n ? k n
2 2

根据对称的性质, 显然无论作何种对称变换, 抛物线的形状一定不会发生变化, 因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况):

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊 情况.
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图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 A? x1 , ? , ? x2 , ? ( x1 ? x2 ) ,其中的 0 B 0
x1 ,x2 是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的两根.这两点间的距离
AB ? x2 ? x1 ? b 2 ? 4ac . a

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 .

2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ;
3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 中 a ,b ,c 的符号,或由二次函数中 a ,

b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或 已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

??0

抛物线与 x 轴有 两个交点 抛物线与 x 轴只 有一个交点 抛物线与 x 轴无 交点

二次三项式的值可正、 可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正

一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根.

??0

??0

二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
从函数观点来看, 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的解集就是二次函数
2

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图像上,位于 x 轴上方的点的横坐标的集合;
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一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的解集就是二次函数
2

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图像上,位于 x 轴下方的点的横坐标的集合;
一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的解集就是二次函数
2

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图像上, 位于 x 轴上方的点和与 x 轴的交点的横坐标的集合;
一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的解集就是二次函数
2

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图像上, 位于 x 轴下方的点和与 x 轴的交点的横坐标的集合.
一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的解就是二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ?
2 2

的图像上,与 x 轴的交点的横坐标.

反比例函数
1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 X 轴 Y 轴但不会与 坐标轴相交(K≠0) 。

2、性质:
1.当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而 减小; k<0 时, 当 图象分别位于二、 四象限, 同一个象限内,y 随 x 的增大而增大。
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2.k>0 时,函数在 x<0 上同为减函数、在 x>0 上同为减函数;k<0 时,函数 在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。 定义域为 x≠0;值域为 y≠0。 3.因为在 y=k/x(k≠0)中,x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图象 不可能与 x 轴相交,也不可能与 y 轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,过点 P,Q 分别作 x 轴,y 轴的 平行线,与坐标轴围成的矩形面积为 S1,S2 则 S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称 轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线) ,对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点(m、n 同号) , 那么 A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n,要使它们有公共交 点,则 n^2+4k·m≥(不小于)0。 8.反比例函数 y=k/x 的渐近线:x 轴与 y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线,交于 q、w,则矩形 mwqo(o 为原 点)的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点

指数函数
概念:一般地,函数 y=a^x(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数 的定义域是 R。 注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为 1,否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质:

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规律:1. 当两个指数函数中的 a 互为倒数时,两个函数关于 y 轴对称,但这

两个函数都不具有奇偶性。

2.当 a>1 时,底数越大,图像上升的越快,在 y 轴的右侧,图像越靠近 y 轴; 当 0<a<1 时,底数越小,图像下降的越快,在 y 轴的左侧,图像越靠近 y 轴。 在 y 轴右边“ 底大图高 ”;在 y 轴左边“ 底大图低 ”。

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3.四字口诀: 大增小减” “ 。即:当 a>1 时,图像在 R 上是增函数;当 0<a<1 时, 图像在 R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 。

比较幂式大小的方法:
1. 2. 3. 4. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较; 当底数中含有字母时要注意分类讨论; 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较; 对多个数进行比较,可用 0 或 1 作为中间量进行比较

底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。

对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数 y=ax 在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数, 我们把指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为 y=logax(a>0,a≠1). 因为指数函数 y=ax 的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数 y=logax 的 定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
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2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画 出对数函数的图像,并推知它的性质. 33.指数式与对数式的互化式

log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a n n 推论 log am b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;

M ? log a M ? log a N ; N n (3) log a M ? n log a M (n ? R) .
(2) log a
2 36.设函数 f ( x) ? log m (ax ? bx ? c)( a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y ? log ax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. a a
若 a ? 0 , b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) log m? p (n ? p) ? log m n . (2) log a m log a n ? log a
2

m?n . 2

38.对数恒等式 a

log a N

? N (a>0,a≠1,N>0)

log a b ? log b c ? log c a ? 1 ? log a1 a 2 ? log a 2 a3...... log an?1 a n ? log a1 a n
(a,b,c,a1,a2,an 均大于 0,且不等于 1。) 为了研究对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
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y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log 1 x,y=log
2

1 10

x 的草图

由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数 y=logax(a>0,a ≠1)的图像的特征和性质.见下表. a>1 图 a<1



(1)x>0 性 质 (2)当 x=1 时,y=0 (3)当 x>1 时,y>0 0<x<1 时,y<0 (4)在(0,+∞)上是增函数 补 充 性 质 (3)当 x>1 时,y<0 0<x<1 时,y>0 (4)在(0,+∞)上是减函数

设 y1=logax y2=logbx 其中 a>1,b>1(或 0<a<1 0<b<1) 当 x>1 时“底大图低”即若 a>b 则 y1>y2 当 0<x<1 时“底大图高”即若 a>b,则 y1>y2

比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较.

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3.指数函数与对数函数对比
名称 一般形式 定义域 值域 函 数 值 变 化 情 况 指数函数 y=a (a>0,a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) 当 a>1 时,
x

对数函数 y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 当 a>1 时

?? 1( x ? 0) ? a x ?? 1( x ? 0) ?? 1( x ? 0) ?
当 0<a<1 时,

?? 0( x ? 1) ? log a x ?? 0( x ? 1) ?? 0( x ? 1) ?
当 0<a<1 时,

?? 1( x ? 0) ? a ?? 1( x ? 0) ?? 1( x ? 0) ?
x

?? 0( x ? 1) ? log a x ?? 0( x ? 1) ?? 0( x ? 1) ?
当 a>1 时,logax 是增函数; 当 0<a<1 时,logax 是减函数.

单调性 图像

当 a>1 时,ax 是增函数; 当 0<a<1 时,ax 是减函数.

y=ax 的图像与 y=logax 的图像关于直线 y=x 对称.

幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数 y ? x 随着 n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分
n

类记忆的方法.熟练掌握 y ? x ,当 n ? ?2 , ? 1, ?
n

1 1 , , 3 的图像和性质,列表如下. 2 3

从中可以归纳出以下结论:

① 它们都过点 ?1 , 1? ,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函 数图像都不过第四象限.
1 1 , , 1 , 2 , 3 时,幂函数图像过原点且在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数. 3 2 1 ③ a ? ? , ? 1, ? 2 时,幂函数图像不过原点且在 ? 0 , ? ? ? 上是减函数. 2
② a? ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.

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y ? xn

奇函数 y

偶函数 y

非奇非偶函数 y

n ?1
O x O x O x

y

y

y

0 ? n ?1
O x O x O x

y

y

y

n?0
O x O x O x

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限的增减 性 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增
?

y?x

1 2

y ? x ?1

? x | x ? 0?
非奇非偶
在第Ⅰ象限 单调递增

? x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减

幂函数 y ? x ( x? R,? 是常数)的图像在第

一象限的分布规律是:
①所有幂函数 y ? x ( x? R, ? 是常数)的图 像都过点 (1,1) ;
?

? ? 1,2,3,
②当

1 ? 2 时函数 y ? x 的图像都过原

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点 (0,0) ; ③当 ? ? 1时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c 2 ) ; ④当 ? ? 2,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 )
? ?

??
⑤当

1 ? 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c 3 )
?

⑥当 ? ? ?1 时, y ? x 的的图像不过原点 (0,0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c 4 )

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x

?

有下列性质:

(1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x
(1)图象都通过点 (1,1) ;

?

有下列性质:

(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,

?

越大,图象下落的速度越快。
?

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经 过第四象限。

对号函数
函数

y ? ax ?

b (a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√” x
b b b ? 2 (当且仅当 ax ? x a x

而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当 x>0 时,ax ?

即x ?

b b 时取等号) ,由此可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R+)的性质: a x
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当x ?

b b b 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R+)有最小值 2 ,特别地, a=b=1 当 a a x

时函数有最小值 2。 函数 y ? ax ? (a>0,b>0) 在区间 (0, +∞)上是增函数。

b x

b b ) 上是减函数, 在区间 ( , a a

因为函数 y ? ax ? 的性质: 当x ? ?

b b (a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-) x x

b b b 时, 函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-) 有最大值- 2 , 特别地, a=b=1 当 a a x

时函数有最大值-2。函数 y ? ax ?

b b (a>0,b>0)在区间(-∞,)上是增函数,在区 a x

间(-

b ,0)上是减函数。 a

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