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第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示(教师版)


第2讲

平面向量基本定理及其坐标表示

【高考会这样考】 1.考查平面向量基本定理的应用. 2.考查坐标表示下向量共线条件. 【复习指导】 本讲复习时,应理解基本定理,重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算.

基础梳理 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于

这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量 e1,e2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x1 +y2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 共线. 一个区别 向量坐标与点的坐标的区别: → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标 → 与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变,即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐 标都发生了变化. 两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既 有方向也有大小的信息. x1 y1 (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所 x2 y2 以应表示为 x1y2-x2y1=0. 双基自测 1.已知 a1+a2+…+an=0,且 an=(3,4),则 a1+a2+…+an-1 的坐标为( ). A.(4,3) B.(-4,-3) C.(-3,-4) 解析 a1+a2+…+an-1=-an=(-3,-4). 答案 C 2.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c=( ). A.3a+b B.3a-b C.-a+3b ? ? ?x-y=4, ?x=3, 解析 设 c=xa+yb,则? ∴? ∴c=3a-b. ?x+y=2, ?y=-1. ? ? 答案 B 3.设向量 a=(m,1),b=(1,m),如果 a 与 b 共线且方向相反,则 m 的值为( ). A.-1 B.1 C.-2 解析 设 a=λb(λ<0),即 m=λ 且 1=λm.解得 m=± 1,由于 λ<0,∴m=-1. 答案 A
1

D.(-3,4)

D.a+3b

D.2

4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a、3b-2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向 量 c=( ). A.(4,6) B.(-4,-6) C.(4,-6) D.(-4,6) ? ? 4 - 6 - 2 + x = 0 , x = 4 , ? ? 解析 设 c=(x,y),则 4a+(3b-2a)+c=0,∴? ∴? ?-12+12+6+y=0, ?y=-6. ? ? 答案 C 5.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析 a+b=(1,m-1).∵(a+b)∥c,∴2-(-1)(m-1)=0,∴m=-1. 答案 -1

考向一

平面向量基本定理的应用

→ → → 【例 1】?如图所示,在△ABC 中,H 为 BC 上异于 B、C 的任一点,M 为 AH 的中点,若AM=λAB+μAC, 则 λ+μ=________.

→ → → [审题视点] 由 B,H,C 三点共线可用向量AB,AC来表示AH. → → → → 1→ 1 → 1 解析 由 B,H,C 三点共线,可令AH=xAB+(1-x)AC,又 M 是 AH 的中点,所以AM= AH= xAB+ (1 2 2 2 1 1 1 → → → → -x)AC,又AM=λAB+μAC.所以 λ+μ= x+ (1-x)= . 2 2 2 1 答案 2 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减 或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的. → → → 【训练 1】如图, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, 若AD=xAB+yAC, 则 x=________, y=________.

解析 以 AB 所在直线为 x 轴,以 A 为原点建立平面直角坐标系如图,

→ → → 令 AB=2,则AB=(2,0),AC=(0,2),过 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于 F,由已知得 DF=BF= 3,则AD

=(2+ 3,

?2+ 3=2x, → → → 3).∵AD=xAB+yAC,∴(2+ 3, 3)=(2x,2y).即有? 解得 ? 3=2y,

?x=1+ 23, ? 3 ?y= 2 .

3→ 3 3 3 → → → → 另解:AD=AF+FD=?1+ ?AB+ AC,所以 x=1+ ,y= . 2 2 2 2? ? 3 3 答案 1+ 2 2 考向二 平面向量的坐标运算 → → → → → 【例 2】?已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求 M、N 的坐标和MN.
2

→ → [审题视点] 求CA,CB的坐标,根据已知条件列方程组求 M,N. → → 解 ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),∴CA=(1,8),CB=(6,3). → → → → ∴CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6). ?x+3=3, ?x=0, ? ? → 设 M(x,y),则CM=(x+3,y+4).∴? 得? ∴M(0,20). ? ? ?y+4=24, ?y=20. → 同理可得 N(9,2),∴MN=(9-0,2-20)=(9,-18). 利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程 (组)进行 求解;在将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向,不要写错坐标. → → → 【训练 2】 在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=( ). A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) → → → → → → → → → → 解析 由题意得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5). 答案 B 考向三 平面向量共线的坐标运算 【例 3】?已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向相反? [审题视点] 根据共线条件求 k,然后判断方向. 解 若存在实数 k,则 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 10 4? 1 若这两个向量共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0. 解得 k=- .这时 ka+b=? ?- 3 ,3?, 3 1 所以 ka+b=- (a-3b).即两个向量恰好方向相反,故题设的实数 k 存在. 3 向量共线问题中,一般是根据其中的一些关系求解参数值,如果向量是用坐标表示的,就可以使 用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程,根据方程求解其中的参数值. 【训练 3】 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( ). A. ?

?7 7? , ? ?9 3?

B. ? ?

? 7 7? ,? ? ? 3 9?

C. ?

?7 7? , ? ?3 9?

D. ? ?

? 7 7? ,? ? ? 9 3?

解析 设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1). 7 7 ∵(c+a)∥b,∴-3×(1+m)=2×(2+n),又 c⊥(a+b),∴3m-n=0,解得 m=- ,n=- . 9 3 答案 D

阅卷报告——平面几何知识应用不熟练致误 【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题,是高考命题向量试题的常见形式,求解这类问题的常规 思路是:首先选择一组基向量,把所有需要的向量都用基向量表示,然后再进行求解. 【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则;二是弄清平面图形中的特殊点、线段等. → → → → → → 【示例】?在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD· BE=________. 错因 搞错向量的夹角或计算错 1 实录 - (填错的结论多种). 2

→ → → 1 → → → → → 正解 由题意画出图形如图所示,取一组基底{AB,AC},结合图形可得AD= (AB+AC),BE=AE-AB= 2 2→ → 1 → → 1 → → ?2 → → ? 1 → 2 1 → 2 1 → → 1 1 1 AC-AB,∴AD· BE= (AB+AC)· AC= - - cos 60° =- . ?3AC-AB?=3AC -2AB -6AB· 3 2 3 2 6 4
3

1 答案 - 4 【试一试】 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 → → |PA+3PB|的最小值为________. [尝试解析]

以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DC=a,DP=x. → ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),PA=(2,-x), → → → → → → → PB=(1,a-x),∴PA+3PB=(5,3a-4x),|PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|PA+3PB|的最小值为 5. 答案 5

4


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