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2009高考二轮复习考点透析5--复数与平面向量


2009 高考二轮复习考点透析 5--复数与平面向量
考点:1.复数的基本概念及其运算; 2.平面向量的几何运算; 3.平面向量的代数运算; 4.向量垂直与共线的等价条件; 5.运用向量求角及模长. 一.复数的考查:1.复数的基本概念、复数的四则运算;考点 2.复数的相等条件。 1.设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是________

__ 2.已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z=___________
? ?

3.若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = . 4.若复数 (1 ? b i )( 2 ? i ) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数),则 b ? ________________ 5(北京卷)若 z1 ? a ? 2 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,且 6.
1? i 1? i
z1 z2

为纯虚数,则实数 a 的值为



表示为 a ? bi ? a , b ? R ? ,则 a ? b ? =


( )

7.满足条件 | z ? i | ? |3 ? 4 i | 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆

8. 设 z 2 ? z1 ? i z1 (其中 z 1 表示 z1 的共轭复数),已知 z2 的实部是 ? 1 ,则 z2 的虚部



.
2

9. (广东卷)若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 3 ? ____________________ 10.设 a ? R ,且 ( a ? i ) i 为正实数,则 a ?
z
2

11.已知复数 z ? 1 ? i ,则

z ?1

?

12.(广东 1)已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是
例 1.设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,试求实数 m 取何值时,(1)z 是纯虚数;(2)z 是 实数;(3)z 对应的点位于复平面的第二象限 例 2..已知 z 是复数,z+2i、
z 2?i

均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一

象限,求实数 a 的取值范围. 例 3.已知
m 1? i ? 1 ? ni ,其中 m , n 是实数, i 是虚数单位,则 m ? ni ?

(A)1+2i 例 4.设 x , y 为实数,且 二.平面向量的考查:
2 3 1 3

(B) 1-2i
x 1? i ? y 1 ? 2i ? 5 1 ? 3i

(C)2+i ,则 x ? y ?
????

(D)2- i 。
???? ????
2 3
????

13.(全国一 3)在 △ A B C 中, A B ? c , A C ? b .若点 D 满足 B D ? 2 D C ,则 A D ? ( A. b ?
c

??? ?



B. c ?
3

5

2 3

b

C. b ? c
3 3

2

1

D. b ?
3

1

c

14. ( 湖 南 卷 7 ) 设 D 、 E 、 F 分 别 是 △ ABC 的 三 边 BC 、 CA 、 AB 上 的 点 , 且 ???? ??? ??? ? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ???? ? ??? ? D C ? 2 B D , C E ? 2 E A, A F ? 2 F B , 则 A D ? B E ? C F 与 B C ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 15. (广东卷 8) 在平行四边形 A B C D 中,A C 与 B D 交于点 O, E 是线段 O D 的中点,A E ???? ???? ???? 的延长线与 C D 交于点 F .若 A C ? a , B D ? b ,则 A F ? ( ) A. a ?
4 1 1 2 b

B. a ? b
3

2

1

C. a ?
2

1

1 4

b

D. a ?
3

1

2 3

b

16.(海南卷 8)平面向量 a , b 共线的充要条件是(

?

3

?



A. a , b 方向相同 ? ? C. ? ? ? R , b ? ? a

?

?

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 ? ? ? D. 存在不全为零的实数 ? 1 , ? 2 , ?1 a ? ? 2 b ? 0
??? ? ??? ?

?

?

17. (四川卷) A ( a ,1) ,B ( 2, b ) ,C ( 4, 5) 为坐标平面上三点,O 为坐标原点, O A 与 O B 在 O C 设 若 方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为_________________ (A) 4 a ? 5 b ? 3 (B) 5 a ? 4 b ? 3 (C) 4 a ? 5 b ? 14 (D) 5 a ? 4 b ? 14

????

18.已知向量 a ? (1, n ), b ? ( ? 1, n ) ,若 2 a ? b 与 b 垂直,则 a ? __________________ 19. 已知︱ OA ︱=1, OB ︱= 3 , OA ? OB =0,点 C 在∠AOB 内, ︱ 且∠AOC=30° , 设 OC =m OA +n OB (m、n∈R),则
m n

=_________________________
2 3

A

20.已知 a >0,若平面内三点 A(1,- a ) ,B(2, a ) ,C(3, a )共线, B

则 a =________。

D

C

C 21.( 全 国 II) 在 △ A B C 中 , 已 知 D 是 A B 边 上 一 点 , 若 A D ? 2 D B, D ?

????

???? ????

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 3

? ? _____ 4 1 22.(北京卷)已知向量 a = ? 2, ?, b = ?1,? .若向量 b ? ( a + ? b ) ,则实数 ? 的值是

???? ??? ? 23.(天津卷)在 △ A B C 中, A B ? 2 , A C ? 3 , D 是边 B C 的中点,则 A D ?B C ? . ? ? ? ? ? ? ? ? b 24.(上海卷) 若向量 a, 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ?? a ? b ? ? . ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? 25. (重庆卷)已知向量 O A ? ( 4, 6 ), O B ? (3, 5), 且 O C ? O A , A C // O B , 则向量 O C =________



26. (辽宁卷)若向量 a 与 b 不共线, a ?b ? 0 ,且 c = a ? ?

? a ?a ? ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为_______ ? a ?b ?

27. 如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°,
??? ? ??? ? ???? OA 与 OC 的夹角为 30°,且 O A = O B =1, O C = 2 3 .
? ? 13) 已知向量 a ? (0, ? 1,1) ,b ? ( 4,1, 0 )

若 OC = ? OA ? ? OB ( ? , ? ? R), 则 ? ? ? 的值为

28. (海南卷

? ? ,| ? a ? b |?

.

29

且 ? ? 0 , ? = _____ 则

【点评】两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题, 使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁冗的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简 单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。 例 5. 已知点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐标。

【点评】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质。 例 6.已知向量 a ? ( m ? 2, m ? 3) , b ? (2 m ? 1, m ? 2 ) ,若向量 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 m 的 取值范围为 .

例 7.(2008 四川卷 21)设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,离心率 e ?

2 2



右准线为 l , M , N 是 l 上的两个动点, F1 M ? F2 N ? 0 (Ⅰ)若 F1 M ? F 2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 M N 取最小值时, F1 M ? F 2 N 与 F1 F 2 共线。
????? ???? ? ?????

????? ???? ?

?????

???? ?

例 8.在 ? ABC 中,已知 AB ? ? 2 ,3 ?, AC ? ?1, k ? ,且 ? ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值.

例 9. 已知 a=( x2,x) ,b=(x,x-3) ,x∈[-4,4].
3

1

(1)求 f(x)=a·b 的表达式; (2)求 f(x)的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角.

例 10.已知点 G 是△ABC 的重心,A(0, -1),B(0, 1),在 x 轴上有一点 M,满足| M A |=| M C |,
???? ? ??? ? G M ? ? A B ( ? ∈R).⑴求点 C 的轨迹方程;

???? ?

???? ?

⑵若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P,Q,且满足| A P |=| A Q |,试求 k 的取值范围. [分析] 本题依托向量给出等量关系,既考查向量的模、共线等基础知识,又考查动点的轨迹, 直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系, 陈题新组, 考查基础知识和基本方法.按照求 轨迹方程的方法步骤,把向量问题坐标化,几何问题代数化.

??? ?

????

例 11.已知点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 ? 0 ) 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上的两个动点, O 是坐标原点,
2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 向量 O A , O B 满足 O A ? O B ? O A ? O B .设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0

(I) 证明线段 A B 是圆 C 的直径;

(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时, P 的值。 求

【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以 及综合运用解析几何知识解决问题的能力. 0) 0 是 例 12. ( 2008 全 国 二 21 ) 设 椭 圆 中 心 在 坐 标 原 点 , A ( 2, , B ( ,1 ) 它 的 两 个 顶 点 , 直 线
y ? kx ( k ? 0 ) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. ???? ???? (Ⅰ)若 E D ? 6 D F ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 A E B F 面积的最大值.

考点透析 5 复数与平面向量
考点:1.复数的基本概念及其运算; 2.平面向量的几何运算; 3.平面向量的代数运算; 4.向量垂直与共线的等价条件; 5.运用向量求角及模长. 一.复数的考查:1.复数的基本概念、复数的四则运算;考点 2.复数的相等条件。 1.设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是__________ 解析: a , b , c ? R , 复数 ( a ? bi )( c ? di ) = ( ac ? bd ) ? ( ad ? bc ) i 为实数,∴ ad ? bc ? 0 ,选 D. 2.已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z=___________ 解: z=
? ?

3i 3+ 3 i



3 i 3- 3 i) ( = 12

3 i+ 3 4

3.若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = 解:已知 ? Z ? iZ ? 2 i ? Z ? 2 i ? i ? 1 ;
1? i



4.若复数 (1 ? b i )( 2 ? i ) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数),则 b ? ________________2。 5(北京卷)若 z1 ? a ? 2 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,且 6.
1? i 1? i
z1 z2

为纯虚数,则实数 a 的值为

8 3



表示为 a ? bi ? a , b ? R ? ,则 a ? b ? =

.1
( )

7.满足条件 | z ? i | ? |3 ? 4 i | 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆

8. 设 z 2 ? z1 ? i z1 (其中 z 1 表示 z1 的共轭复数),已知 z2 的实部是 ? 1 ,则 z2 的虚部


2

.1
3

9. (广东卷)若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 3 ? ____________________ 解析:由 z ? 2 ? 0 ? z ? ? 2 i ? z ? ? 2 2 i , 10.设 a ? R ,且 ( a ? i ) i 为正实数,则 a ?
2

-1 2
(1, 5 )

11.已知复数 z ? 1 ? i ,则

z

2

z ?1

?

12. 广东 1) ( 已知 0 ? a ? 2 , 复数 z 的实部为 a , 虚部为 1, z 的取值范围是 则

例 1.设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,试求实数 m 取何值时,(1)z 是纯虚数;(2)z 是 实数;(3)z 对应的点位于复平面的第二象限 【解析】(1)由 lg(m2-2m-2)=0,m2+3m+2≠0,得 m=3 (2)由 m2+3m+2=0,得 m=-1 或 m=-2 (3)由 lg(m2-2m-2)<0,m2+3m+2>0, 得-1<m<1- 3 或 1+ 3 <m<3 【点评】对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样

例 2..已知 z 是复数,z+2i、

z 2?i

均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一

象限,求实数 a 的取值范围. 【解析】设 z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2
z 2?i

=

x ? 2i 2-i

=

1 5

(x-2i)(2+i)=

1 5

(2x+2)+

1 5

(x-4)I 由题意得 x=4,∴z=4-2i
?12 ? 4 a ? a 2 ? 0 , ?8 ( a ? 2 ) ? 0 ,

∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件,已知 ?

解得 2<a<6, ∴实数 a 的取值范围是(2,6) 【点评】复数按其对应的点在坐标系内的位置,划分为四个象限,通过对坐标系内点的应满足的条件 转化为代数方程组来解决或不等式组来解决.是复数问题实数化的一个基本解题思想. 例 3.已知
m 1? i ? 1 ? ni ,其中 m , n 是实数, i 是虚数单位,则 m ? ni ?

(A)1+2i 【解析】 ∴?
?n ? 1 ?m ? 2

(B) 1-2i
m

(C)2+i

(D)2- i

?1 ? n ? 0 ? 1 ? ni ? m ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?i ,由 m 、 n 是实数,得 ? 1? i ?1 ? n ? m ? m ? ni ? 2 ? i ,故选择 C。

【点评】 复数相等的条件是实部相等且虚部相等,利用复数相等的条件,可以将复数问题,转化实数问 题来解决,是复数问题实数化的有效途径. ,则 x ? y ? 。 1 ? i 1 ? 2 i 1 ? 3i 5 5(1 ? 3 i ) 1 3 x y x (1 ? i ) y (1 ? 2 i ) x y x 2y ? ? ? i ? ? ? ? ( ? )?( ? )i 而 【解析】 1 ? 3i 10 2 2 1? i 1? 2y 2 5 2 5 2 5 例 4.设 x , y 为实数,且
? ? x y 5

所以

x 2

?

y 5

?

1 2



x 2

?

2y 5

?

3 2

,解得 x=-1,y=5,所以 x+y=4。

【考点分析】本题考查复数的运算及性质,基础题。 二.平面向量的考查:

13. (全国一 3) △ A B C 中,A B ? c ,A C ? b . 在 若点 D 满足 B D ? 2 D C , A D ?( 则 A. b ?
3 2 1 3 c

??? ?

????

????

????

????

A



B. c ?
3

5

2 3

b

C. b ? c
3 3

2

1

D. b ?
3

1

2 3

c

14. ( 湖 南 卷 7 ) 设 D 、 E 、 F 分 别 是 △ ABC 的 三 边 BC 、 CA 、 AB 上 的 点 , 且
???? ??? ??? ? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ???? ? ??? ? D C ? 2 B D , C E ? 2 E A, A F ? 2 F B , 则 A D ? B E ? C F 与 B C

(

A

)

A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

15. (广东卷 8) 在平行四边形 A B C D 中,A C 与 B D 交于点 O, E 是线段 O D 的中点,A E 的延长线与 C D 交于点 F .若 A C ? a , B D ? b ,则 A F ? ( A. a ?
4 1 1 2 b

????

????

????
1 4

B ) D. a ?
3 1 2 3 b

B. a ? b
3 3

2

1

C. a ?
2

1

b

16.(海南卷 8)平面向量 a , b 共线的充要条件是( D

?

?



A. a , b 方向相同 C. ? ? ? R , b ? ? a
? ?

?

?

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D. 存在不全为零的实数 ? 1 , ? 2 , ?1 a ? ? 2 b ? 0
??? ? ??? ?

?

?

?

?

?

17. (四川卷) A ( a ,1) ,B ( 2, b ) ,C ( 4, 5) 为坐标平面上三点,O 为坐标原点, O A 与 O B 在 O C 设 若
??? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? 解:由 O A 与 O B 在 O C 方向上的投影相同,可得: O A ? O C ? O B ? O C , ? ( a ,1) ? (4, 5) ? (2, b ) ? (4, 5), 即 4 a ? 5 ? 8 ? 5 b , 4 a ? 5 b ? 3 .选 A.

????

方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为_________________ (A) 4 a ? 5 b ? 3 (B) 5 a ? 4 b ? 3 (C) 4 a ? 5 b ? 14

(D) 5 a ? 4 b ? 14

18.已知向量 a ? (1, n ), b ? ( ? 1, n ) ,若 2 a ? b 与 b 垂直,则 a ? __________________ 【答案】: 2 a ? b = (3, n ) ,由 2 a ? b 与 b 垂直可得:
(3, n ) ? ( ? 1, n ) ? ? 3 ? n ? 0 ? n ? ? 3 ,
2

a ? 2。

19 . 已 知 ︱ OA ︱ =1 , ︱ OB ︱ =
OC =m OA +n OB (m、n∈R),则
m n

3 , OA ? OB =0, 点 C 在 ∠ AOB 内 , 且 ∠ AOC=30° 设 ,

=_________________________ 设 A 点坐标为(1,0),B
??? ?

解: O A ? 1, O B ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? o 3 , O A .O B ? 0, 点 C 在 AB 上,且 ? A O C ? 3 0 。

点的坐标为(0, 3 ),C 点的坐标为(x,y)=( n=
1 4

3 4



3 4

),O C ? m O A ? n O B ( m , n ? R ) ,则∴ m=

????

??? ?

3 4





m n

=3,选 B.
2 3

20.已知 a >0,若平面内三点 A(1,- a ) ,B(2, a ) ,C(3, a )共线,则 a =________。
1? 2
???? ???? ???? ? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 3

C 21.( 全 国 II) 在 △ A B C 中 , 已 知 D 是 A B 边 上 一 点 , 若 A D ? 2 D B, D ?

? ? _____

解:在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A D =2 D B , CD = CA ? ? CB ,则
3 ???? ??? ???? ??? 2 ??? ? ? ? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? 2 C D ? C A ? A D ? C A ? A B ? C A ? ( C B ? C A ) ? C A ? C B ,???= , 3 3 3 3 3 4 1 22.(北京卷)已知向量 a = ? 2, ?, b = ?1,? .若向量 b ? ( a + ? b ) ,则实数 ? 的值是

????

????

1



4 b 1 解:已知向量 a = ? 2, ?, = ?1,? .向量 a ? ? b ? (2 ? ? , 4 ? ? ) , b ? ( a + ? b ) ,

?

?

?

?

?

?

?

则 2+λ+4+λ=0,实数 ? =-3.
???? 1 ???? ??? ???? ???? ??? ? ? 解: A D ? ( A C ? A B ), B C ? A C ? A B , 所以 2 ???? ???? 1 ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ???? 2 5 2 A D ?B C ? ( A C ? A B ) ? ( A C ? A B ) ? (| A C | ? | A B | ) ? . 2 2 2

23.(天津卷)在 △ A B C 中, A B ? 2 , A C ? 3 , D 是边 B C 的中点,则 A D ?B C ?
A

???? ??? ?



B

D

C

24.(上海卷) 若向量 a, 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ?? b
?

? ?

?

?

?

? ? a?b

??



解: a ??

?

? ? a?b

??a

?2

? ? ? ? a ?b ? a

2

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? 25. (重庆卷)已知向量 O A ? ( 4, 6 ), O B ? (3, 5), 且 O C ? O A , A C // O B , 则向量 O C =________ ???? ??? ? ???? ??? ? 解 : 设 C ( x , y ) ? O C ? O A , ? 4 x ? 6 y ? 0, A C // O B ? 5( x ? 4 ) ? 3( y ? 6 ) ? 0, 联立解得
C( 3 7 ,? 2 7
? a ?a ? ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为_______ ? a ?b ?

? ? 1 1 ? a ? b co s 6 0 ? ? 1 ? ? 2 2



).

26. (辽宁卷)若向量 a 与 b 不共线, a ?b ? 0 ,且 c = a ? ?
? 2 ? ? ? 2

解:因为 a ? c ? a ? ( ?

a
?

) a ? b ? 0 ,所以向量 a 与 c 垂直,选 D.

?

?

a? b

27. 如图, 平面内有三个向量 OA 、OB 、OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120°,OA 与 OC 的 夹 角 为 30 ° , 且 O A
??? ?

= OB

??? ?

= 1 , OC .6

????

= 2 3 . 若 OC



? OA ? ? OB ( ? , ? ? R), 则 ? ? ? 的值为
? ?

| 28. (海南卷 13) 已知向量 a ? (0, ? 1,1) ,b ? ( 4,1, 0 ) , ? a ? b |?
??? ? ??? ?

?

?

29

且 ? ? 0 , ? = _____3 则

例 5. 已知点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐标。 【解析】:设 P ( x , y ) ,则 O P ? ( x , y ), A P ? ( x ? 4, y ) 因为 P 是 A C 与 O B 的交点,所以 P 在直线 A C 上,也在直线 O B 上。
??? ? ??? ??? ? ? ???? ????

即得 O P // O B , A P // A C ,由点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) 得, A C ? ( ? 2, 6), O B ? (4, 4) 。 得方程组 ?
?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?4 x ? 4 y ? 0

??? ?

,解之得 ?

?x ? 3 ?y ? 3

。故直线 A C 与 O B 的交点 P 的坐标为 (3, 3) 。

【点评】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质。 2.向量的数量积与求角模运算 例 6.已知向量 a ? ( m ? 2, m ? 3) , b ? (2 m ? 1, m ? 2 ) ,若向量 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 m 的 取值范围为 . 【错解】∵若向量 a 与 b 的夹角为钝角,则 a ? b ? 0 即 ( m ? 2)(2 m ? 1) ? ( m ? 3)( m ? 2) ? 0 ,∴ m ? ( ?
4 3 , 2) ? m ? 5 5 ? 11 2

【错因分析】对两个向量所成夹角的理解不深刻,向量与向量所成的夹角分五类,其中同向与反向 在考虑锐角或钝角时容易忽视。 【正解】若向量 a 与 b 的夹角为钝角,则 a ? b ? 0 ,且 a 与 b 不共线, ( 2 ) 0 则 ( m ? 2)(2 m ? 1) ? ( m ? 3)( m ? 2) ? 0 , 且 ( m ? 2 ) (m ? 2 )? m ? 3 ) (m ? 1? , 解 得
? 4 3 ? m ? 5 5 ? 11 2



5 5 ? 11 2

? m ? 2.

3.向量的垂直与共线条件: 例 7. (2008 四川卷 21) 设椭圆 .
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F 2 , 离心率 e ?

2 2



右准线为 l , M , N 是 l 上的两个动点, F1 M ? F2 N ? 0

????? ???? ?

(Ⅰ)若 F1 M ? F 2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 M N 取最小值时, F1 M ? F 2 N 与 F1 F 2 共线。 【解】 :由 a 2 ? b 2 ? c 2 与 e ?
? ? 2 F1 ? ? a, ? , F 2 0 ? ? 2 ? ?
a c ? 2 2

?????

???? ?

?????

???? ?

?????

,得 a 2 ? 2 b 2

? 2 ? a, ? , l 的方程为 x ? 0 ? ? 2 ? ? ?

2a

设M

?

2 a, y1 , N
?3 2 ? 2

?

?

2 a, y 2

?
? ? ? ?

则 F1 M ? ? ?

?????

? ? 2 ? ???? a, y 1 ? , 2 N ? ? F a, y 2 ? ? 2 ? ?

由 F1 M ? F2 N ? 0 得
y1 y 2 ? ? 3 a <0
2

????? ???? ?



2 ????? ???? ? (Ⅰ)由 F1 M ? F 2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 a ? ? y1 ? 2 5 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 a ? ? y2 ? 2 5 ? ? 2 ? ? ?
2

2





2 由①、②、③三式,消去 y 1 , y 2 ,并求得 a ? 4

故 a ? 2, b ?

2 2

?

2

(Ⅱ) M N

2

?

? y1 ?

y 2 ? ? y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? ? 2 y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? ? 4 y1 y 2 ? 6 a
2 2 2

2

当且仅当 y 1 ? ? y 2 ?
????? ???? ?

6 2

a 或 y 2 ? ? y1 ?

6 2

a 时, M N 取最小值

6 2

a

此时, F1 M ? F 2 N ? ? ?
?

?3 2 2

? a, y 1 ? ? ? ?

? 2 a, y 2 ? ? 2 ?

????? ? ? ? 2 2 a , y 1 ? y 2 ? 2 2 a , 0 ? 2 F1 F 2 ? ?

?

? ?

?

故 F1 M ? F 2 N 与 F1 F 2 共线。 【点评】 :此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量的综合应用; 【突破】 :熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求消元的思

?????

???? ?

?????

想在圆锥曲线问题中的灵活应用。

点评: 运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、 共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜 率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多. 例 8.在 ? ABC 中,已知 AB ? ? 2 ,3 ?, AC ? ?1, k ? ,且 ? ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若 ? BAC ? 90 ? , 即 AB ? AC , (2) 若
? BCA ? 90 ? ,

故 AB ? AC ? 0 ,从而 2 ? 3 k ? 0 , 解得 k ? ? , 也 就 是
BC ? AC ? 0
3? 2 13

2 3

; 而



BC ? AC

,

BC ? AC ? AB ? ? ? 1, k ? 3 ?, 故 ? 1 ? k ? k ? 3 ? ? 0 ,解得 k ?

;

(3)若 ? ABC ? 90 ? , 即 BC ? AB ,也就是 BC ? AB ? 0 , 而 BC ? ? ? 1, k ? 3 ? ,
? 2 ? 3 ? k ? 3 ? ? 0 ,解得 k ?
11 3 . 综合上面讨论可知, k ? ? 2 3

或k ?

3? 2

13

或k ?

11 3

.

【点评】两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题, 使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁冗的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简 单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。 4.综合问题 例 9. 已知 a=( x2,x) ,b=(x,x-3) ,x∈[-4,4].
3 1

(1)求 f(x)=a·b 的表达式; (2)求 f(x)的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角. 解: (1)f(x)=a·b= x2·x+x· (x-3)= x3+x2-3x,x∈[-4,4].
3 3 1 1

(2) f ? (x)=x2+2x-3=(x+3) (x-1). 列表:
x
f ? (x)

-4
20 3

(-4,-3) + ↑

-3 0 极大值 9
5 3

(-3,1) - ↓
1

1 0 极小值-
5 3

(1,4) + ↑

4
76 3

f(x)

故当 x=1 时,f(x)有最小值为- 设θ 为 a 与 b 的夹角,则 cosθ =

.此时 a=( ,1) ,b=(1,-2).
3

a ?b | a || b |

=-

2 2

.又由θ ∈[0,π ] ,得θ =

3π 4

.
???? ?

例 10.已知点 G 是△ABC 的重心,A(0, -1),B(0, 1),在 x 轴上有一点 M,满足| M A |=| M C |,
???? ? ??? ? G M ? ? A B ( ? ∈R).⑴求点 C 的轨迹方程;

???? ?

⑵若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P,Q,且满足| A P |=| A Q |,试求 k 的取值 范围. [分析] 本题依托向量给出等量关系,既考查向量的模、共线等基础知识,又考查动点的轨迹, 直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系, 陈题新组, 考查基础知识和基本方法.按照求 轨迹方程的方法步骤,把向量问题坐标化,几何问题代数化. 解: ⑴设 C(x, y),则 G(
x 3

??? ?

????

,

y 3

).∵ G M ? ? A B ( ? ∈R),∴GM//AB,
x 3

???? ?

??? ?

又 M 是 x 轴上一点,则 M(

???? ?

???? ?

, 0).又| M A |=| M C |,

∴ ( ) ? (0 ? 1) ?
2 2

x

(

x 3

? x ) ? y ,整理得
2 2

x

2

? y ? 1( x ? 0 ) ,即为曲线 C 的方程.
2

3

3

⑵①当 k=0 时,l 和椭圆 C 有不同两交点 P,Q,根据椭圆对称性有| A P |=| A Q |. ②当 k≠0 时,可设 l 的方程为 y=kx+m,
? y ? kx ? m ? 联立方程组 ? x 2 2 ? y ?1 ? 3 ?

??? ?

????

消去 y,整理行(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0(*)

∵直线 l 和椭圆 C 交于不同两点, ∴△=(6km)2-4(1+3k2)×( m2-1)>0,即 1+3k2-m2>0.

(1)
6km 1 ? 3k m
2 2

设 P(x1, y1),Q(x2, y2),则 x1, x2 是方程(*)的两相异实根,∴x1+x2=- 则 PQ 的中点 N(x0, y0)的坐标是 x0= 即 N(-
3k m 1 ? 3k
2

x1 ? x 2 2

=-

3k m 1 ? 3k
2

,y0= k x0+m=

1 ? 3k



,

m 1 ? 3k
2

),

m ?1 2 ???? ??? ? ???? ??? ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 又| A P |=| A Q |,∴ A N ⊥ P Q ,∴k·kAN=k· =-1,∴m= . 3k m 2 ? 2 1 ? 3k

将 m=

1 ? 3k 2

2

代入(1)式,得 1+3k2-(

1 ? 3k 2

2

)2>0(k≠0) ,

即 k2<1,∴k∈(-1, 0)∪(0, 1). 综合①②得,k 的取值范围是(-1, 1).
对题目的要求:有较大的难度,有特别的解题思路、演变角度,要有一定的梯度. 例 11.已知点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 ? 0 ) 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上的两个动点, O 是坐标原点,
2

向量 O A , O B 满足 O A ? O B ? O A ? O B .设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0 (I) 证明线段 A B 是圆 C 的直径;
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 2 【解析】(I)证明 1: ? O A ? O B ? O A ? O B ,? ( O A ? O B ) ? ( O A ? O B ) ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? O A ? 2 O A ? O B ? O B ? O A ? 2 O A ? O B ? O B 整理得: O A ? O B ? 0 ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 M A ? M B ? 0

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时, P 的值。 求

即 ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 故线段 A B 是圆 C 的直径
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
??? ?
2

证明 2: ? O A ? O B ? O A ? O B ,? ( O A ? O B ) ? ( O A ? O B )
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? O A ? 2O A ? O B ? O B ? O A ? 2O A ? O B ? O B ??? ??? ? ? 整理得: O A ? O B ? 0 ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ……..(1)

??? ?

??? ?

2

设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即

y ? y2 x ? x2

?

y ? y1 x ? x1

? ? 1( x ? x1 , x ? x 2 )

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y1 )( x 2 , y 2 ) 满足上方程,展
2 2 开并将(1)代入得: x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0 故线段 A B 是圆 C 的直径

证明 3: ? O A ? O B ? O A ? O B ,? ( O A ? O B ) ? ( O A ? O B )
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? O A ? 2O A ? O B ? O B ? O A ? 2O A ? O B ? O B ??? ??? ? ? O A ? O B ? 0 ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ……(1)


y1 ? y 2 2





:

以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ?

x1 ? x 2 2

) ? (y ?
2

) ?
2

1 4

[( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ]
2 2

展开并将(1)代入得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0 故线段 A B 是圆 C 的直径
x1 ? x 2 ? 2 2 ?x ? y1 y 2 ? 2 2 2 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 ? ? y 1 ? 2 p x1 , y 2 ? 2 p x 2 ( p ? 0 ) ? x 1 x 2 ? 2 4p ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? y 1 ? y 2 ?
? y1 ? y 2 ? ? 4 p , x ?
2

y1 y 2 4p
2

2

2

2

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0
2

x1 ? x 2 2
2

?

1 4p

( y1 ? y 2 ) ?
2 2

1 4p

( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ?

y1 y 2 4p

?

1 p

(y ? 2p )
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? p x ? 2 p 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
2

d ?

| x ? 2y | 5

| ?

1 p

(y ? 2p )? 2y |
2 2

? 5
p 5

| y ? 2 py ? 2 p |
2 2

?

| ( y ? p) ? p |
2 2

5p
p 5 ? 2 5 5

5p
? p ?2.

当 y=p 时,d 有最小值

,由题设得

x1 ? x 2 ? 2 2 ?x ? y y2 ? 2 2 2 解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 ? ? y 1 ? 2 p x1 , y 2 ? 2 p x 2 ( p ? 0 ) ? x 1 x 2 ? 1 2 4p ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? y 1 ? y 2 ?
? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0 ? y1 ? y 2 ? ? 4 p
x ? x1 ? x 2 2 ? 1 4p ( y1 ? y 2 ) ?
2 2
2

y1 y 2 4p
2

2

2

1 4p

( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ?
2 2

y1 y 2 4p

?

1 p

(y ? 2p )
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? p x ? 2 p
2

2

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为
2 2

2 5 5

,则 m ? ? 2
2 2

因为 x-2y+2=0 与 y ? p x ? 2 p 无公共点,所以当 x-2y-2=0 与 y ? p x ? 2 p 仅有一个公共点时,该点 到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

2 5 ? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) 2 2 将(2)代入(3)得 y ? 2 p y ? 2 p ? 2 p ? 0 ? 2 2 5 ? y ? p x ? 2 p ? (3)

? ? ? 4 p ? 4 (2 p ? 2 p ) ? 0 ? p ? 0 ? p ? 2.

x1 ? x 2 ? ?x ? ? 2 解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 ? 圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d, y1 ? y 2 ?y ? ? ? 2

|

x1 ? x 2 2

则d ?

? ( y1 ? y 2 ) | 5

? y 1 ? 2 p x1 , y 2 ? 2 p x 2 ( p ? 0 ) ? x 1 x 2 ?
2 2

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? y 1 ? y 2 ?
? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0 ? y1 ? y 2 ? ? 4 p
2

y1 y 2 4p
2

2

2

| ?d ?

1 4p

( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) |
2 2

? 5

| y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4 p ( y1 ? y 2 ) ? 8 p |
2 2 2

?

( y1 ? y 2 ? 2 p ) ? 4 p
2

2

4 5p
p 5

4 5p 2 5 5
? p ?2.

当 y1 ? y 2 ? 2 p 时,d 有最小值

,由题设得

p 5

?

【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以 及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
0) 1) 例 12.(2008 全国二 21)(本小题满分 12 分)设椭圆中心在坐标原点, A (2, , B (0, 是它的两个 .

顶点,直线 y ? kx ( k ? 0 ) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 E D ? 6 D F ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 A E B F 面积的最大值.
x
2

????

????

(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

? y ? 1,
2

4

直线 A B, E F 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx ( k ? 0) . ················2 分 ··········· ····· ·········· ····· 如图,设 D ( x 0, kx 0 ), E ( x1, kx1 ), F ( x 2, kx 2 ) ,其中 x1 ? x 2 , 且 x1, x 2 满足方程 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,
2 2

y B D O E
1 7 (6 x 2 ? x1 ) ? 5 7 x2 ? 10 7 1 ? 4k
2

F A x

故 x 2 ? ? x1 ?
???? ????

2 1 ? 4k
2

.①

由 E D ? 6 D F 知 x 0 ? x1 ? 6( x 2 ? x 0 ) ,得 x 0 ?
2 1 ? 2k



由 D 在 A B 上知 x 0 ? 2 kx 0 ? 2 ,得 x 0 ? 所以
2 1 ? 2k ? 10 7 1 ? 4k
2





化简得 24 k ? 25 k ? 6 ? 0 ,
2

解得 k ?

2 3

或k ?

3 8

. ··········· ··········· ·········· ···· 6 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ····

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E, F 到 A B 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2 kx1 ? 2 5 x 2 ? 2 kx 2 ? 2 5

?

2 (1 ? 2 k ?

1 ? 4k )
2 2



5(1 ? 4 k ) 2 (1 ? 2 k ? 1 ? 4k )
2 2

h2 ?

?

5(1 ? 4 k )

. ··········· ··········· · 9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··

又 AB ?
S ? 1 2

2 ?1 ?
2

5 ,所以四边形 A E B F 的面积为

A B ( h1 ? h 2 )

?

1 2

? 5?

4 (1 ? 2 k ) 5(1 ? 4 k )
2

?

2 (1 ? 2 k ) 1 ? 4k
2

? 2

1 ? 4k ? 4k
2

1 ? 4k

2

≤2 2,
当 2 k ? 1 ,即当 k ?
1 2

时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ··········· 分 ·········· 12 ··········

解法二:由题设, B O ? 1 , A O ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y 2 ? kx 2 ,由①得 x 2 ? 0 , y 2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 A E B F 的面积为
S ? S △ BEF ? S △ AEF ? x 2 ? 2 y 2 ··········· ··········· ·········· ·········· 9 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ··········
? ? ( x2 ? 2 y2 )
2 2 2

x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2( x2 ? 4 y2 )
2 2



?2 2,

当 x 2 ? 2 y 2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .·················12 分 ··········· ······ ·········· ······


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