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巧用直线的参数方程解题方法


巧用直线的参数方程解题
摘要: 我们都知道解析几何在高考数学中的重要性, 解析几何常常让考生感到 头 痛,特别是关于直线与圆锥曲线的位置关系、求轨迹方程等类型的题目。这类型 的题目所涉及的知识点多、覆盖面广、综合性比较强。从而考察考生的运算能力 和综合解题能力, 不少学生常常因缺乏解题策略而导致解答过程繁难、 运算量大, 甚至半途而废。 而想要比较简单的解决此类问题运用直线的参数方程是较合适的 方法,运用直线的参数方程去解决一些解析几何问题会比较简便。

关键词:直线的参数方程;平面;空间;弦长。 1、引言 在解决的某一解析几何的问题时,运用直线的参数方程解题是非常合适的。运 用的直线的参数方程解题它的优点在于能化繁为简、减少计算过程,而它的缺点 就是它的局限性, 不是所有的题目都适合运用直线的参数方程解决的。在平面几 何里,一些关于焦点弦长、某点的坐标、轨迹方程、等式证明等问题的题目我们 可以考虑运用直线的参数方程去解决。 在空间几何里用直线的参数方程可以解决 的问题有求柱面和锥面的方程、空间中的一些轨迹方程、对称点等相关问题。在 平面中或是空间里的解析几何问题,我们都可以考虑运用直线的参数方程去解 决,我们会举相关的例题,运用直线的参数方程去解题。

2.1 在平面中运用直线的参数方程解题 直线的参数方程的标准式:过点 p0 ? x0 , y0 ? 倾斜角为 ? 的直线 l 参数方程为

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t为参数, ? 为直线的倾斜角)

t的几何意义是:t表示有向线段 p0 p 的数量, p?x, y ? 为直线上任意一点。 2.1.1 用直线的参数方程求弦长相关问题 如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交, 要求求直线被截的弦长。 我们把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里,然后韦达定理和参数t的几

何意义得出弦长。 例1

3 过点 P?1,2? 有一条倾斜角为 ? 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 9 相交, 求直线被圆截 4
得的弦的长。 分析: 1、考虑点P在不在圆上; 2、这个题目如果用一般方 法解就要写出直线方程, 然后代入圆方程,要想 求出弦长过程比较复杂、 计算量大; 3、适合运用直线的参数方 程进行求解。 解: 把点 P?1,2? 代入圆的方程,得 12 ? 22 ? 5 ? 9 所以点P不在圆上,在圆内 可设直线与圆的交点分别为A、B两点 由题意得直线的参数方程为

2 t 2 , (t为参数) 2 y ? 2? t 2 x ? 1?
代入圆的方程,得
? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? t t? ? ? ? ? ?9 2 2 ? ? ? ?
2 2

整理后得 因为Δ =
2

t 2 ? 2t ? 4 ? 0



? 2 ? ? 4 ?1? ?? 4? ? 18 ? 0
t1 ? t2 ? ? 2 ;
t1t2 ? -4

设①的两根为 t1 , t 2 ,即对应交点A、B的参数值,由韦达定理得

由t的几何意义,得弦长
AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?2 ? 4t1t2

?

?? 2 ? ? 4 ? ?? 4? ? 3
2

2

评注: 此类求弦长的问题,一般方法得求出直线与二次曲线的两个 交点坐标,然后用两点间的距离公式求出弦长,这样计算量 会比较大,而运用直线的参数方程参数方程去解,根据参数t 的几何意义和韦达定理就能比较简捷的求出弦长。

小结:我们在运用直线的参数方程解决求弦长问题时,发现在解决例1 此类题型时有一定的规律,这个规律在解决此类问题时可以当 公式来用,对解题速度很有帮助的。下面我对这个规律进行阐述: 问题1 求二次曲线
F ?x, y ? ? 0


截直线

x ? x0 ? t cos? (t是参数, ? 为直线的倾斜角) y ? y0 ? t sin ?
所得的弦的长。 解: 有①和②消去 x, y 整理后,若能得到一个关于参数t的二元 一次方程:
at 2 ? bt ? c ? 0




则当有Δ = b 2 ? 4ac ? 0 ,截得的弦长为

l?

b 2 ? 4ac a

(公式一)

证明:设 t1 , t 2 为③的两个实根,根据韦达定理有
t1 ? t 2 ? ? b a

t1t2 ?

c a



又设直线与二次曲线的两个交点为 p1 ?x1 , y1 ?, p2 ?x2 , y2 ? ,则

x1 ? x0 ? t1 cos? y1 ? y0 ? t1 sin ?



x2 ? x0 ? t2 cos? y2 ? y0 ? t 2 sin ?



根据两点的距离公式,由④,⑤得弦长

l ? p1 p2 ?
?
?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2
?t1 ? t2 ?2 cos 2 ? ? ?t1 ? t2 ?2 sin 2 ?
?t1 ? t2 ?
2

? b? ?c? ? 4t1t 2 ? ? ? ? ? 4? ? ? a? ?a?

2

b 2 ? 4ac ? a

(证毕)

上述公式适用于已知直线的倾斜角,那如果已知直线的斜率呢? 问题2 求二次曲线
F ?x, y ? ? 0


截直线

x ? x0 ? at

b , (t是参数,直线的斜率为 ) y ? y0 ? bt a
所得的弦的长。 解: 有①和②消去 x, y 整理后,若能得到一个关于参数t的二元 一次方程:
At 2 ? Bt ? C ? 0




则当有Δ = B 2 ? 4 AC ? 0 ,截得的弦长为

l ? a 2 ? b2 ?

? A

(公式二)

利用上述公式我再举个例 例2 若抛物线 y 2 ? 4 x 截直线 y ? 2 x ? d 所得的弦长是 3 5 ,求 d 的值。 解:由直线的方程 y ? 2 x ? d ,得

b ? d ? 直线的斜率k= =2,且直线恒过点 ? ? ,0 ? a ? 2 ?

∴该直线的参数方程为
x?? d ?t , (t为参数) 2 y ? 2t

把参数方程代入抛物线方程,整理后得
4t 2 ? 4t ? 2d ? 0

因为t是实数,所以Δ = ?? 4? ? 4 ? 4 ? 2d ? 16 ? 32d ? 0.
2

由公式二,有 12 ? 22 ? 解得
d ? -4

16 ? 32d ?3 5 4

评注:我们通过运用直线的参数方程得到了公式一和公式二,在 解决关于弦长问题时运用公式一或者公式二解题就会更加 方便。如果题目已知的是直线的倾斜角,就应该考虑用公 式一;如果题目已知的是直线的斜率,就应该先考虑用公 式二。

2.1.2 运用直线的参数方程解中点问题 例3 已知经过点 P?2,0? ,斜率为
4 的直线和抛物线 y 2 ? 2x 相交 3

于A,B两点,若AB的中点为M,求点M坐标。 解:设过点 P?2,0? 的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 则 cos ? ?
3 4 , sin ? ? 5 5 4 , 3

可设直线的参数方程为

3 x ? 2? t 5 (t为参数) 4 y? t 5
把参数方程代入抛物线方程 y 2 ? 2x 中,整理后得
8t 2 ? 15t ? 50 ? 0

设 t1 , t 2 为方程的两个实根,即为A,B两点的对应参数,根据韦达定理
t1 ? t 2 ? 15 8

由M为线段AB的中点,根据的几何意义可得
PM ? t1 ? t 2 15 ? 2 16
15 ,将此值代入直线的参数方程里,得 16

所以中点M所对应的参数为 t M ?

M的坐标为

3 15 41 x ? 2? ? ? 5 16 16 4 15 3 y? ? ? 5 16 4

? 41 3 ? 即M? , ? ? 16 4 ?

评注:在直线的参数方程中,当 t ? 0 时,则 MA 的方向向上;当 t ? 0 时,则 MB 的方向向下,所以AB中点M对应的参数t的值是 这与求两点之间的中点坐标有点相似。 2.1.3 运用直线的参数方程求轨迹方程 运用直线的参数方程,我们根据参数t的几何意义得出某些线段的 数量关系,然后建立相关等式,最后可得出某动点的轨迹。 例4 过原点的一条直线,交圆 x2 ? ? y ?1? ? 1 于点 Q ,在直线 OQ 上取一
2

t1 ? t 2 , 2

点 P ,使 P 到直线 y ? 2 的距离等于 PQ ,求当这条直线绕原点旋转时点 P 的轨迹。

解:设该直线的方程为
x ? t cos? y ? t sin ?

?0 ? ? ? ? ? ,t为参数, ? 为直线的倾斜角

把直线方程代入圆方程,得

?t cos? ?2 ? ?t sin ? ?1?2 ? 1

t 2 ? 2t sin ? ? 0

根据公式一,可得
OQ ? OQ ? b 2 ? 4ac ? 4 sin 2 ? ? 2 sin ? , ?0 ? ? ? ? ? a

可设 p 点坐标为 p?x, y ? ,起对应的参数值为t,则有 OP ? t , 因为 PQ ? OP ? OQ ,所以 PQ ? t ? 2 sin ? 易知,点 p 到直线 y ? 2 的距离是 y ? 2 ,即 t sin ? ? 2 ; 由题意有

t ? 2 sin ? = t sin ? ? 2

等式两边同时平方,化简后得

?t

2

? 4?cos2 ? ? 0

解得 t 2 ? 4 或 cos ? ? 0 当 t 2 ? 4 时,轨迹的一支为 x 2 ? y 2 ? 4 ; 当 cos ? ? 0 时, sin ? ? 0 ,从而得另一支轨迹
x ? t ?0 y?t

即x ?0;

因此所求轨迹系是由圆 x 2 ? y 2 ? 4 和直线 x ? 0 组成。 评注:遇到此类题目,考虑运用直线的参数方程先把弦长求出来, 在根据题意建立相关等式,根据等式消元化简得出结果,本 题的关键主要是建立等式 t ? 2 sin ? = t sin ? ? 2 。 2.1.4 运用直线的参数方程证明相关等式 运用直线的参数方程,根据参数t的几何意义,我们可以得到一些 线段的数量关系,对证明一些几何等式很有帮助。

例5 设过点 A? p,0? 的直线交抛物线 y 2 ? 2 px 于B、C,求证: 证明:设过点 A? p,0? 的直线的参数方程为

1 1 1 ? ? 2 2 2 AB AC p

x ? p ? t cos? (t为参数, ? 为直线的倾斜角) y ? t sin ?

因为直线与抛物线交B、C两点,故 ? ? 0 。 把直线参数方程代入抛物线方程,整理后得

sin 2 at2 ? 2 p cosat ? 2 p 2 ? 0
设 t1 , t 2 为两根,即点B、C的对应参数值,根据韦达定理得
t1 ? t 2 ? 2 p cos ? ; sin 2 ?

t1t 2 ? ?

2 p2 sin 2 ?

根据参数t的几何意义有AB= t1 ,AC= t2 ,所以
1 1 1 1 ?t ? t ? ? 2t t ? ? 2? 2 ? 1 2 2 12 2 2 AB AC ?t1t2 ? t1 t2
2

4 p2 ? 2 p cos? ? ? ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ?? 2 ? 2 p2 ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? ? 1 p2

2

评注:在证明一些相关等式问题时,引用直线的参数方程辅助证明, 会让证明思路更加清晰易懂,在证明过程中根据参数t的几何 意义,用参数t去替换其它变量,把所要证的等式化繁为简。

2.2

在空间中用直线的参数方程解题

在空间中过点 M ?x0 , y0 , z0 ?,方向向量为 v? X , Y , Z ? 的直线 l 的坐标式参数

x ? x0 ? Xt
方程为 (t为参数) 直线 l 标准方程为: y ? y0 ? Yt ,

z ? z0 ? Zt

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? ?t。 X Y Z

2.2.1 用空间直线的参数方程求柱面和锥面方程 已知柱面、锥面的准线方程,可以根据母线的参数方程或者标准方程 很方便的求出柱面或者锥面方程。 例6 若柱面的母线的方向向量 v?? 1,01? ,准线方程是 求柱面方程。 解:设 P 1 的母线的参数方程为 1 ?x1 , y1 , z1 ? 为准线上任意一点,过点 P

x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , 2x ? y ? z ? 0

x ? x1 ? t y ? y1 z ? z1 ? t
代入准线方程得 , ( t 为参数)即

x1 ? x ? t y1 ? y z1 ? z ? t

?x ? t ?2 ? y 2 ? ?z ? t ?2 ? 1 2?x ? t ? ? y ? ?z ? t ? ? 0
消去参数t,可得到所求柱面方程

?x ? y ? z ?2 ? y 2 ? ?2x ? y ? 2z ?2 ? 1
评注:此题假设准线上任意一点,然后过此点写出对应的参数方程, 通过参数t的引入便可变形代入相关方程,最终消去参数t得 到所求柱面方程。 例7 已知锥面顶点为 ?3,?1,?2?,准线为

x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求锥面的方程。 x? y?z ?0

解: 设 P 1 与顶点 ?3,?1,?2 ? 的 1 ?x1 , y1 , z1 ? 为准线上任意一点,连接点 P 母线为
x ? 3 y ?1 z ? 2 ? ? , x1 ? 3 y1 ? 1 z1 ? 2
1 将它们的比值记为 ,得 t

x1 ? 3 ? t ?x ? 3?

z1 ? ?2 ? t ?z ? 2?

y1 ? ?1 ? t ? y ? 1? , (t为参数)

代入 x1 , y1 , z1 所满足的方程

x1 ? y1 ? z1 ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0

2

2

2

,得

?3 ? t ?x ? 3??2 ? ?? 1 ? t ? y ? 1??2 ? ?? 2 ? t ?z ? 2??2 ? 1 t ??x ? 3? ? ? y ? 1? ? ?z ? 2?? ? 2 ? 0
消去t,由上式的第二式得
t? 2 ,代入第一式, ? ?x ? 3? ? ? y ? 1? ? ?z ? 2?

化简整理后得锥面的一般方程为

3?x ? 3? ? 5? y ?1? ? 7?z ? 2? ? 6?x ? 3?? y ?1? ?10?x ? 3??z ? 2? ? 2? y ?1??z ? 2? ? 0
2 2 2

评注:此题的关键是母线方程的表示,然后引入参数t,得到一个参数方程。 通过参数t代入化简得出所求的锥面方程。 2.2.2 用空间直线的参数方程求空间轨迹 空间的点或者直线的轨迹的空间解析几何的一个重要课题,是重点 也是难点,在求解过程中,通常非常复杂,但对于某些轨迹问题,运 用直线的参数方程去解决会相对简单。 例8 一直线分别交坐标面 y0 z, x0 z, x0 y 于三点A、B、C,当直线变动时,直 线上的三定点A、B、C也分别在三个坐标面上变动,另外直线上有第四个点P,它 与A、B、C三点的距离分别为 a 、b、c。当直线按照这样的规定(即保持A、B、C 分别在三坐标面上变动) ,试求P点的轨迹。 解:设点P的坐标为 P?x0 , y0 , z0 ? ,直线的方向余弦为 cos? , cos ? , cos? 。则直

x ? x0 ? t cos?
线的参数方程为 (t为参数) y ? y0 ? t cos ? ,

z ? z0 ? t cos?
t ? ?a , 令x ? 0, 即的与 y0 z 面的交点A, 根据t的几何意义, 则 x0 ? ?a o c s ?。

同理可得, y0 ? ?b cos ? , z0 ? ?c cos? 。
x y z 由以上三式可得 02 ? 02 ? 02 ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 a b c
2 2 2

所以P点轨迹方程为

x2 y2 z 2 ? ? ? 1 ,是一个椭球面。 a 2 b2 c2

评注:通过运用直线的参数方程,然后根据t的几何意义,用t去表示 点P的坐标,通过观察代入某式子得出轨迹方程。 2.2.3 用空间直线的参数方程求对称点 运用空间直线的参数方程我们可以求出定点关于定平面、定直线对 称的点的坐标。 例9 求定点 P0 ?1,2,1? 关于定平面 2 x ? y ? z ? 1 ? 0 的对称点。 分析:1、可设对称点为点 P1 ; 2、点 P0 和点 P1 到平面的距离是相等的; 3、 P0 P 1 与平面是垂直的。 解:设 P 1 ?x1 , y1 , z1 ? 是所求的对称点,则平面 2 x ? y ? z ? 1 ? 0 到 P 1 的有 0和P 向距离是等值异号,即

2 ? 1 ? 1? 2 ? 1? 1 ? 1 22 ? 12 ? 12
化简后得 2 x1 ? y1 ? z1 ? 3 ? 0

? 2 x1 ? y1 ? z1 ? 1 ? ? ? ?? ? 2 2 2 ? ? 2 ?1 ?1 ?
(1)

又 P0 P 1 的 一 组 方 向 向 量 为 ?x1 ? x0 , y1 ? y0 , z1 ? z0 ? , 由 于 P 0P 1 与 平 面
2 x ? y ? z ? 1 ? 0 垂直,故有
x1 ? 1 y1 ? 2 z1 ? 1 ? ? ? t, 2 1 1

(t为参数)

x1 ? 1 ? 2t
即,

y1 ? 2 ? t z1 ? 1 ? t

(2)

把(2)代入(1) ,得 2?1 ? 2t ? ? ?2 ? t ? ? ?1 ? t ? ? 3 ? 0 解得, t= ?
4 3

代入(2) ,得

5 ? 4? x1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? 4 2 y1 ? 2 ? ? , 3 3 4 1 z1 ? 1 ? ? ? 3 3

? 5 2 1? 即所求的对称点为 P 1 ? ? , ,? ? 。 ? 3 3 3?

评注:此题的关键是根据 P0 P 1 与平面垂直引入参数t,然后用参数t表示 其它未知量,通过代入求出参数t的值,所求的未知量也就相应 得出。

结语
我们运用直线的参数方程对以上例题进行解答,在解题过程中,我们能体会 到直线的参数方程的魅力所在, 它使我们在解决某类问题时可以化繁为简、容易 理解。从中我们还发现直线参数方程的参数t和韦达定理的和谐统一,这会让我 们发现数学中的一种美, 从某种意义上说它是一种简洁美,它让我们在解题过程 中更加简单、更有效率。而且直线参数方程的加盟,为我们的解题带来了无穷的 想象空间和更为广阔的解题思路, 正是因为直线参数方程给我们带来如此多的便 捷和快乐,所以掌握用直线的参数方程解题的方法应该是我们不二的选择。

参考文献
[1]彭耿铃.巧用直线的参数方程解题例说[J].福建中学数学,2009, (8). [2]刘培杰.新编中学数学解题方法全书[M],高中版.哈尔滨:哈尔滨工业大学出 版社,2011. [3] 吴业分、肖利华 . 浅谈直线参数方程及应用 [J]. 中国教科创新导刊, 2009 , (537). [4]李养成.空间解析几何[M],新版.北京:科学出版社,2007. [5]张许伟.空间直线参数方程应用初探[J].苏州教育学院学报,1988, (1).



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