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四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(理)试题含解析


四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学(理)试题 (解析版)
【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核 心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课 本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基 础知识的掌握起到好的导向作用.

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 )
【题文】1.集合 M ? ??2,0,1, 2? , N ? x 2 x ? 1 ? 1 ,则 N ? M =(

?

?

)

A.{-2,1,2}

B.{0,2}

C.{-2,2}

D.[-2,2]

【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】C 解析:因为集合 M={﹣2,0,1,2},N={x||2x﹣1|>1}={x|x<0 或 x>1}, 则 M∩ N={﹣2,2}.故选 C. 【思路点拨】求出集合 N,然后求解 N ? M . 【题文】2.已知 a =(2,1), b ? ? x,3? ,且 a // b ,则 x 的值为(

?

?



A.2

B.1

C.3

D.6

【知识点】平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算.F2 【答案解析】D 解析:∵ 平面向量 =(2,1) , =(x,3) ,又∵ 向量 解得 x=6,故选:D. 【思路点拨】根据“两个向量平行,坐标交叉相乘差为 0”的原则,我们可以构造一个关于 x 的 方程,解方程即可得到答案. 【 题 文 】 3. 在 各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 3a1 , ∥ ,∴ x﹣2×3=0

a11 ? a13 ?( ) a8 ? a10 A. ?1 或 3

1 a3 , 2a2 成等差数列,则 2

B.3

C.1 或 27

D.27

【知识点】等比数列的通项公式;等差数列的性质.D2 D3 【答案解析】D 解析:∵ 各项均为正数的等比数列{an}中,公比为 q, ∵ 成等差数列,
2 2

∴ a3=3a1+2a2,可得 a1q =33a1+2a1q ,解得 q=﹣1 或 3, ∵ 正数的等比数列 q=﹣1 舍去,故 q=3,
-1-



=

=

=

=27,故选 D。

【 思 路 点 拨 】 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} , 设 出 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 根 据 成等差数列,可以求出公比 q,再代入所求式子进行计算。 【题文】4.下列说法错误的是 (



A.若 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; B.“ sin ? ?
1 ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件; 2

C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”; D.若 p : ?x ? R, cos x ? 1 , q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ?q ”为假命题.
【知识点】特称命题;命题的否定.A2 【答案解析】B 解析:对于 A,命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0,满 足特称命题的否定是全称命题,所以 A 正确. 对于 B, “sinθ= ”则 θ 不一定是 30°, 而“θ=30°”则 sinθ= ,所以是必要不充分条件,B 不正确; 对于 C,“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”判断正确. 对于 D,p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x ﹣x+1>0,则“p∧¬q”一假就假,所以为假命题,D 正确. 错误命题是 B. 故选 B. 【思路点拨】利用特称命题的否定是全称命题判断 A 的正误;利用充要条件判断 B 的正误;否 命题的真假判断 C 的正误;复合命题的真假判断 D 的正误。 【题文】 5. 为了得到函数 y ? cos( 2 x ?
2 2 2

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 5? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 6




5? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 6

A.向左平移

B.向右平移

【知识点】函数 y=Asin(ω x+φ)的图象变换.C4 【答案解析】A 解析:∵ 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 故选 A. 【思路点拨】先根据诱导公式将函数 化为正弦的形式,再根据左加右减的 个单位得到函数 , 的图象.

-2 -

原则进行平移即可得到答案. 【 题 文 】 6. 设 x ? R , 若 函 数 f ( x ) 为 单 调 递 增 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x , 都 有
x f? ,则 f (ln 2) 的值等于( ? f ( x) ? e ? ? ? e ? 1 ( e 是自然对数的底数)

)

A.

1

B. e ? 1

C.3
x

D. e ? 3
x

【知识点】函数单调性的性质.B3 【答案解析】C 解析:设 t=f(x)﹣e ,则 f(x)=e +t,则条件等价为 f(t)=e+1, t 令 x=t,则 f(t)=e +t=e+1,∵ 函数 f(x)为单调递增函数, x ∴ 函数为一对一函数,解得 t=1,∴ f(x)=e +1, ln2 即 f(ln2)=e +1=2+1=3,故选:C. 【思路点拨】利用换元法 将函数转化为 f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出 t 的值,即可求 出函数 f(x)的表达式,即可得到结论.

?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ? 【题文】 7.若实数 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则函数 z ?| x ? y ? 1| 的最小值是 ?x ? 0 ?

( ) A.0 B.4 C.
8 3

D.

7 2

【知识点】简单线性规划的应用;简单线性规划.E5

【答案解析】A 解析:作出

可行域如图,



,可得 A





,可得 B(0, ) ,

-3-



,可得 C(0,﹣5) .

A、B.C 坐标代入 z=|x+y+1|,分别为: ; ,4, 又 z=|x+y+1|≥0,当 x=0,y=﹣1 时,z 取得最小值 0.z=|x+y+1|取可行域内的红线段 MN 时 x+y+1=0.z 都取得最小值 0. 故选 A. 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 x+y+1=0 时, z 最小值即可. 【题文】 8. 已知函数 f ? x ? ?

?

sin ? x ,0? x ?1 log 2014 x , x ?1

若 a, b, c 互不相等 , 且 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? , 则 D.(2,2015)

a ? b ? c 的取值范围是( ). A.(1,2014) B.(1,2015)
【知识点】分段函数的应用.B10

C.[2,2015]

【答案解析】D 解析:作出函数的图象如图,

直线 y=m 交函数图象于如图,不妨设 a<b<c, 由正弦曲线的对称性,可得(a,m)与(b,m)关于直线 x= 对称, 因此 a+b=1,当直线 y=m=1 时,由 log2014x=1, 解得 x=2014,即 x=2014,∴ 若满足 f(a)=f(b)=f(c) , (a、b、c 互不相等) , 由 a<b<c 可得 1<c<2014,因此可得 2<a+b+c<2015, 即 a+b+c∈(2,2015) .故选:D. 【思路点拨】根据题意,在坐标系里作出函数 f(x)的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,确定 a,b,c 的大小,即可得出 a+b+c 的取值范围. 【题文】9.已知定义为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 4? ,且函数 f ? x ? 在区间

? 2, ??? 上单调递增.如果 x1 ? 2 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的值(
A. 恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负
【知识点】抽象函数及其应用.B10 【答案解析】A 解析:定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x+4) , 将 x 换为﹣x,有 f(4﹣x)=﹣f(x) , ∵ x1<2<x2,且 x1+x2<4,
-4-



∴ 4﹣x1>x2>2, ∵ 函数 f(x)在区间(2,+∞)上单调递增, ∴ f(4﹣x1)>f(x2) , ∵ f(4﹣x)=﹣f(x) , ∴ f(4﹣x1)=﹣f(x1) ,即﹣f(x1)>f(x2) , ∴ f(x1)+f(x2)<0, 故选:A. 【思路点拨】首先根据条件 f(﹣x)=﹣f(x+4)转化为 f(4﹣x)=﹣f(x) ,再根据函数 f(x) 在区间(2,+∞)上单调递增,将 x1 转换为 4﹣x1,从而 4﹣x1,x2 都在(2,+∞)的单调区间内, 由单调性得到它们的函数值的大小,再由条件即可判断 f(x1)+f(x2 )的值的符号. 【题文】10.设函数 f ? x ? 的导函数为 f
'

? x ? ,对任意 x ? R 都有 f ' ? x? ? f ? x? 成立,

则(

) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

【知识点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.B11 【答案解析】B 解析:令 g(x)= ,则

= 因为对任意 x∈R 都有 f'(x)>f(x) , 所以 g′ (x)>0,即 g(x)在 R 上单调递增, 又 ln2<ln3,所以 g(ln2)<g(ln3) ,即





所以 故选 B.

,即 3f(ln2)<2f(ln3) ,

【思路点拨】构造函数 g(x)=

,利用导数可判断 g(x)的单调性,由单调性可得 g(ln2)

与 g(ln3)的大小关系,整理即可得到答案.

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
【题文】11.幂函数 y ? (m ? 3m ? 3) x 过点 ? 2, 4 ? ,则 m =
2 m

.

【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.B8 【答案解析】2 解析:∵ 幂函数 y=(m ﹣3m+3)x 过点(2,4) ,
-52 m



,解得 m=2.故答案为:2.

【思路点拨】由题意得

,由此能求出 m=2.
1

【题文】12. 计算 log3 6 ? log3 2 ? 4 2 ? 3 【知识点】对数的运算性质.B7 【答案解析】-1 解析:log36﹣log32+4 =log3 +2﹣4 =1+2﹣4 =﹣1. 故答案为:﹣1

log3 4

的结果为

.

﹣3

【思路点拨】直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可.

?BAD ? 120 , 【题文】 13 已知菱形 ABCD 的边长为 2 , 点 E , F 分别在边 BC , DC 上,
BC ? 3BE , DC ? ? DF . 若 AE ? AF ? 1 ,则 ? 的值为
【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】2 解析:∵ BC=3BE,DC=λDF, ∴ = = + , = = + , = + , = + = + = + ,

?

.

∵ 菱形 ABCD 的边长为 2,∠ BAD=120°, ∴ | |=| ∵ ? ∴ ( + |=2, =1, )?( ×4﹣2(1+ , + )= )=1, + +(1+ ) ? =1, ? =2×2×cos120°=﹣2,

即 ×4+ 整理得

解得 λ=2, 故答案为:2. 【思路点拨】根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论.

-6-

【题文】14.已知 x, y ? R , x ?
2

?

1 y2 ? 1 ,则 x 1 ? y 2 的最大值为 2 2

.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用.E6 【答案解析】 所以 x = = =

3 8

2

解析:由题意得,x,y∈R ,x +

+

2

=1,则设 x=cosθ>0,y=

sinθ>0,



×
2 2

=

=



当且仅当 2cos θ=1+2sin θ 时取等号,此时 sinθ= 所以 x 故答案为: 的最大值为: . ,



【思路点拨】根据椭圆的方程可设 x=cosθ、y=2sinθ,代入式子 x 不等式和平方关系求出式子的最大值. 【题文】15.已 知 A? x ? x ?? 1, y 1? , B 2, y 2

化简后,根据基本

x ? 1

是 函 数 f ? x? ? ?x 2

3 x ? x图 象 上 的 两 个

不 同 点 , 且 在 A, B 两 点 处 的 切 线 互 相 平 行 , 则
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案解析】 (-1,0) 解析:由题意,f(x)=x ﹣|x|=
2 3

x2 的取值范围为 x1

.



当 x≥0 时,f′ (x)=3x ﹣1, 2 当 x<0 时,f′ (x)=3x +1, 因为在 A,B 两点处的切线互相平行,且 x1>x2, 所以 x1>0,x2<0 (否则根据导数相等得出 A、B 两点重合) , 所以在点 A(x1,y1)处切线的斜率为 f′ (x1)=3 在点 B(x2,y2)处切线的斜率为 f′ (x2)=3 所以 3 ﹣1=3 +1, +1 ﹣1,

-7-



, (x1>x2,x2<0)

表示的曲线为双曲线在第四象限的部分,如图: 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率,

由图可知

取值范围是(﹣1,0) ,故答案为: (﹣1,0) .

【思路点拨】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式,然后求导,通过在 A,B 两点处 的切线互相平行,即在 A,B 两点处的导数值相等,分析出 A 点在 y 轴的右侧,B 点在 y 轴的左 侧.根据 A,B 两点处的导数相等,得到 x1 与 x2 的关系式,根据关系式得出它表示的曲线,然 后利用式子的几何意义求解.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤共 75 分) 【题文】16. (本小题满分 12 分) ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 已知函数 f ? x ? ? 2cos ? x ? ? ?sin ? x ? ? ? 3 cos ? x ? ? ? . 3 ?? ? 3? 3 ?? ? ? (1)求 f ? x ? 的值域和最小正周期;
? ?? ? (2)若对任意 x ? ?0, ? ,使得 m ? ? f ? x ? ? 3 ? ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 6?
【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.C5 C3 【答案解析】(1) 值域为[-2- 3, 2- 3],最小正周期为 π ;(2) ?-

? ?

? 2 3 ,-1? 3 ?

解析:(1)f(x)=2sin?x+

? ?

π? π? π? ? ? ?cos?x+ ?-2 3cos2?x+ ? 3? 3? 3? ? ?

-8-

2π ? 2π ? ? ? ? ? =sin?2x+ ?- 3?cos?2x+ ?+1? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 2π ? 2π ? ? ? =sin?2x+ ?- 3cos?2x+ ?- 3 3 ? 3 ? ? ? π? ? =2sin?2x+ ?- 3. 3? ? π? ? ∵-1≤sin?2x+ ?≤1. 3? ? π? 2π ? ∴-2- 3≤2sin?2x+ ?- 3≤2- 3,T= =π , 3? 2 ? 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π . π? π ?π 2π ? ? (2)当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 6? 3 ? 3 ?3 ? π? ? 3 ? ? 故 sin?2x+ ?∈? ,1?, 3? ? 2 ? ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin?2x+ ?∈[ 3,2]. 3? ? 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=- , m 2 即 3≤- ≤2, m 2 ? ?m+ 3≤0, 即? 2 ? ?m+2≥0, ? 2 3 ? ?- ,-1?. 3 ? ?
【思路点拨】 (1)根据二倍角公式和和差角公式(辅助角公式) ,化简函数解析式为正弦型函 数的形式,进而结合 ω=2,可得 f(x)的最小正周期;由 A,B 的值,可得 f(x)的值域;

解得-

2 3 ≤m≤ - 1. 即 实 数 m 的 取 值 范 围 是 3

-9-

(2)若对任意 x∈[0, 数 m 的取值范围.

],使得 m[f(x)+

]+2=0 恒成立,f(x)+

=

,进而可得实

【题文】17.(本小题满分 12 分)

设公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项为 1,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足
b b1 b2 1 ? ? ... ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn a1 a2 an 2
2n ? 3 2n

【知识点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.D4 D5 【答案解析】 (Ⅰ) an ? 2n-1; (Ⅱ)Tn ? 3 ?

解析: (I)设等差数列 an 的公差为 d,(d ? 0 ),则

? ?

1 ? 13d ) a2 ,a5 ,a14 构成等比数列,? a2a14 ? a52 ,即(1 ? 4d )2 ? (1 ? d ))
解得 d=0(舍去)或 d=2, ? an ? 1+2(n-1)=2n-1 (II)由已知 ??????.3 分

b1 b2 b 1 ? ? ... ? n ? 1 ? n ( n ? N * ) 2 a1 a2 an

当 n=1 时,

b1 1 = ; a1 2

当 n ? 2 时,

bn 1 1 1 ? ( 1 ? n ) ?(1 ? n ?1 )= n , 2 2 2 an

?

bn 1 (n ? N * ) ?= n , 2 an
2n ? 1 ( n ? N * )????7 分 n 2

由(I) , an ? 2n-1( n ? N * ) ,? bn ?

Tn ?

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 1 2 2 2 2n

1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 2 2 2 2 2

两式相减得
1 1 2 2 2 2 2n ? 1 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ) ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2

- 10 -

=

3 1 2n ? 1 ? n ?1 ? , 2 2 2n ?1

? Tn ? 3 ?

2n ? 3 2n

?????.12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由 a2,a5,a14 构成等比数列得关于 d 的方程,解出 d 后利用等差数列的通项公式可得 an; (Ⅱ)由条件可知,n≥2 时, (1﹣ )= =1﹣ ﹣

,再由(Ⅰ)可求得 bn,注意验证 n=1 的情形,利用错位相减法可求得 Tn。

【题文】18. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? 3 sin(? x ? ? )(? ? 0, ? 像上相邻两个最高点的距离为 ? . (I)求 ? 和 ? 的值;

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

?
3

对称, 且图

? 2? 3? ? 3 ?? ? (II)若 f ( ) ? ,( ),求 cos(? ? ) 的值. 6 3 2 2 4
【知识点】函数 y=Asin(ω x+φ)的图象变换;运用诱导公式化简求值.C4C2 【答案解析】 (Ⅰ)ω=2, ? =﹣ (Ⅱ) =π,∴ ω=2.

解析: (I)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π,∴ 再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ< )= < 对称,可得 2× +φ=kπ+

,k∈z.

可得 φ=﹣ (

.??????????.5 分 ) ,∴ sin(α﹣ )= ]=sin(α﹣ )cos )= ,∴ sin(α﹣ = +cos(α﹣ , )sin )= .

(II)∵ f(

<α< ,∴ cos(α﹣

再根据 0<α﹣ ∴ cos(α+ = +

)=sinα=sin[(α﹣ =

)+

.????????12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π 求得 ω=2.再根据图象关于直线 x= 对称,结合﹣ ≤φ< 可得 φ 的值. (Ⅱ)由条件求得 sin(α﹣ )=sinα=sin[(α﹣ )= .再根据 α﹣ )+ ],利用两

的范围求得 cos(α﹣

)的值,再根据 cos(α+

角和的正弦公式计算求得结果. 【题文】19. (本小题满分 12 分)

已知二次函数 f ( x) ? Ax2 ? Bx( A ? 0), f (1) ? 3, 其图象关于 x ? ?1 对称, 数列 ?an ? 的前
- 11 -

n 项和为 Sn ,点 ? n, S n ? ? n ? N * ? 均在 y ? f ( x) 图象上.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式,并求 Sn 的最小值; (Ⅱ)数列 ?bn ? , bn ?
1 , Sn

?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: 3 ? 4n ? Tn ? 4 ? n ? 3 .
*

1

1

3

1

【知识点】数列与不等式的综合;数列的函数特性;数列的求和.D4 D5 【答案解析】 (Ⅰ) an =2n+1( n ? N ) ,3; (Ⅱ)见解析 解析: (1) f(1) ? A ? B ? 3,?

B ? ?1 , 2A
?????..1 分

? A ? 1,B ? 2,,f(x ) ? x 2 ? 2x

* 点 ? n, S n ? n ? N 均在 y=f(x)图象上,? S n ?

?

?

n 2 ? 2n ①??????..2 分

S n ?1 ? (n ? 1)2 ? 2 (n ? 1)( n ? 2 )②
①-②得 S n ? 又 a1 ?

S n ?1 ? 2n ? 1 ,即 an =2n+1 ( n ? 2 )?????????.4 分,

s1 ? 3 ?????5 分

? an =2n+1( n ? N * )
由 =(n+1)2﹣1,

该函数在[﹣1,+∞)上为增函数, 又 n∈N*, ∴当 n=1 时, (Sn)min=3; ??????6 分 (2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ???????.7 分 n(n ? 2) 2 n n ? 2 n ? 2n
2

Tn ?
1 2

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 2 3 2 4 n n ?2 1 1 1 3 1 1 1 ? ? )]= ? ( ? ) ???9 分 2 n ?1 n ?2 4 2 n ?1 n ?2

= [(1 ?

即证

3 1 3 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 4 n ?3 4 2 n ?1 n ?2

- 12 -

即证

2 1 1 ?( ? ), n ?3 n ?1 n ?2

1 1 1 1 ? , ? ,所以右边成立??..10 分, n ? 3 n ?1 n ? 3 n ? 2
又T n 随 n 的增大而增大,Tn ? T1 ?

1 1 1 ? ? ,左边成立????..11 分 3 3 4n

所以,原不等式成立 . ?????????.12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)由 f(1)=3,二次函数 f(x)=Ax2+Bx 的对称轴为 x=﹣1 列式求得 A,B 的值,则函数解析式可求,结合点(n,Sn)在 y=f(x)图象上得到数列数列的前 n 项和,由 an=Sn﹣Sn﹣1 求得数列的通项公式.由函数的单调性求得 Sn 的最小值; (Ⅱ)利用裂项相消法求 出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,然后利用放缩法证得数列不等式. 【题文】20. (本小题满分 13 分)

设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x ( a ? R ) . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? R 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ? ?1,2?,恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得 极值的条件.B11 B12 【答案解析】 (Ⅰ) f ( x)极小值 ? 1 ; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ) m ? 0 解析: (Ⅰ) 函数的定义域为 (0, ? ?) , 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? . 令 x x

f '( x) ? 0, 得x ? 1. ,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,? f ( x)在(0,1) 单
调递减,在 (1, ??) 单调递增,? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1 ,无极大值 ;?? 4 分 (Ⅱ)

f '( x) ? (1 ? a) x ? a ?

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 [(1 ? a) x ? 1]( x ? 1) ? ? x x x

?

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 ??????5 分 x

x ? 1 ? 0 , f(x )在(0,1)单减,(1, ??)单增; ① a ? 1 时,(1 ? a )

- 13 -

② 1 ? a ? 2 时,

1 1 1 ? 1 ,f (x )在(0,1)单增,在(1, )单减,( ,??) 单增; a ?1 a ?1 a ?1

③当

( x ? 1)2 1 1 ? 1 即 a ? 2 时, f '( x) ? ? ? 1, ? 0, f ( x)在(0, ??) 上是减函数;④当 a ?1 a ?1 x
1 或x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 a ?1

即 a ? 2 时,令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ?

1 ? x ?1 a ?1

?????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x)在[1, 2] 上单调递减,当 x ? 1 时, f ( x ) 有最大值, 当 x ? 2 时 , f ( x ) 有 最 小 值 , ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (1) ? f (2) ?

a 3 ? ? ln 2 , 2 2

? ma ? ln 2 ?

a 3 ? ? ln 2 , 2 2 1 3 1 1 3 由2 ? a ? 3得 ? ? ? ? 0, ? m ? 0 .??13 分 而 a ? 0 经整理得 m ? ? 2 2a 4 2 2a
【思路点拨】 (Ⅰ)确定函数的定义域为(0,+∞) ,求导函数,确定函数的单调性,即可求得 函数 f (x)的极值; (Ⅱ)求导函数,并分解,再进行分类讨论,利用 f′ (x)<0,确定函 数单调减区间;f′ (x)>0,确定函数的单调增区间; (Ⅲ)确定 f(x)在[1,2]上单调递减, 可得 f(x)的最大值与最小值,进而利用分离参数法,可得 取值范围. 【题文】21.(本小题满分 14 分) ,从而可求实数 m 的

已知 f ( x) ? ln x ? mx(m ? R) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 过点 P(1, ?1) ,求曲线在 P 点处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?1, e? 上的最大值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证 x1 x2 ? e2 .
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲 线上某点切线方程.B12 【答案解析】 (Ⅰ)y=-1; (Ⅱ) f(x )max =

(Ⅲ)见解析 解析: (1)因为点 P(1,-1)在曲线上,所以 f(1)=-1,得 m=1

- 14 -

f /(x ) ?

1

x

? 1 ,? f /(1)=0,故切线方程为 y=-1. ??3 分 1 1 ? mx

(2) f (x ) ?
/

x

?m=

x

/ ①当 m ? 0 时, x ? (1,e ); x ? (1,e ), f (x )>0, f (x )单增, f(x )max =f(e)=1-me;

② 当

1

m

? e, 即0 ? m ? 1 1

1

e
?

x ? (1,e ),f /(x )>0, f(x )单增, 时, f(x )max =f(e)=1-me;
1 1 1 ? 1 时, x ? (1,e ), f (x )在(1, ) 单增,在( ,e )单

③ 当1 ?

m

? e 时,即 1

e

m

m

m

减,

f(x )max = f ( )= ? ln m ? 1 m
1 ? 1 即 m ? 1 时, x ? (1,e ), f /(x ) ? 0 , f (x )单减, f(x )max = f(1)=-m

④当

m

? f (x )在[1,e]上的最大值 f(x )max =

????????????8 分 (3)不妨设 x1 ?

x 2 ? 0 , f(x1 ) ? f(x 2 ) ? 0 ,? ln x1 ? mx1 ? 0 ,

ln x 2 ? mx 2 ? 0,ln x1 ? ln x 2 ? m(x1 ? x 2 ), ln x1 ? ln x 2 ? m(x1 ? x 2 ),
要证 x1x 2 ?

e 2 ,即证 ln x1 ? ln x 2 ? 2 ,即证 m(x1 ? x 2 ) ? 2 ,???10 分

m ?

2 (x 1 ? x 2) ln x1 ? ln x 2 ln x1 ? ln x 2 2 , 即证 , 即证 ln x1 ? ln x 2 ? , ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2
2 (

x1 ? 1) x1 x2 即证 ln ,?????12 分 ? x1 x2 1? x2


x1 t ?1 t ?1 =t,则t ? 1 ,即证 ln t ? , ?(t ) ? ln t ? , t ?1 t ?1 x2

- 15 -

则 ? /( t) ?

1

t

?

4 (t ? 1)2 ? ? 0 ,函数 ?(t )在(1, ??)单增,? ?(t ) ? ?(1)=0, (t ? 1)2 t(t ? 1)2
????????14 分

? 原不等式成立.

【思路点拨】 (Ⅰ)求出斜率,代入切线方程即可; (Ⅱ)需要讨论 m 的范围,m 的取值范围不 一样,求出的最值不同; (Ⅲ)将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决.

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- 16 -


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