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一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课时规范训练


【高考领航】 2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空 间几何体的表面积与体积课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

A.8+2 2 C.14+2 2

B.11+2 2 D.15

解析:由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.

直角梯形斜腰长为 1 +1 = 2,所以底面周长为 4+ 2,侧面积为 2×(4+ 2)=8+ 1 2 2,两底面的面积和为 2× ×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为 8+2 2+3=11 2 +2 2. 答案:B 2.(2015·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

2

2

1

1 A. +2π 3 C. 7π 3

B. D.

13π 6 5π 2

解析:由三视图可知,该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体,其体积为 1 1 13 2 2 π ×1 ×2+ × π ×1 ×1= π . 2 3 6 答案:B 3.(2015·高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

A.1+ 3 C.2+ 3

B.1+2 2 D.2 2

解析:选 C. 如图,该四面体有两个面为等腰直角三角形,另外两个面为正三角形.故 1 1 3 该四面体的表面积 S=2× × 2× 2+2× × 2× 2× =2+ 3. 2 2 2

答案:C 4.(2015·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 ________m .
3

2

解析: 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成, 其中圆锥的底面半 径和高均为 1m,圆柱的底面半径为 1m 且其高为 2m,故所求几何体的体积为

V= π ×12×1×2+π ×12×2= π (m3).
8 答案: π 3 5. (2016·大连模拟)直三棱柱 ABC?A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB=BC=2, ∠ABC=90°,AA1=2 2,则球 O 的表面积为__________. 解析:由题设可知,直三棱柱可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的 体对角线长,即 2 +2 +?2 2? =4,故球 O 的表面积 S=4π R =16π . 答案:16π 6. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边 长为 2 的正方形),则该几何体外接球的体积为________.
2 2 2 2

1 3

8 3

解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正 方体的体对角线, ∴2R=2 3(R 为球的半径),∴R= 3. 4 3 ∴球的体积 V= π R =4 3π . 3 答案:4 3π 7.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.

3

解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 1 2 2 2 故所求几何体的表面积 S=5×2 +2×2× 2+2× ×( 2) =(22+4 2)(cm ), 2 1 3 2 3 所求几何体的体积 V=2 + ×( 2) ×2=10(cm ). 2 8.有一根木料,形状为直三棱柱形,高为 6 cm,横截面三角形的三边长分别为 3 cm、 4 cm、5 cm,将其削成一个圆柱形积木,求该木料被削去部分体积的最小值.

解:如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积 最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为 R,圆柱的高即为直三棱柱的高. 在△ABC 中,令 AB=3,BC=4,AC=5,∴△ABC 为直角三角形. 根据直角三角形内切圆的性质可得 7-2R=5,∴R=1. ∴V 圆柱=π R ·h=6π (cm ). 1 3 而三棱柱的体积为 V 三棱柱= ×3×4×6=36(cm ). 2 ∴削去部分的体积为 36-6π =6(6-π )(cm ). 即削去部分体积的最小值为 6(6-π )cm . [B 级 能力突破] 1.(2015·高考课标卷Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面 上的动点.若三棱锥 O?ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π C.144π B.64π D.256π )
3 3 2 3

解析:如图,设球的半径为 R,∵∠AOB=90°, 1 2 ∴S△AOB= R . 2

4

∵VO?ABC=VC?AOB,而△AOB 面积为定值, ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时,VO ?ABC 最大,

1 1 2 ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时,体积 VO?ABC 最大为 × R ×R=36, 3 2 ∴R=6,∴球 O 的表面积为 4π R =4π ×6 =144π .故选 C. 答案:C 2.(2015·高考课标卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π , 则 r=( )
2 2

A.1 C.4 解析:

B.2 D.8

如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为 r,则圆柱的底面半径 1 2 2 2 2 为 r,高为 2r,则表面积 S= ×4π r +π r +4r +π r·2r=(5π +4)r .又 S=16+20π , 2 ∴(5π +4)r =16+20π ,∴r =4,r=2,故选 B. 答案:B 3. (2016·豫西五校联考)如图所示(单位:cm),则图中的阴影部分绕 AB 所在直线旋转 一周所形成的几何体的体积为__________.
2 2

5

解析:由题图中数据,根据圆台和球的体积公式,得

V

圆台

1 1 2 2 2 2 2 = ×(π ×AD + π ×AD ×π ×BC + π ×BC )×AB = ×π ×(AD + AD×BC + 3 3

BC2)×AB
1 2 2 3 = ×π ×(2 +2×5+5 )×4=52π (cm ), 3

V 半球= π ×AD3× = π ×23× = π (cm3),所以旋转所形成几何体的体积 V=V 圆台- V 半球=52π - π =
16 3 140 3 π (cm ). 3

4 3

1 4 2 3

1 16 2 3

140 3 答案: π (cm ) 3 4. (2016·大连双基检测) 如图, 在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体 的三视图,则该多面体的体积为( )

A.15 C.12

B.13 D.9

解析:题中的几何体的直观图如图所示,其中底面 ABCD 是一个矩形(其中 AB=5,BC= 2),棱 EF∥底面 ABCD,且 EF=3,直线 EF 到底面 ABCD 的距离是 3.连接 EB,EC,则题中的 多面体的体积等于四棱锥 E?ABCD 与三棱锥 E?FBC 的体积之和, 而四棱锥 E?ABCD 的体积等于 1 1 ?1 ? ×(5×2)×3=10,三棱锥 E?FBC 的体积等于 ×? ×3×3?×2=3,因此题中的多面体的体 3 3 ?2 ? 积等于 10+3=13,选 B.

答案:B

6

5.(2014·高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.

S1 9 V1 若它们的侧面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2
解析:根据底面积的比值、侧面积相同,找到底面半径和高的比值,再代入体积公式求 出体积的比值.

S1 9 π r1 9 r1 3 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = ,得 2= ,则 = .由圆 S2 4 π r2 4 r2 2 h1 2 V1 π r1h1 3 柱的侧面积相等,得 2π r1h1=2π r2h2,即 r1h1=r2h2,则 = ,所以 = 2 = . h2 3 V2 π r2h2 2
3 答案: 2 6. (2016·大连模拟)如图, 在三棱柱 ABC?A1B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点 P、 Q, 且满足 A1P=BQ,M 是棱 CA 上的动点,则
2

2

VM?ABQP VABC?A1B1C1-VM?ABQP
的最大值是__________. 1 解析: 设 VABC?A1B1C1=V, VM?ABQP=VM?B1BA≤VC?B1BA=VB1?CBA= V, 即 M 与 C 重合时 VM?ABQP 3 最大,

V
3 VM?ABQP 1 = = . VABC?A1B1C1-VM?ABQP V 2 V- 3 1 答案: 2 7.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB>1,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂 蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2.

(1)求 AB 的长度. (2)求该长方体外接球的表面积.
7

解:(1)设 AB=x,点 A 到点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为|AC1|= x +4. 如图乙的最短路程为 |AC1|= ?x+1? +1= x +2x+2,
2 2

2

图甲
2 2 2

图乙

∵x>1,∴x +2x+2>x +2+2=x +4,故从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1 的最短距 离为 x +4. 由题意得 x +4=2 2,解得 x=2. 即 AB 的长度为 2. (2)设长方体外接球的半径为 R,则 (2R) =1 +1 +2 =6, 3 2 2 ∴R = ,∴S 表=4π R =6π . 2 即该长方体外接球的表面积为 6π .
2 2 2 2 2 2

8


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