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DP基本类型


NOIP 中的 DP 基本类型 1、背包模型 包括 0-1 背包、无限背包、有限背包、有价值背包、小数背包(贪心即可)等,是极为 经典的模型,其转化与优化也是很重要的。 2、最长非降子序列模型 改版:渡河问题、合唱队型等 3、最大子段和模型 改版:K 大子段和、最佳游览,最大子矩阵和等。 4、LCS 模型 改版:回文字串、多串的 LCS 等 5、括号序列模型 改版:关灯问题(TSOJ) 、charexp(TSOJ) 、最大算式等,核心思想在于以串的长度为 阶段。 6、递推模型 这类题是属于徘徊在 DP 与递归之间得一类题,本质是类似于记忆化搜索的一种填表, 有很强的数学味。 7、线段覆盖问题 改版:Tom 的烦恼(TOJ)等。经常利用到离散化等技巧辅助。 8、单词划分模型 和 LCS 基本上构成了字符串 DP 的主要类型。改版:奇怪的门(TOJ)等。 9、股票模型 这是 DP 优化的经典模型。改版有换外汇等。 10、连续段划分模型 即要求把数列划分成 k 个连续段,使每段和的最大值最小。改版有任务调度等。 11、游戏模型 这类题的阶段(一般是时间)和决策(一般就是游戏目标)很清楚,因此比较容易想 到。改版:免费馅饼(NOI98) 、Help Jimmy(CEOI2000) 、瑰丽华尔兹(NOI2005,优化需要 多费功夫) 。 还有就是基础方程式: 题目大多数大家可以 Google 到,且不少是 NOI 和 Vijos 原题~~字数关系,就不贴每题的题 目了~~ 1. 资源问题 1 -----机器分配问题 f[i,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]); 2. 资源问题 2 ------01 背包问题 f[i,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]); 3. 线性动态规划 1 -----朴素最长非降子序列 f[i]:=max{f[j]+1} 4. 剖分问题 1

-----石子合并 f[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]); 5. 剖分问题 2 -----多边形剖分 f[i,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]); 6. 剖分问题 3 ------乘积最大 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]); 7. 资源问题 3 -----系统可靠性(完全背包) f[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}; 8. 贪心的动态规划 1 -----快餐问题 f[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}; 9. 贪心的动态规划 2 -----过河 f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]) {f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态 10. 剖分问题 4 -----多边形-讨论的动态规划 F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]; 负负 g[I,k]*f[k+1,j]; 正负 g[I,k]*f[k+1,j]; 负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g 为 min 11. 树型动态规划 1 -----加分二叉树 (从两侧到根结点模型) F[i,j]:=max{f[i,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}; 12. 树型动态规划 2 -----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型) f[i,j]表示以 i 为根节点选 j 门功课得到的最大学分 f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}; 13. 计数问题 1 -----砝码称重 f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j]; (1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)

14. 递推天地 1 ------核电站问题 f[-1]:=1; f[0]:=1; f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m]; 15. 递推天地 2 ------数的划分 f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1]; 16. 最大子矩阵 1 -----一最大 01 子矩阵 f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1; ans:=maxvalue(f); 17. 判定性问题 1 -----能否被 4 整除 g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j) 18. 判定性问题 2 -----能否被 k 整除 f[i,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j];

-k<=j<=k; 1<=i<=n

20. 线型动态规划 2 -----方块消除游戏 f[i,i-1,0]:=0 f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k), //do f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0] //not do}; ans:=f[1,m,0]; 21. 线型动态规划 3 -----最长公共子串,LCS 问题 f[i,j]=0 (i=0)&(j=0); f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x[i]=y[j]); max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]); 22. 最大子矩阵 2 -----最大带权 01 子矩阵 O(n^2*m) 枚举行的起始,压缩进数列,求最大字段和,遇 0 则清零 23. 资源问题 4 -----装箱问题(判定性 01 背包) f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);

24. 数字三角形 1 -----朴素の数字三角形 f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]); 25. 数字三角形 2 -----晴天小猪历险记之 Hill 同一阶段上暴力动态规划 f[i,j]:=min(f[i,j-1],f[i,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]; 26. 双向动态规划 1 数字三角形 3 -----小胖办证 f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j]); 27. 数字三角形 4 -----过河卒 //边界初始化 f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1]; 28. 数字三角形 5 -----朴素的打砖块 f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]); 29. 数字三角形 6 -----优化的打砖块 f[i,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[i,k]}; 30. 线性动态规划 3 -----打鼹鼠’ f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j]); 31. 树形动态规划 3 -----贪吃的九头龙 f[i,j,k]:=min(f[x1,j1,1]+f[x2,j-j1-1,k]+d[k,1]*cost[i,fa[i]]] f[x1,j1,0]+f[x2,j-j1,k]+d[k,0]*cost[i,fa[i]] {Big Head}); f[0,0,k]:=0; f[0,j,k]:=max(j>0) d[i,j]:=1 if (i=1) and (j=1) 1 if (i=0) and (j=0) and (M=2) 0 else 32. 状态压缩动态规划 1 -----炮兵阵地 Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k]);

{Small

Head},

If (map[i] and plan[k]=0) and ((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0); 33. 递推天地 3 -----情书抄写员 f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2]; 34. 递推天地 4 -----错位排列 f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]); f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2); 35. 递推天地 5 -----直线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+n :=n*(n+1) div 2 + 1; 36. 递推天地 6 -----折线分平面最大区域数 f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n; 37. 递推天地 7 -----封闭曲线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+2*(n-1); :=sqr(n)-n+2; 38 递推天地 8 -----凸多边形分三角形方法数 f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n; 对于 k 边形 f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3) 39 递推天地 9 -----Catalan 数列一般形式 1,1,2,5,14,42,132 f[n]:=C(2k,k) div (k+1); 40 递推天地 10 -----彩灯布置 排列组合中的环形染色问题 f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); 41 线性动态规划 4 -----找数

(f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);

线性扫描 sum:=f[i]+g[j]; (if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);) 42 线性动态规划 5 -----隐形的翅膀 min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)}; if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j); 43 剖分问题 5 -----最大奖励 f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t; 44 最短路 1 -----Floyd f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]); ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j]; 45 剖分问题 6 -----小 H 的小屋 F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k); 46 计数问题 2 -----陨石的秘密(排列组合中的计数问题) Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D]; F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]); 47 线性动态规划 ------合唱队形 两次 F[i]:=max{f[j]+1}+枚举中央结点 48 资源问题 ------明明的预算方案:加花的动态规划 f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[ fa[i]]*p[fa[i]]); 49 资源问题 -----化工场装箱员

50 树形动态规划 -----聚会的快乐 f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);

f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);

51 树形动态规划 -----皇宫看守 f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]); f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,2]); 52 递推天地 -----盒子与球 f[i,1]:=1; f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]); 53 双重动态规划 -----有限的基因序列 f[i]:=min{f[j]+1} g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j]); 54 最大子矩阵问题 -----居住空间 f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min( min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1; 55 线性动态规划 ------日程安排 f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i]) 56 递推天地 ------组合数 C[i,j]:=C[i-1,j]+C[i-1,j-1]; C[i,0]:=1 57 树形动态规划 -----有向树 k 中值问题 F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I, r]]}; 58 树形动态规划 -----CTSC 2001 选课 F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0); 59 线性动态规划 -----多重历史

f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked); 60 背包问题(+-1 背包问题+回溯) -----CEOI1998 Substract f[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]]; 61 线性动态规划(字符串) -----NOI 2000 古城之谜 f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}; f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}; 62 线性动态规划 -----最少单词个数 f[i,j]:=max{f[i,j],f[u-1,j-1]+l}; 63 线型动态规划 -----APIO2007 数据备份 状态压缩+剪掉每个阶段 j 前 j*2 个状态和 j*2+200 后的状态贪心动态规划 f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]); 64 树形动态规划 -----APIO2007 风铃 f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}; g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r]); g[l]=g[r]=1 then Halt; 65 地图动态规划 -----NOI 2005 adv19910 F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j]; 66 地图动态规划 -----优化的 NOI 2005 adv19910 F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j; 67 目标动态规划 -----CEOI98 subtra F[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]]; 68 目标动态规划 ----- Vijos 1037 搭建双塔问题 F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]]; 69 树形动态规划 -----有线电视网

f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]); leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p; 70 地图动态规划 -----vijos 某题 F[i,j]:=min(f[i-1,j-1],f[i,j-1],f[i-1,j]); 71 最大子矩阵问题 -----最大字段和问题 f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1]; 72 最大子矩阵问题 -----最大子立方体问题 枚举一组边 i 的起始,压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]; 枚举另外一组边的其实,做最大子矩阵 73 括号序列 -----线型动态规划 f[i,j]:=min(f[i,j],f[i+1,j-1] (s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),f[i+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ) , f[i,j-1]+1(s[j]=”)”or”]”); 74 棋盘切割 -----线型动态规划 f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2], f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]}; 75 概率动态规划 -----聪聪和可可(NOI2005) x:=p[p[i,j],j]; f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1; f[I,i]=0; f[x,j]=1; 76 概率动态规划 -----血缘关系 F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2; f[i,i]=1; f[i,j]=0;(i,j 无相同基因) 77 线性动态规划 -----决斗 F[i,j]=(f[i,j] and f[k,j]) and (e[i,k] or e[j,k]); (i<k<j) 78 线性动态规划

-----舞蹈家 F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]]); 79 线性动态规划 -----积木游戏 F[i,a,b,k]=max(f[a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k],f[i,a+1,a+1,k]); 80 树形动态规划(双次记录) -----NOI2003 逃学的小孩 朴素的话枚举节点 i 和离其最远的两个节点 j,k O(n^2) 每个节点记录最大的两个值, 并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。 当遍历到某 个孩子节点的时候,只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是,就取次大,否 则取最大值 81 树形动态规划(完全二叉树) -----NOI2006 网络收费 F[i,j,k]表示在点 i 所管辖的所有用户中,有 j 个用户为 A,在 I 的每个祖先 u 上,如果 N[a]>N[b]则标 0 否则标 1,用二进制状态压缩进 k 中,在这种情况下的最小花费 F[i,j,k]:=min{f[l,u,k and (s[i]<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and (s[i]<<(i-1))]}; 82 树形动态规划 -----IOI2005 河流 儿子兄弟表示法——多叉树转二叉树 f[i,j,k]=max{f[i.leftson,j,k']+f[i.rightson,j,k-k']+w[i]*dis[i,j] //i not do f[i.leftson,i,k']+f[i.rightson,j,k-k'-1] //i do}; 83 记忆化搜索 -----Vijos 某题,忘了 F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)}; (pre<=i<=M+1) 84 状态压缩动态规划 -----APIO 2007 动物园 f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)]+NewAddVall 85 树形动态规划 -----访问术馆 f[i,j-c[i]×2]:= max(f[l[i],k], f[r[i],j-c[i]×2-k]); 86 字符串动态规划 -----Ural 1002 Phone if exist(copy(s,j,i-j)) then f[i]:=min(f[i],f[j]+1); 87 多进程动态规划 -----CEOI 2005 service

Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t[i]] ) ; Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t[i]] ) ; Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t[i]] ) ; 88 多进程动态规划 -----Vijos1143 三取方格数 max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-x1,k-x2,l-x3]); if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]); 89 线型动态规划 -----IOI 2000 邮局问题 f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]); 90 线型动态规划 -----Vijos 1198 最佳课题选择 if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k)); 91 背包问题 ----- USACO Raucous Rockers 多个背包,不可以重复放物品,但放物品的顺序有限制。 F[i,j,k]表示决策到第 i 个物品、第 j 个背包,此背包花费了 k 的空间。 f[i,j,k]:=max(f[i-1,j,k],f[i-1,j,k-t[i]]+p[i],f[i-1,j-1,maxtime-t[i]]); 92 多进程动态规划 -----巡游加拿大(IOI95、USACO) d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}; f[i,j]表示从起点出发,一个人到达 i,另一个人到达 j 时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i], 所以我们限制 i>j 分析状态(i,j),它可能是(k,j)(j<k<i)中 k 到达 i 得到(方式 1) ,也可能是(j,k)(k<j)中 k 超过 j 到达 i 得到(方式 2) 。 但它不能是(i,k)(k<j)中 k 到达 j 得到, 因为这样可能会出现重复路径。 即使不会出现重复 路径,那么它由(j,k)通过方式 2 同样可以得到,所以不会遗漏解 时间复杂度 O(n3) 93 动态规划 -----ZOJ cheese f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]; 94 动态规划 -----NOI 2004 berry 线性

F[I,1]:=s[i]; F[I,j]:=max{min{s[i]-s[l-1]},f[l-1,j-1]}; (2≤j≤k, j≤l≤i) 95 动态规划 -----NOI 2004 berry 完全无向图 F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w[i]) and (f[i-1,j-w[i]]); 96 动态规划 -----石子合并 四边形不等式优化 m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]; 97 动态规划 -----CEOI 2005 service (k≥long[i],i≥1) g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]+1,g[i-1,j,k]}; (k<long[i],i≥1) g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]+1,g[i-1,j,k]}; (0≤j≤m, 0≤k<t) g[0,j,k]=0; ans:=g[n,m,0]; 状态优化: g[i, j]=min{g[i-1,j],g[i-1,j-1]+long[i]} 其中(a, b)+long[i]=(a’, b’)的计算方法为: 当 b+long[i] ≤t 时: a’=a; b’=b+long[i]; 当 b+long[i] >t 时: a’=a+1; b’=long[i]; 规划的边界条件: 当 0≤i≤n 时,g[i,0]=(0,0) 98 动态规划 -----AHOI 2006 宝库通道 f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]} 99 动态规划 -----Travel A) 费用最少的旅行计划。 设 f[i]表示从起点到第 i 个旅店住宿一天的最小费用;g[i]表示从起点到第 i 个旅店住宿 一天,在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么: f[i]=f[x]+v[i],g[i]=g[x]+1 x 满足: 1、x<i,且 d[i]–d[x]<= 800(一天的最大行程) 。 2、对于所有的 t<i, d[i]–d[t]<=800,都必须满足: A. g[x]<g[t](f[x] = f[t]时) B. f[x]<f[t] (其他情况) f[0]=0,g[0]=0。 Ans:=f[n+1],g[n+1]; B). 天数最少的旅行计划。

方法其实和第一问十分类似。 设 g[i]表示从起点到第 i 个旅店住宿一天的最少天数;f’[i]表示从起点到第 i 个旅店住 宿一天,在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么: g[i]=g[x]+1,f[i]=f[x]+v[i] x 满足: 1、x<i,且 d[i]–d[x]<=800(一天的最大行程) 。 2、对于所有的 t<i, d[i]–d[t]<=800,都必须满足: f’[x]< f[t] g’[x] = g’[t]时 g’[x] < g’[t] 其他情况 f’[0]=0,g’[0]=0。 Ans:=f’[n + 1],g’[n+1]。

100 动态规划 -----NOI 2007 cash y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]); g:=c[j]*y*a[i]+y*b[i]; f[i]:=max(f[i],g) 至于贪心的话,我只有个人的经验。 。算不上好的总结。 。你如果想了解的话。 。可以 PM 我~~ 希望对你有帮助~~分多的话追追分我也不介意哈~~



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