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2015年茂名一模理科数学试题及答案


茂名市 2015 年第一次高考模拟考试 数学理试题
一、选择题(40 分) 1、设全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,5},B={2, 4, 6},则 (CU A) B 为( A、{2} B、{4, 6} C、{1,3,5} ) D、-1 D、{2,4,6} )

2、 i 为虚数单位,则复数 A、- i B、 i

1+ i 的虚部是( i
C、1

3、设 a ? R ,则“ a =-2”是“直线 l1: ax ? 2 y -1=0 与直线 l2: x ? (a ? 1) y +4=0 平行”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( ) A、 log 1 x
2

B、 y ? 2x -1

C、 y ? x ?
2

1 2

D、 y ? ? x2

5、以点(3,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y =9 相切的圆的方程是( A、 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 =1 C、 ( x ? 3) ? ( y ?1) =2
2 2



B、 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 =1 D、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) =2
2 2

6、如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i ? 1, 2,3, j ? 1, 2,3) ,从中任取三个数, 则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )

A、

3 7

B、

4 7

C、

1 14

D、

13 14

?x ? 2 ? 7、设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最小值为 2,则 ab 的最大值为 ? y ? x ?1 ?
( ) A、1 B、

1 2

C、

1 6

D、

1 4
,则称函 )

8、设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p,定义函数 fp(x)= 数 fp(x)为 f(x)的“P 界函数”.若给定函数 f(x)=x -2x-2,p=1,则下列结论成立的是( A.fp[f(0)]=f[fp(0)] B.fp[f(1)]=f[fp(1)] C.fp [f(2)]=fp[fp(2)] D.f[f(-2)]=fp[fp(-2)] 二、填空题(30 分) (一)必做?
·1·
2

9、已知 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=3,C=120? ,△ ABC 的面积 S=

15 3 , 4

则 c 为____ 10、一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形,则其表面为____

11、若执行如图所示的程序框图,则输出的 S 是____

12、已知等比数列{ an }的第 5 项是二项式 ( x ? 13、已知 A,B 为椭圆

1 6 ) 学优网 展开式的常数项,则 a3a7 为___ 3x

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个顶点,M,N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线 a 2 b2

AM,BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1k2 ? 0 ,若 | k1 | ? | k2 | 的最小值为 1,则椭圆的离心率为____

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? sin ? 与 ? ? cos ? ( ? ? 0, 0 ? ? ? 极坐标为 .

?
2

)的交点的

15、 (几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 的中点,OP =5cm,弦 CD 过点 P,且

CP 1 ? ,则 CD 的长为____cm CD 3

三、解答题(80 分) 16、 (本小题满分 12 分)

·2·

已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? ( x ? R,0 ? ? ? ? ) , f ( ) ?

?

4

3 。 2

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 f (

?

? 5 ? ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin(? ? ) 的值。 2 3 13 2 4

17、 (本小题满分 12 分) 第 117 届中国进出品商品交易会(简称 2015 年春季广交会)将于 2015 年 4 月 15 日在广州举行,为了搞 好接待工作, 组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者, 现将这 20 名志愿者的身高组成如 下茎叶图(单位:cm) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”。 (1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) 。 (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出 ? 的分布列, 并求 ? 的数学期望。

18、 (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥ 平面 ABCD,AD⊥ DC,DB 平分∠ ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD= 1,DB=2 2 ,PD=2。 (1)证明:PA∥ 平面 BDE; (2)证明:AC⊥ PB; (3)求二面角 E-BD-C 的余弦值;

·3·

19、 (本小题满分 14 分) 已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 ,且 2nSn?1 ? 2(n ? 1)Sn ? n ( n ? 1)( n ? N *),数列 { bn } 满足

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N*) , b3 =5,其前 9 项和为 63。
(1)求数列数列{ an }和{ bn }的通项公式; (2)令 cn = 最小值。

bn an ? ,数列{ cn }的前 n 项和为 Tn,若对任意正整数 n,都有 Tn ? 2n ?[a, b] ,求 b ? a 的 an bn

20、 (本小题满分 14 分) y=-1, P 为平面上的动点, 已知 F (0,1) , 直线 l: 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q, 且 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程。 (2)设 M 为直线 l1:y=-m(m>2)上的任意一点,过点 M 作轨迹 C 的两条切线 MA,MB,切点分 别为,B,试探究直线 l1 上是否存在点 M,使得△ MAB 为直角三角形?若存在,有几个这样的点,若不存在, 请说明理由。

21、 (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln | x | ? x ? ax 。
2

(1)求函数 f(x)的导函数 f '( x) ; (2)若 x1 , x2 为函数 f(x)的两个极值点,且 x1 ? x2 ? ?

1 ,试求函数 f(x)的单调递增区间; 2

(3)设函数 f(x)的点 C( x0 , f ( x0 ) ) ( x0 为非零常数)处的切线为 l,若函数 f(x)图象上的点都不在直 线 l 的上方,求 x0 的取值范围。

·4·

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·7·

·8·

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·12·



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