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2015年最新高考总复习高三文科数学函数的图象


2015 年人教版数学必修一 函数的图象



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 5 日

第7讲

函数的图象

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.函数 y=x|x|的图象大致是 ( ).

解析 答案

函数 y=x|x|为奇函数,图象关于原点对称. A ( ).

2.(2013· 青岛一模)函数 y=21-x 的大致图象为

解析

1 ?1? ?1? y=21-x=?2?x-1,因为 0<2<1,所以 y=?2?x-1 为减函数,取 x=0 时, ? ? ? ?

则 y=2,故选 A. 答案 A ( ).

3.(2013· 福建卷)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是

解析

函数 f(x)=ln(x2+1)的定义域为(-∞,+∞),又因为 f(-x)=f(x),故

f(x)为偶函数且 f(0)=ln 1=0,综上选 A. 答案 A ( ).

4.(2014· 日照一模)函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是

解析

易知 f(x)为偶函数,故只考虑 x>0 时 f(x)=lg(x-1)的图象,将函数 y

=lg x 图象向 x 轴正方向平移一个单位得到 f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶 函数性质得到 f(x)的图象. 答案 B ( ).

5.(2013· 山东卷)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为

解析

函数 y=xcos x+sin x 在 x=π 时为负,排除 A;易知函数为奇函数,

图象关于原点对称, 排除 B;再比较 C、D,不难发现当 x 取接近于 0 的正 数时 y>0,排除 C. 答案 D

二、填空题 6.函数 y=(x-1)3+1 的图象的对称中心是________. 解析 y=x3 的图象的对称中心是(0,0),将 y=x3 的图象向上平移 1 个单位,

再向右平移 1 个单位,即得 y=(x-1)3+1 的图象,所以对称中心为(1,1). 答案 (1,1)

7.若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则 a 的取值范围是________.

解析

画出 y=|ax|与 y=x+a 的图象,如图.只需 a>1.

答案

(1,+∞)

?log2x?x>0?, 8. (2013· 长沙模拟)已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x)-a=0 有 ?2 ?x≤0?, 两个实根,则实数 a 的范围是________.

解析

当 x≤0 时,0<2x≤1,所以由图象可知要使方程 f(x)-a=0 有两个实

根,即 f(x)=a 有两个交点,所以由图象可知 0<a≤1. 答案 (0,1]

三、解答题 9.已知函数 f(x)= x . 1+x

(1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调区间.



(1)f(x)=

x 1 1 =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=- x的图象 1+x x+1

向左平移 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-1,+∞).

1 10.设函数 f(x)=x+ x的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2,C2 对 应的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析式; (2)若直线 y=m 与 C2 只有一个交点,求 m 的值和交点坐标. 解 (1)设点 P(x,y)是 C2 上的任意一点,则 P(x,y)关于点 A(2,1)对称的点为

1 1 1 P′(4-x,2-y), 代入 f(x)=x+x , 可得 2-y=4-x+ , 即 y=x-2+ , 4-x x-4 ∴g(x)=x-2+ 1 . x-4

?y=m, ? (2)由? 1 y=x-2+ , ? x-4 ? 4(4m+9),

消去 y 得 x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=(m+6)2-

∵直线 y=m 与 C2 只有一个交点, ∴Δ=0,解得 m=0 或 m=4. 当 m=0 时,经检验合理,交点为(3,0); 当 m=4 时,经检验合理,交点为(5,4).

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 ?1? 1.(2013· 河南三市调研)若实数 x,y 满足 y=? e?|x-1|,则 y 关于 x 的函数图象的 ? ? 大致形状是 ( ).

解析

??1?x ? ? ?x≥0?, ?1?|x-1| ?1?|x| ? ∵y=? e? ,∴它的图象是将 y=? e? =?? e? ? ? ? ? ? ?ex?x<0?,

的图象向右平

移一个单位得到的,故选 B. 答案 B

2.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等 f?x? 式cos x<0 的解集为 ( ).

? ? π A.?x|-2<x<-1? ? ? ? π π? C.?x|-2<x<-1,或1<x<2? ? ?

? π? B.?x|1<x<2? ? ?

D.{x|-1<x<1}

解析

当 x∈(0,1)时,cos x>0,f(x)>0;

π? ? 当 x∈?1,2?时,cos x>0,f(x)<0; ? ? ?π ? 当 x∈?2,4?时,cos x<0,f(x)<0, ? ? 当 x∈(-1,0)时,cos x>0,f(x)>0; ? π ? 当 x∈?-2,-1?时,cos x>0,f(x)<0; ? ? π? ? 当 x∈?-4,-2?时,cos x<0,f(x)<0. ? ? f?x? 故不等式cos x<0 的解集为
? ? π ? ? π ? ?x?- <x<-1,或1<x< ?. 2 ? ? ? 2 ? ?

答案

C

二、填空题 3.(2013· 广州模拟)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且 在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则 k 的 取值范围是________.

解析

由题意作出 f(x)在[-1,3]上的示意图如图,

记 y=k(x+1)+1, ∴函数 y=k(x+1)+1 的图象过定点 A(-1,1). 记 B(2,0),由图象知,方程有四个根, 即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 的图象有四个交点, 故 kAB<k<0,kAB= 答案 ? 1 ? ?-3,0? ? ? 0-1 1 1 =-3,∴-3<k<0. 2-?-1?

三、解答题 4.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实 数根,求实数 a 的取值范围. 解
2 ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞? f(x)=? 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?

作出图象如图所示.

原方程变形为 |x2-4x+3|=x+a. 于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象.如图.则当直线 y=x+a 过点(1,0)时 a=-1;当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切 时, ?y=x+a, 由? ? x2-3x+a+3=0. 2 ?y=-x +4x-3

3 由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=-4. 3? ? 由图象知当 a∈?-1,-4?时方程至少有三个不等实根. ? ?


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