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2012年全国高中数学联赛模拟试题(10) 文档


2012 年全国高中数学联赛模拟试题(8) 年全国高中数学联赛模拟试题( )
一试
一、 填空题:
2

1 求方程 x + 2 x sin( xy ) + 1 = 0 的实数解_____________ 2 已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 =

2 an ? 1 ( n ∈ N * ) ,则 a2010 = ________ 4 an + 6

3 两位数 ab

(a > 0, b > 0)

若满足 (ab , ba) ≠ 1 , 则称 ab 为好数, 则好数共有_____个。

4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的底 面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积 ...
的可能值有_______个。

5 若 a 是 1 + 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a +2 b



6 已知抛物线 y 2 = 4 x 及其上的一点 P , 焦点 F (1, ) 和 A (5, 2 ) ,则 PA + PF 的 0 2
2 2

最小值为 。 7 有 6 个相同的红球和 5 个相同的白球放入一排 1 至 100 标号的盒子里, 其中红球和白球间 隔放置(即从左到右必须 1 红 1 白间隔放) ,并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶,则共 有_____种放置方案。 8 设常数 k 使得方程 2 x 2 + 2 y 2 ? 5 xy + x + y + k = 0 在平面直角坐标系 xOy 中表示两条相

uuu uuu r r PA = PB = 1 , 则 交 直 线 , 交 点 为 P . 若 点 A, B 分 别 在 这 两 条 直 线 上 , 且 uuu uuu r r PA ? PB = ______ .
二、解答题: 9 已知 x, y , z,w ∈ R + ,求 M =

xy + 2 yz + 3 zw 的最大值。 x + y 2 + z 2 + w2
2

10 数 列 {an } 定 义 如 下 : a1 =

2 , a n +1 = 2 ? 4 ? a n

2

, 而 数 列 {bn } 定 义 为

bn = 2 n +1 a n , n ∈ N *
(1) 求 {an } 的通项公式 (2) 证明: bn < bn +1 , n ∈ N * . (3) 证明: bn < 7, n ∈ N * .

11 已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) ,其长轴为 A1 A , P 是椭圆上不同于 A1 , A 的一个 a2 b2

动点,直线 PA, PA1 分别与同一条准线 l 交于 M , M 1 准线两点,试证明:以线段 MM 1 为 直径的圆经过椭圆外的一个定点。

二试
1、 在等腰△ABC 中, AB=AC , D 是边 AC 的中点, E 是点 D 在 BC 上的投影, F 是 DE 的中点. 证明: BF 垂直于 AE 的充要条件是: △ABC 是正三角形.

A

D H B F E C

G

2、 设△ABC 的三边分别是 a, b, c,且 a+b+c=3. 求证:
13 4 9 ≤ a 2 + b 2 + c 2 + abc < 3 3 2 .

3、设正整数 n 大于 1,它的全部正因数为 d1,d2,…,dk,满足 1=d1<d2<…<dk = n。再设 D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk。(i) 证明:D<n2;(ii) 确定所有的 n,使得 D 整除 n2。

4、 100 种颜色对 100 × 100 的棋盘进行染色, 用 使得每一格均被染为其中一种颜色且每种颜

色恰好使用了 100 次. 求证:棋盘上存在一行或一列,其中的方格被染为至少 10 种颜色。

2012 年全国高中数学联赛模拟试题(6) 年全国高中数学联赛模拟试题( )
第一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
1.从 {1, 2,L ,100} 中任取 5 个数(可以相同) ,则取到合数的个数的数学期望是 . 2.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、 、 AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同 向.则双曲线的离心率为
2 2 2

uuu uuu uuu r r r

uuu r

uuu r

. .

3.在 ?ABC 中,如果 a + b = 6c ,则 (cot A + cot B ) tan C 的值等于

4 . 已 知 集 合 M = {1, 2,3} , N = {1, 2,3, 4} , 定 义 函 数 f : M → N . 设 点

A(1, f (1)), B (2, f (2)), C (3, f (3)) , ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 uuu uuur r uuu r DA + DC = λ DB (λ ∈ R ) ,则满足条件的函数 f ( x) 有____个.
5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意的 x ∈ R ,都有 f ( x + 3) f ( x ) + 3, ≤

D , 且

f ( x + 2) ≥ f ( x) + 2 ,如果 f (1) = 2010 ,则 f (2011) 的值为
6.数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 =
2010 (n + 1)an k (n ∈ N * ) ,则 ∑ = 2 n + an k =1 ak

. .

7.立方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N 分别在线段 AB,BB1 上(不包括线段的端点) , 满足 AM = B1 N ,则 A1 M 与 C1 N 所成角的取值范围是 8.若非负实数 x, y , z 满足 x + y + z + x + 2 y + 3 z =
2 2 2

. .

13 ,则 ( x + y + z ) min = 4

二、解答题(共 56 分) 9. (本题满分 16 分) 已知直线 l : x = my + q 与椭圆 Γ : 3 x 2 + 4 y 2 = 12 交于不同两点 A、B . 设 A 关于椭 圆长轴的对称点为 A1 ,F 为椭圆的右焦点,试求 A1 、F、B 三点共线的充要条件. 10. (本题满分 20 分) 正数 a, b, c 同时满足: abc ≤ 三角形. 11. (本题满分 20 分) 数列 {an } 满足: a1 = 1, a2 = 2 ,
2 an + 2 an +1 + 1 = 2 , (n = 1, 2, 3,L) .试求 ?a2010 ? . ? ? an an + 1

1 1 1 1 , 2 + 2 + 2 < 9 .求证:存在以 a, b, c 为三边长的 4 a b c

(注: [ a ] 表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.) 第二试 一、 (本题满分 40 分) 如图,三角形 ABC 中,M 为 BC 的中点,以 AM 为直径的圆 O 分别与 AC、AB 交于 D、E 两点,圆 O 在 D、E 两点的切线交于点 H,证明: HM ⊥ BC .
A

O D E

B

M

C

H

二、 (本题满分 40 分) 已知 a, b, c 都是非负实数,且 a + b + c = 2 ,求 P =

ab bc ca + + 的最大值. 2 2 1 + c 1 + a 1 + b2

三、 (本题满分 50 分) 设数列 {an } 满足: a1 = a2 = 1, an + 2 = an +1 + an (n ∈ N ) .
*

求证:对任意的 n ∈ N , a2 n +1 都不含 4q + 3 型质因子( q ∈ N ) .
*

四、 (本题满分 50 分) 单位圆内或圆上有 8 个点,任意三点不共线.求证:总有某三个点为顶点的三角形面积 小于

π
8




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