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2015高三数学(理)周练二十一


亭湖高级中学 2015 届高三数学周练二十一
命题:周荣艳 张卫国 审核:徐福海

一、 填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1.设集合 A ? { x ? 1 ? x ? 2}, B ? { x 0 ? x ? 4}, 则 A ? B ? ▲ ____.

r />2.已知 z ? (a ? i )(1 ? 2i )(a ? R, i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上, 则a ? ▲ .

3.若命题 " ?x ? R, x 2 ? 2mx ? m ? 0" 是假命题,则实数 m 的取值范围是 __▲_. 4.在平面直角坐标系中,已知角 ? ?

?
4

的终边经过点 P(3,4), 则 cos? ?



.

5.甲、乙两个学习小组各有 10 名学生,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示, 则在这次测验中成绩较好的是
甲 3 94 866431 0 5 6 7 8 9 乙 8 47 45669 02



组.

(第 5 题图)

6.一个袋中装有 2 只红球、3 只绿球,从中随机抽取 3 只球,则恰有 1 只红球的 概率是 ▲ . ▲ ▲ . . 7.若等差数列 {a n } 的前 5 项和 S 5 ? 25, 且 a4 ? 3, 则 a 7 ? 8.若直线 y ? x ? b 是曲线 y ? x ln x 的一条切线,则实数 b ?

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 sinA ? 3 sinC , B ? 30?, b ? 2, 则 ?ABC 的面积是 ▲ . 10.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,则下列命题:①若 m ⊥n,n? α ,则 m⊥α ;②若 m⊥α ,n∥m,则 n⊥α ;③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β ,其中正确的是____▲____(填序号). B 11.如图, ?ABC 中, AC ? 3, BC ? 4, ?C ? 90?, D 是 BC 的中点, 则 BA ? AD 的值为 __▲____ .
D

C
-1-

A
第 11 题图

12.已知点 A, B 分别在函数 f ( x ) ? e x 和 g( x) ? 3e x 的图象上,连接 A, B 两点,当 AB 平行于 x 轴时, A, B 两点的距离是 ▲ .

x2 y2 13.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e,若椭圆上存在 a b 点 P,使得 PF1 =e,则该离心率 e 的取值范围是___▲_____. PF2
1 x 1 3

14.已知函数 f (x) 满足 f (x) ?2 f ( ), 当 x ?[1,3], f ( x) ? ln x ,若在区间[ ,3] 内,函数
g (x) ? f (x) ?ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本题满分 14 分) x x x 已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 3 3 3 (1)将 f ( x) 写成 A sin(? x ? ? ) ? b 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2) 如果 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 b2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及 此时函数 f ( x) 的值域.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60o .平面 ACEF ? 平 面 ABCD ,四边形 ACEF 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACEF ; (2)当 FM 为何值时, AM / / 平面 BDE ?证明你的结论. E
M F C A
(第 16 题图)

D

B

-2-

17.(本小题满分 15 分) 如图,P 为某湖中观光岛屿,AB 是沿湖岸南北方向道路,Q 为停车场,PQ ?
26 km, 某 5

旅游团浏览完岛屿后,乘游船回停车场 Q , 已知游船以 13 km / h 的速度沿方位角 ? 的方向 行驶, sin? ?
5 . 游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲 13

为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖岸南北大道 M 处, 然后乘出租车到停车场 Q 处(设游客甲到达湖滨大道后立 即乘到出租车).假设游客甲乘小船行驶的方位角是 ? ,出 租车的速度为 66 km / h. (1) 设 si n? ?
4 , 问小船的速度为多少 km / h 时,游客甲 5
A

Q

?
?
P

M

才能和游船同时到达点 Q; (2) 设小船速度为 10 km / h , 请你替该游客设计小船行驶 的方位角 ? , 当角 ? 的余弦值的大小是多少时,游客 甲能按计划以最短时间到达 Q .
B

18. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 过 F2 作直线 l 与椭圆 C 交 a 2 b2

于点 M 、 N .
1 2 1 1 右准线于点 P ,求 的值; ? PM PN ( 2 )当 a 2 ? b 2 ? 4 时,设 M 为椭圆 C 上第一象限内的点,直线 l 交 y 轴于点 Q ,

(1)若椭圆 C 的离心率为 ,右准线的方程为 x ? 4 , M 为椭圆 C 上顶点,直线 l 交

F1M ? F1Q ,证明:点 M 在定直线上.

-3-

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?a n ? 、?bn ? ,其中, a1 ? 满足 b1 ? 2, bn?1 ? 2bn . (1)求数列 ?a n ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)是否存在自然数 m ,使得对于任意 n ? N* , n ≥ 2, 有 1 ? 恒成立?若存在,求出 m 的最小值;
? 1 , n为奇数 ? (3)若数列 ?cn ? 满足 cn ? ? nan ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . ? b , n为偶数 ? n

1 ,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? n 2 an (n ? N* ) ,数列 ?bn ? 2

1 1 1 m ?8 ? ?L ? ? b1 b2 bn 4

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x ( a、 b 是不同时为零的常数),导函数为 f ? ( x) .
1 (1)当 a ? 时,若存在 x ?[?3, ?1] ,使得 f ? ( x) ? 0 成立,求 b 的取值范围; 3

(2)求证:函数 y ? f ? ( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点; (3)若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程
1 f ( x) ? ? t ,在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4

-4-

亭湖高级中学 2015 届高三数学周练二十一理科附加题
?a 0? y2 x2 1.若圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? ?(a ? 0, b ? 0) 对应的变换下变成椭圆 E : 4 ? 3 ? 1, 求矩阵 ? 0 b?

A 的逆矩阵 A ?1 .

? ?x ? ? ? C 2.在平面直角 坐标系 xOy 中, 圆 的参数方程为 ? ? y?? ? ?

2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,以 O 为极点,x 2 ? r sin? 2

轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

?
4

) ? 1, 若圆 C 上的点到直线 l

3.如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? 1 , D1 D ? 2 ,点 P 在棱 CC1 上,且 ?A1 PB ? ? . ? ( I ) 求 PC 的长; ( II)求钝角二面角 A ? A1 B ? P 的大小.
A1 D1 B1 C1

P

D
A B (第 3 题图)

C

-5-

2 3 ? ? ?, n n≥4, 4.某品牌设计了编号依次为 1,,, 且n ? N* 的 n 种不同款式的时装,由甲、乙两位模特

?

?

分别独立地从中随机选择 i,j (0≤i,j≤n, 且i,j ? N) 种款式用来拍摄广告.
(m ? 1 ) ( I )若 i ? j ? 2 ,且 甲在 1 到 m (m 为给定的正整数,且 2≤m≤n ? 2) 号中选择,乙在
[来源:学科网 ZXXK]

m ? 1≤t≤n) 为款式(编号) s 和 t 同时被选中的概率,求所有的 Ps t 到 n 号中选择.记 Pst (1≤s≤m,

的和; ( II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.

-6-

亭湖高级中学 2015 届高三数学周练二十一答案
1. [0, 2] 2.

1 2

3. ? 0,1? 9. 3

4.

7 2 10
10. ②

5.甲

6.

3 5
12. ln 3

7.-3

8.-1 14. [

11. ?17

13.[ 2-1,1)

ln 3 1 , ) 3 e

15.解:(1) f ( x) ?

1 2x 3 2x sin ? (1 ? cos ) 2 3 2 3

1 2x 3 2x 3 2x π 3 . ………………………………4 分 ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? 2 3 2 3 2 3 3 2
2x π 2x π 3k ? 1 ? ) ? 0 ,得 ? ? kπ (k ? Z) ,所以 x ? , k ? Z , …………6 分 3 3 3 3 2 3k ? 1 (k ? Z) .………………………………………………6 分 所以对称中心的横坐标为 2
由 sin( (2) 由已知 b2 ? ac 及余弦定理,得:

cos x ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ≥ ? . ………………………………8 分 ? 2ac 2 2ac 2ac
………………………………10 分

1 π π 2 x π 5π ? ≤ cos x ? 1, 0 ? x ≤ ,? ? ? ≤ . 2 3 3 3 3 9 π π 5π π π 2x π Q| ? |?| ? |, ? sin ? sin( ? ) ≤ 1 3 2 9 2 3 3 3

? 3 ? sin(

2x π 3 3 3 ,即 f ( x ) 的值域为 ( 3,1 ? ? )? ≤1 ? ] . ……………12 分 3 3 2 2 2
π 3

综上所述, x ? (0, ] , f ( x ) 值域为 ( 3,1 ?

3 ]. 2

………………………………14 分

16. (1)由题意知, ABCD 为等腰梯形,且 AB ? 2a , AC ? 3a , 所以 AC ? BC , 又平面 ACEF ? 平面 ABCD ,平面 ACEF 平面 ABCD ? AC , 所以 BC ? 平面 ACEF . …………………6 分 3 a , AM / / 平面 BDE . (2)当 FM ? …………………8 分 3 在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连结 EN ,则 CN : NA ? 1: 2 , E

3 a , EF ? AC ? 3a , 3 所以 EM ? AN ,又 EM / / AN , 所以四边形 EMAN 为平行四边形,…………11 分
因为 FM ?
-7-

F

M

D A N

C B

(第 16 题图)

所以 AM / / NE , 又 NE ? 平面 BDE , AM ? 平面 BDE , 所以 AM / / 平面 BDE . …………………14 分 17.解:(Ⅰ) 如图,作 PN ? AB , N 为垂足.

A Q

sin ? ?

5 4 , sin a ? ,在 Rt △ PNQ 中, 5 13
26 5 ? ? 2 (km), 5 13

PN ? PQ sin ? ?

?
P

?

M N B

26 12 QN ? PQ cos? = ? ? 4.8 (km). 5 13

在 Rt △ PNM 中, MN ?

PN 2 ? ? 1.5 (km) .………4 分 tan a 4 3

设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1 h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t 2 h,小船的速度为 v1 km/h,则
26 PM MQ 2.5 3.3 5 1 PQ 2 ? ? ? ? ? t1 ? ? 5 ? (h), t2 ? (h) . v1 66 v1 66 2v1 20 13 13 5

…………6 分

由已知得: t2 ? ∴小船的速度为

5 1 1 2 1 25 ? ? ? ,∴ v1 ? .………………………8 分 ? t1 , 2 v 20 20 5 20 3 1

25 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q . 3

(Ⅱ)在 Rt △ PMN 中,
PM ? PN 2 PN 2cos a (km), MN ? (km). ? ? sin a sin a tan a sin a 2cos a (km). sin a

∴ QM ? QN ? MN ? 4.8 ? ∴t ? ∵ t? ?

………………………10 分

PM QM 1 4 cos a 1 33 ? 5cos a 4 = . ? ? ? ? ? ? 10 66 5sin a 55 33sin a 165 sin a 55

1 5sin 2 a ? (33 ? 5cos a )cos a 5 ? 33cos a , ? ? 165 sin 2 a 165sin 2 a 5 ∴令 t ? ? 0 得: cos a ? . 33
当 cos a ?
5 5 时, t ? ? 0 ;当 cos a ? 时, t ? ? 0 . 33 33

…………………12 分

∵ cos a 在 ? ? (0,

?
2

) 上是减函数,∴当方位角 a 满足 cos a ?

5 时,t 最小, 33

即游客甲能按计划以最短时间到达 Q …………………………15 分

?c 1 ? , ? ? a ? 2, ?a 2 18. (1)设 F2 (c,0) ,则 ? 2 ,解得 ? , ?c ? 1 ?a ? 4 ? ?c x2 y2 ? ? 1, 所以椭圆 C 的方程为 4 3
-8-

……………2 分

则直线 l 的方程为 y ? ? 3( x ? 1) ,令 x ? 4 ,可得 P(4, ?3 3) ,

? y ? ? 3( x ? 1), 8 3 3 5x2 ? ) , ……4 分 联立 ? x 2 y 2 ,得 ? 2 x ? 0 ,所以 M (0, 3) , N ( , ? 4 5 5 ?1 ? ? 3 ?4 1 1 1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? . 所以 PM PN 8 24 3 (0 ? 4) 2 ? ( 3 ? 3 3) 2 8 3 3 2 2 ( ? 4) ? (? ? 3 3) 5 5 …………………………6 分 y0 (2)设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) , F2 (c,0) ,则直线 l 的方程为 y ? ( x ? c) , x0 ? c ?cy0 令 x ? 0 ,可得 Q(0, …………………………8 分 ), x0 ? c ?cy0 y0 x0 ? c ? ? ?1 ,整理得 y0 2 ? x0 2 ? c 2 , 由 F1M ? F1Q 可知, k F1M ? k F1Q ? x0 ? c c
又 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2a 2 ? 4 ,

? a2 ? y0 2 ? x0 2 ? (2a 2 ? 4), x ? , ? ? 2 ? 0 2 2 联立 ? x ,解得 ? , y0 2 0 ?1 ? 2 ? ?y ? 2 ? a 2 4?a ?a ? 0 2 ? 所以点 M 在定直线 x ? y ? 2 上.

…………………………12 分

…………………………15 分

19.解: (1)因为 S n ? n 2 an (n ? N* ) .当 n ≥ 2 时, S n ?1 ? (n ? 1) 2 an ?1 , 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? n2an ? (n ?1)2 an?1 所以 (n ? 1)an ? (n ?1)an?1 ,即

an n ?1 . ? an ?1 n ? 1

………………………………2 分

又 a1 ?

a a a a a 1 ,所以 an ? n ? n ?1 ? n ? 2 ??? 3 ? 2 ? a1 2 an ?1 an ? 2 an ?3 a2 a1
……………………4 分

?

1 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 1 ? ? ? …… ? ? ? ? . n ?1 n n ?1 4 3 2 n(n ? 1)

当 n ? 1 时,上式成立, 因为 b1 ? 2, bn?1 ? 2bn ,所以 ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 故 bn ? 2n . ……………………………………………………………………6 分

(2) 由(1)知 bn ? 2n ,则

1?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? … ? ? 1 ? ? 2 ? …+ n ? 2 ? n . b1 b2 bn 2 2 2 2
-9-

假设存在自然数 m ,使得对于任意 n ? N* , n ≥ 2, 有 1 ?

1 1 1 m ?8 恒成立,即 ? ?L ? ? b1 b2 bn 4

2?

1 m ?8 m ?8 恒成立,由 ? ≥ 2 ,解得 m ≥ 16 .…………8 分 n 2 4 4
1 1 1 m ?8 恒成立,此时, ? ?L ? ? b1 b2 bn 4

所以存在自然数 m ,使得对于任意 n ? N* , n ≥ 2, 有 1 ?

m 的最小值为 16. ………………………………………………10 分 (3)当 n 为奇数时,
Tn ? ( 1 1 1 ? ? ??? ? ) ? (b2 ? b4 ? ??? ? bn?1 ) ? [2 ? 4 ???? ? (n ? 1)] ? (22 ? 24 ???? ? 2n?1 ) a1 3a3 nan
n ?1

2 ? n ? 1 n ? 1 4(1 ? 4 2 ) n2 ? 4n ? 3 4 n?1 ? ? ? ? ? (2 ? 1) ;…………………12 分 2 2 1? 4 4 3
当 n 为偶数时,

Tn ? [

1 1 1 ? ? ??? ? ] ? (b2 ? b4 ? ??? ? bn ) ? (2 ? 4 ???? ? n) ? (22 ? 24 ???? ? 2n ) a1 3a3 (n ? 1)an?1
n

2 ? n n 4(1 ? 4 2 ) n 2 ? 2n 4 n ? ? ? ? ? (2 ? 1) . 2 2 1? 4 4 3

…………………………14 分

? n 2 ? 4n ? 3 4 n ?1 ? (2 ? 1), n为奇数 ? ? 4 3 因此 Tn ? ? . 2 ? n ? 2n ? 4 (2n ? 1), n为偶数 ? 4 3 ?
20. 解 : (1) 当 a ?

……………………………16 分

1 1 1 2 2 2 时 , f ? ( x) ? x ? 2bx ? (b ? ) ? ( x ? b) ? b ? b ? , 其 对 称 轴 为 直 线 3 3 3

x ? ?b .………………………………………………………………………………2 分
当?

? 26 ? ?b ≥ ?2, 解得 b ? , 15 ? ? f ? (?3) ? 0,

当?

? 26 ? ?b ? ?2 ,无解,所以 b 的取值范围为 ( ?? , ) .…………………………4 分 15 ? ? f ? (?1) ? 0

⑵ 因为 f ? ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? (b ? a)

1 ,适合题意. 2 b b b 2 2 当 a ? 0 时, 3x ? 2 x ? ? 1 ? 0 ,令 t ? ,则 3x ? 2tx ? t ? 1 ? 0 . a a a 1 1 2 令 h( x) ? 3x ? 2tx ? t ?1 ,则 h( ? ) ? ? ? 0 . …………………………6 分 2 4
解法 1 当 a ? 0 时, x ? ?
- 10 -

当 t ? 1 时, h(0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (? , 0) 内有零点; 当 t ≤ 1 时, h(?1) ? 2 ? t ≥1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 ( ?1, ? ) 内有零点. 因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y ? f ? ( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点. …………………………8 分

1 2

1 2

1 b ? 2a . f ? (0) ? b ? a , f ? (?1) ? 2a ? b , f ? (? ) ? 3 3 1 由 a、 b 于不同时为零,所以 f ? ( ? ) ? f ? (?1) ? 0 , 3 1 或 f ?(? ) ? f ?(?1) ? 0 故结论成立. …………………………………………10 分 3
解法 2 (3)因为 f ( x) ? ax ? bx ? (b ? a) x 为奇函数,所以 b ? 0 ,所以 f ( x) ? ax ? ax ,
3 2 3

又 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,所以 a ? 1 , 即 f ( x) ? x ? x .
3

……………………………………………………12 分

因为 f ?( x) ? 3( x ?

3 3 3 3 3 3 在 [? ( , ??) 上是增函数, )( x ? ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? )、 , ]上 3 3 3 3 3 3

是减函数.由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1, x ? 0 .…………………………14 分

当 ?1 ? t ≤ ?

1 1 3 3 3 3 时, f (t ) ≥ ? t ? 0 ,即 t ? t ≥ ? t ? 0 ,解得 ? ; ≤t ≤? 4 4 3 2 3

当?

1 3 3 ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,解得 ? ? t ? 0; 4 3 3

当 t ? 0 时,显然不成立; 当0 ? t ≤

1 1 3 3 3 时, f (t ) ≤ ? t ? 0 即 t ? t ? ? t ? 0 ,解得 0 ? t ≤ ; 4 4 3 3

当t ?

1 3 1 3 2 3 3 3 8 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 或 ? t ? f ( ,故 或t ? . )?? ?t ? 4 3 4 3 9 3 2 9

所以,所求 t 的取值范围是 ?

3 3 8 3 或t ? .………………16 分 ≤ t ? 0 ,或 0 ? t ? 2 2 9

(各题如有其他解法,请相应给分)

- 11 -

附加题
1. 设点 P ( x, y ) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 则? …………………………………………2 分 ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? 0 b ? ? y ? ?by ? ? y ?? ? y ? ? by.
因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E :

x2 y2 a 2 x2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ? 1 ,………………4 分 4 3 4 3

? a2 ? 1, ? ?a2 ? 4, ? ?4 2 2 又圆方程为 x ? y ? 1 ,故 ? 2 ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . ? ?b ? 3, ? b ? 1, ? ?3
所以 A ? ?

?2 ?0

0? ? ,……………………………………………………………………6 分 3?
? 0 ? ? .…………………………………………………………………10 分 3? 3 ? ?
2 ? r cos? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ) ,消去参数得, 2 ? r sin ? 2

?1 ?2 所以 A?1 ? ? ? 0 ? ?

? ?x ? ? ? C 2.因为圆 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

[来源:Z§xx§k.Com]

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 x ? ? y ? ? r r ? 0 ,所以圆心 ,半径为 r ,……3 分 C ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?
因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 ,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,………6 分

? 4

?
圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,……………………8 分

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 .…10 分 3.解: (1)如图,以点 D 为原点 O , DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 D ? 0, 0, 0? , B ?1, 1, 0 ? , A1 ?1, 0, 2 ? , 设 P ? 0, 1, ? ? ,其中 ? ? ? 0, 2? ,

- 12 -

因为 ?A1 PB ? ? ,所以 A1 P ? BP ? 0 , ? 即 ? ?1, 1, ? ? 2? ? ? ?1, 0, ? ? ? 0 , 得 ? ? 1 , 此时 P ? 0, 1, 1? ,即有 PC ? 1 ;

D1 A1 B1

C1

P

(2)

6 6

D
A B (第 3 题图)

C

(m ? 1) 4.解: (1)甲从 1 到 m (m 为给定的正整数,且 2≤m≤n ? 2) 号中任选两款,乙从 到 n 号中
2 任选两款的所有等可能基本事件的种数为 C2 m Cn ? m , m ? 1≤t≤n) 同时被选中”为事件 B,则事件 B 包含的基本事件 记“款式 s 和 t (1≤s≤m,

[来源:学科网]

1 1 1 的种数为 C1 st ? 1Cm?1 ? C1Cn ?( m?1) ,所以 P ( B ) ? P
1 则所有的 Pst 的和为: C1 m Cn ? m ?

CC

1 1

1 m ?1

?C C
2 m

C C

1 1 1 n ? ( m ?1) 2 n?m

?

4 , m(n ? m)

4 ? 4 ;(4 分) m(n ? m)

n 1 2 n (2)甲从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为: C0 n ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? 2 ,

同理得,乙从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为 2n , 据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为: 2n ? 2n ? 4n , 记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件 A,则事件 A 的对立事件 A 为:“没 有一个款式为 甲和乙共同认可”,而事件 A 包含的基本事件种数为: 0 1 2 n 1 0 1 2 n ?1 n ?1 0 1 n 0 C0 n ? (Cn ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ) ? Cn ? (Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ??? ? Cn ?1 ) ? ??? ? Cn ? (C1 ? C1 ) +Cn ? (C0 )
[来源:Z+xx+k.Com]

n n 1 n ?1 ?1 n 0 n ? C0 ? ??? ? Cn n ? 2 ? Cn ? 2 n ? 2 ? Cn ? 2 ? (1 ? 2) ? 3 ,

所以 P( A) ? 1 ? P ? A? ? 1 ? 3 .(10 分) 4

??

n

- 13 -


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