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江西师大附中2013-2014第三次月考试题高三数学


江西师大附中高三年级数学(理)期中考试卷
命题人:刘芬 审题人:占华平 2013.11 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

x2 y 2 1. 设集合 A ? {( x, y ) | 则 B ? ? 1} , ? {( x, y) | y ? 3x } , A∩B

的子集的个数是( 4 16
A.4 2.函数 y ? B.3 C.2 ) C.(1, ?? ) ) D.-7 D. ( ,1) ? (1, ??) D.1

)

1 的定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
B. ( , ??)

A. ( ,1) 3. 已知 tan A.

3 4

3 4

3 4

?
2

=2, 则

6sin ? ? cos ? 的值为( 3sin ? ? 2cos ?

7 6 B.7 C.- 6 7 4.设 0 ? a ? b ? 1, 则下列不等式成立的是( )
A. a ? b
3 3

B.

1 1 ? a b

C. a ? 1
b

D. lg ? b ? a ? ? 0 ) D.40

5. 已知等比数列 ?an ? , 前 n 项和为 Sn , S3 ? 2, S6 ? 6, 则S12 ? ( A.10 B.20 C.30

6.将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 的图象.若 y ? g ( x) 在[ 0, A.1 B.2

?
3

)(? ? 0) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 3?
) D.4

? ]上为增函数,则 ? 的最大值( 4
C.3

7.如图,PA 垂直于圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E, F 分别是点 A 在 P B, P C 上的射影,给出下列结论: ① AF ? PB ;② EF ? PB ;③ AF ? BC ;④ AE ? BC . 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

8. 已知在等差数列 ? an ? 中 3a2 ? 7a7 , a1 ? 0 ,则下列说法正确的是( A. a11 ? 0 B. S10 为 S n 的最大值 C. d ? 0
高三数学(理)试卷 第 1 页 共 12 页

D. S 4 ? S16

9.如图所示, P 为 ? AOB 所在平面上一点,且 P 在线段 AB 的垂直平分 线上,若 |OA| ? 3,|OB| ? 2 ,则 OP ? OA ? OB 的值为( A.5 B.3 C.

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

?

) D.

5 2

3 2

10.定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x+2)=2 f (x) ,当 x? [0,2)时,

? x 2 ? x,x ? [0,1) t 1 f (x)= ? .若 x ?[ ? 4, ? 2] 时, f (x) ? ? 恒成立,则实数 t |x ?1.5| 4 2t ,x ? [1,2) ? ?(0.5)
的取值范围是( ) C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2? ? ? 0,1?

A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1? B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1, cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0,

?

?

?
2

) .则

cos ? ? _____ .
?x ? y ? 3 ? 0 ? 2 2 12.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 若 z ? x ? y ,则 z 的最大值为_______. ?x ? 2 ?

y2 13.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 的最小值是 xz
14. 已知函数 f(x)= lg( x ?



x 2 ? 1) +x, 如果 f(1-a)+f(1-a2)<0, a 的取值范围是_____ 则

15.数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
若存在正整数 k ,使 S k ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 |a| ? 4,|b| ? 3, 2 a ? 3b ? 2 a ? b ? 61, 求(1)a 与b 的夹角; (2)|a ? b| 的值.

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

? ?

?

?

高三数学(理)试卷

第 2 页 共 12 页

17.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列. (1)求 B 的值; (2)求 2sin A ? cos( A ? C) 的取值范围 .
2

18.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥ 平面 ABCD , ?DAB=60 , AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点.
?

(Ⅰ)求证: AN //平面 MEC (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 出 AP 的长 h ;若不存在,请说明理由. N M

? ?若存在,求 6

D A E B

C

19.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 (1)求 S3n . (2) bn ?

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

高三数学(理)试卷

第 3 页 共 12 页

20. 在周长为定值的?DEC 中,已知 | DE |? 8 ,动点 C 的运动轨迹为曲线 G,且当动点 C 运动 时, cosC 有最小值 ?

7 . 25

(1)以 DE 所在直线为 x 轴,线段 DE 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,求曲线 G 的方程; (2)直线 l 分别切椭圆 G 与圆 M : x 2 ? y 2 ? R 2 (其中 3 ? R ? 5 )于 A、B 两点,求|AB|的取 值范围.

21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x.
2

(1)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是增函数,求 a 的取值范围; (2)已知 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? 图象上任意不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,其中

??? ? ???? x2 ? x1 ,直线 AB 的斜率为 k ,记 N ? u , 0 ? ,若 AB ? ? AN ?1 ? ? ? 2 ? , 求证:
f ? ?u ? ? k .

高三数学(理)试卷

第 4 页 共 12 页

高三数学参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 题号 A A A D C B 答案 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.
5 ; 5

7 C

8 B

9 C
5 ; 7

10 D

12. 13 ;

13. 3 ; 14. a > 1或 a ? ?2 ; 15.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分)

? ?? ? ? ? ? ? 解: (1)∵ ? 2a ? 3b ? ? ? 2a ? b ? ? 61,
∴ 4a ? 4a ? b ? 3b ? 61 ,

16.已知 |a| ? 4,|b| ? 3, 2a ? 3b ? 2a ? b ? 61, 求(1)a 与b 的夹角; (2)|a ? b| 的值.

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 2 ∵ | a| ? 4,|b| ? 3 ,∴ ?4a ? b ? 61 ? 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 24 , a ? b ? ?6 ? ? ? ? a ?b ?6 1 ? ? ?? ∴ cos a, b ? ?? ?? ? 2 | a || b | 4 ? 3 ? ? ? ? 2? ∵ a, b ? [0, ? ] ,∴ a, b ? 3 ? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? 1 2 2 (2) |a ? b|= ( a ? b) ? a ? b ? 2a ? b ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? (? ) ? 13 2 17.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列.
(1)求 B 的值; (2)求 2sin A ? cos( A ? C) 的取值范围 .
2

解: (1)? a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列, ∴ a cos C ? c cos A ? 2b cos B . 由正弦定理得, a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 代入得, 2R sin A cos C ? 2R sin C cos A ? 4R sin B cos B , 即 sin( A ? C ) ? sin 2B ,? sin B ? sin 2B .

? 0 ? B ? ? ,? B = ? . …………………………………7 分 3 ? 2? (2)? B = ,∴ A ? C = . 3 3 ? 2sin 2 A ? cos( A ? C ) ? 1 ? cos 2 A ? cos(2 A ? 2? ) 3 1 3 3 3 ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? sin 2 A ? cos 2 A 2 2 2 2 ? ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) 3
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又在 ?ABC 中, B ? 2B 或 B ? 2B ? ? .

? 0 ? A ? 2? , ? ? ? 2 A ? ? ? ? ,∴ ? 3 ? sin(2 A ? ? ) ? 1 . 2 3 3 3 3 ? 1 ? 2sin 2 A ? cos( A ? C ) 的取值范围是 ? ? ,1 ? 3 ? ? 2 ? 18.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平 ? 面 ABCD , ?DAB ? 60 , AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AN //平面 MEC (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D ? 的大小为 ?若存在,求出 AP 的长 h ;若不存在, 6
请说明理由.[网] 解: (Ⅰ)连接 BN ,设 CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知, MN / / AD / / BC , MN ? AD ? BC , 所以四边形 BCNM 是平行四边形, F 是 BN 的中 点. 又因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .…………………3 分 因为 EF ? 平面 MEC , AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC .……………4 分 M N

D A

C B

E

(Ⅱ)假设在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 (解法一) 延长 DA 、 CE 交于点 Q ,过 A 做 AH ? EQ 于 H , 连接 PH . 因为 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 MA ⊥平面 ABCD ,又 EQ ? 平面 ABCD , 所以 MA ⊥ EQ , EQ ? 平面 PAH 所以 EQ ? PH , ?PHA 为二面角 P ? EC ? D 的平面角. 由题意 ?PHA ? M

? . 6

N

?
6

.……………7 分
?

F P D

在 ?QAE 中, AE ? 1 , AQ ? 2 , ?QAE ? 120 ,
高三数学(理)试卷 第 6 页 共 12 页

A H E B

Q

则 EQ ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos120 ?
2 2

?

7
……………10 分

所以 AH ?

AE ?AQ sin120? 3 ? EQ 7

又在 Rt?PAH 中, ?PHA ?

?
6



所以 AP ? AH ?tan 30 ?

?

3 3 1 7 ? ? ? ?1 7 3 7 7

所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为

? ,此时 AP 的长为 6

7 ………12 分 . 7
(解法二) 由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点, ?DAB ? 60 所以 ?ABC 为等边三角形,可得 DE ? AB . 又 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 DN ⊥平面 ABCD . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz .…………5 分 则 D(0,0,0) , E ( 3, 0, 0) , z N M F P D E x C
?

C (0, 2,0) , P( 3, ?1, h) .

??? ? ??? ? CE ? ( 3, ?2.0) , EP ? (0, ?1, h) .………7 分
设平面 PEC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) .

??? ? ?CE ? n1 ? 0, ? 则 ? ??? ? ? EP ? n1 ? 0. ?
令y?

所以 ?

? 3 x ? 2 y ? 0, ? ? ? y ? hz ? 0. ?

A

B

3h .所以 n1 ? (2h, 3h, 3) .……………………9 分
………………10 分

又平面 ADE 的法向量 n2 ? (0,0,1)

高三数学(理)试卷

第 7 页 共 12 页

所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 3 ? .……………11 分 n1 ? n2 2



3 7h 2 ? 3

?

7 3 ?1 ,解得 h ? 2 7

所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 6 ,此时 AP 的长为

?

7 …………12 分. 7
19.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 (1) 求 S3n ;

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? n? 2n? 解: (1) 由于 cos 2 ,故 ? sin 2 ? cos 3 3 3 S3n ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3n?2 ? a3n?1 ? a3n )
(2) 设 bn ?

\

12 ? 22 2 42? 52 2 n3 (? ?3 ) ? ? ( ? 6?) ? ? ( ? 2 2 13 31 18 k ? 5n n 9 ? ( 4) ? ??? ? 2 2 2 2 S3n 9n ? 4 (2) bn ? ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n?1 ], 2 4 4 ? (?
两 式 相 减

22) n ? 3 21 ) 2 ? ( ? n(3 ) ) 2





20.在周长为定值的?DEC 中,已知 | DE |? 8 ,动点 C 的运动轨迹为曲线 G,且当动点 C 运动 时, cosC 有最小值 ?

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? ] ? 8 ? n? ? n? , n 1 2 4 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n 故 Tn ? ? ? . 3 3 ? 22 n ?3 22 n ?1
7 . 25
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2

(1)以 DE 所在直线为 x 轴,线段 DE 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,求曲线 G 的方程; (2)直线 l 分别切椭圆 G 与圆 M : x 2 ? y 2 ? R 2 (其中 3 ? R ? 5 )于 A、B 两点,求|AB|的取 值范围. 解:(1)设 |CD|+|CE|=2a (a>4)为定值,所以 C 点的轨迹是以 D、E 为焦点的椭圆,所以 焦距 2c=|DE|=8. 因 为 2 2 2 2 2 2 | C D? | |C ? | E 8 C |D ? ( |? |E C | ) C D | C E| | 2 ? 2 ? c o ?s C ? ? ?1 2 C| D | C| E | 2 |D C C |E | | C |D

| a8 C |E |

82 2a 2 ) ? a 2 ,所以 cos C ? 1 ? 2 , 2a 2 2 8 7 2 由题意得 1 ? 2 ? ? , a ? 25 . 2a 25 x2 y 2 所以 C 点轨迹 G 的方程为 ? ? 1( y ? 0) 25 9 (2) 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) 分 别 为 直 线 l 与 椭 圆 和 圆 的 切 点 , 直 线 AB 的 方 程 为: y ? kx ? m
又 | CD | ? | CE |? ( 因为 A 既在椭圆上,又在直线 AB 上,
2 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 从而有 ? 25 , 9 ? y ? kx ? m ?
2 2 2 2

消去 y 得: (25k ? 9) x ? 50kmx ? 25(m ? 9) ? 0 由于直线与椭圆相切,故 ? ? (50km) ? 4(25k ? 9) ? 25( m ? 9) ? 0 ,从而可得:

m 2 ? 9 ? 25k 2 ①
由?

x1 ? ?
2 2

25k ② m
2 2

? x2 ? y 2 ? R2 ? y ? kx ? m

消去 y 得: (k ? 1) x ? 2kmx ? m ? R ? 0 .
2 2 2

kR 2 由于直线与圆相切,得: m ? R (1 ? k ) ③ ④ x2 ? ? m k (25 ? R 2 ) R2 ? 9 2 由②④得: x2 ? x1 ? ;由①③得: k ? m 25 ? R 2 ?| AB |2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x 2 ? x1 )2 m 2 k 2 (25 ? R 2 ) R 2 ? 9 (25 ? R 2 ) 2 225 ? ? ? ? 25 ? 9 ? R 2 ? 2 2 2 2 2 R m R 25 ? R R 225 2 2 由 3<R<5 易知, 30 ? R ? 2 ? 34 ; 0 ?| AB | ? 4 ,从而 0 ?| AB |? 2 R ?
另解:设直线 l 与椭圆切于点 (5cos ? ,3sin ? )(? ? k? , k ? Z ) ,

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则 l 的方程为

5 c o? s x? 25

3sin ? co? s s?n i y ?1 , 即 x? y ?1 ? 0 , ∴ 9 5 3

R?

| ?1| cos ? sin 2 ? ? 25 9
2

,

2 2 | AB |2 ? 25cos 2? ? 9sin ? ? R ? 25cos ?2? 9sin ? 2 ?

1 cos ? sin 2 ? ? 25 9
2

? 25cos 2 ? ? 9sin 2 ? ?

225 225 ? 34 ? [(9 ? 16sin 2 ? ) ? ] 2 9cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ?
2
2

∵ 0 ? sin ? ? 1 ,∴ 9 ? t ? 9 ? 16sin ? ? 25 , | AB | ? 34 ? (t ?
2

2

9 ? 25 ? 34 ,∴ 0 ?| AB| 2 ?4 ,0 ?| AB |? 2 ,即|AB|的取值范围是 ? 0, 2 ? t 2 21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x.
∵ 30 ? t ? (1)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是增函数,求 a 的取值范围; (2)已知 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? 图象上任意不同两点 A1 ? x1 , y1 ? , B1 ? x2 , y2 ? ,其中

9 ? 25 ) t

???? ? ???? ? x2 ? x1 ,直线 A1 B1 的斜率为 k ,记 N ? u , 0 ? ,若 A1 B1 ? ? A1 N ?1 ? ? ? 2 ? , 求证:

f ? ?u ? ? k .
解: 1) f ?( ) ? ( 由 x

1 2 a 2? 1 x x ? x ) 2a 1? ? ?x 0 ? , 2a 2 ??( ? 1 得 x x x 1 1 又当 x ? 0 时, ? ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 ………………5 分 x x
2
2 2 2 1

, ∴ 2a ? ?

1 1 ? x x2





k?

y2 ? y1 ln x2 ? ax ? x2 ? ln x1 ? ax ? x1 ln x2 ? ln x1 ? ? ? a( x2 ? x1 ) ? 1 ………… x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1
??? ? ???? ? N (u, 0), A( x1 , 0), B( x2 , 0), AB ? ? AN (1 ? ? ? 2) ,∴ x2 ? x1 ? ? (u ? x1 ) x ? (? ? 1) x1 ? x ? (? ? 1) x1 ? 2a 2 ? 1 ………………8 ∴u ? 2 , f ?(u ) ? x2 ? (? ? 1) x1 ? ?
∴ f ?(u ) ? k ?

……6 分



ln x2 ? ln x1 a ? ? ? (2 ? ? )( x2 ? x1 ) ………………9 分 x2 ? (? ? 1) x1 x2 ? x1 ?

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∵ a ? 0 , x2 ? x1 , 1 ? ? ? 2 ,∴ 要证 f ?(u) ? k ,只要证 即

a

? ( x2 ? x1 ) ? (ln x2 ? ln x1 ) ? 0 ………………11 分 x2 ? (? ? 1) x1 x ? ( x2 ? x1 ) ? (t ? 1) 设 2 ? t ,则 ? (ln x2 ? ln x1 ) ? ? ln t ,显然 t ? 1 x2 ? (? ? 1) x1 ?t ? ? ? 1 x1 ? (t ? 1) 令 g (t ) ? ? ln t ,考虑 g (t ) 在 ?1, ?? ? 上的单调性, ?t ? ? ? 1 ?? 2t 2 ? ?t ? (? ? 1) 2 由于 g ?(t ) ? , t (?t ? ? ? 1) 2 1 1 2 2 2 记 T (t ) ? ?? t ? ?t ? (? ? 1) , 二 次 函 数 T (t ) 的 对 称 轴 t ? ? , 2? 2 T (1) ? ?2? 2 ? 3? ? 1 2 2 2 当 1 ? ? ? 2 时, (1) ? 0 , ∴当 t ? 1时, (t ) ? 0 恒成立, ?? t ? ?t ? (? ? 1) ? 0 即 T T
恒成立 又 t (?t ? ? ? 1) ? 0 , ∴ g ?(t ) ? 0 , 则 有 g ( t )? 立.………………14 分
2

ln x2 ? ln x1 ? ? ?0, x2 ? (? ? 1) x1 x2 ? x1

?

(2 ? ? )( x2 ? x1 ) ? 0 ………………10 分

g ( 1 ) , 故 f ?(u) ? k 成 ? 0

另解:∵ a ? 0 ,由(1)知 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是减函数

又∵ AB ? ? AN (1 ? ? ? 2) ,∴点 N 位于 AB 的中点 M 的右侧,即 u ? ∵ f ?( x) ?

??? ?

????

x ?x 1 ? 2ax ? 1(a ? 0) 在 (0, ??) 上递减,∴ f ?(u ) ? f ?( 1 2 ) x 2 2 2 y ? y1 ln x2 ? ax2 ? x2 ? ln x1 ? ax1 ? x1 ln x2 ? ln x1 ? ? ? a( x2 ? x1 ) ? 1 ∵k ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1


x1 ? x2 2

k ? f ?(

x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1 2 2 )? ? a( x2 ? x1 ) ? 1 ? ( ? a( x1 ? x2 ) ? 1) ? ? 2 x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2

x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x2 x1 1 1 ? (ln ? )? [ln ? ] x2 x2 ? x1 x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ?1 x1 x2 2(t ? 1) 4 ? t ?1 令 , g (t ) ? ln t ? ? ln t ? 2 ? x1 t ?1 t ?1 2(



高三数学(理)试卷

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1 4 (t ? 1) 2 g ?(t ) ? ? ? ?0 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 ∴ g (t ) 在 (1, ??) 上递增, g (t ) ? g (1) ? 0 x ? x2 ∴ k ? f ?( 1 ) ? f ?(u ) 2

高三数学(理)试卷

第 12 页 共 12 页


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江西师大附中2016届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

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