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利用“几何画板”辅助圆锥曲线的教学


利用 “几何画板”辅助圆锥曲线的教学
沈卫忠 李 莉(江苏省锡山高级中学) 苏教版高中数学选修 2-1 圆锥曲线的情境很丰富, 除了原人教版的平面截圆 锥面、拉线得椭圆、拉链得双曲线等外,新增了章头图行星运动轨道及 Dandlin 双球发现椭圆,还有操作题和“几何画板”辅助圆锥曲线的教学.

一、用折纸折出圆锥曲线
例 1.(选修 2-1P

.29 第 7 题)准备一张圆形纸片(半径为 R),在圆内任取不同于 圆心的一点 F, 将纸片折起, 使圆周过点 F, 然后将纸展开, 就得到一条折痕 L(为 了看清楚,可以把直线 L 画出来),这样继续折下去,得到若干折痕.这些折痕的 轮廓形成什么曲线?如何证明? 【解析】折痕 L 画得多一点,效果还是很好的,学生会惊喜地发现,众多折 痕就是一个椭圆的轮廓. 如图 1,将圆周过点 F 的点记为 F',连结 OF' 、FF', 设折痕所在直线 L 与 OF'的交点为 P,
?
?

PF'=PF,又 PF'=R,且 OF<R, OP+OF=R>OF. P 是以 O、F 为焦点,R 为长轴的椭圆.
图1

?点

链接折出椭圆观察发现: 直线 L 与椭圆只有一个交点 P,联想直线与圆只有一个交点,称该直线 L 是圆的切线.

若圆方程为 x 2 ? y 2 ? R 2 ,则切点为 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ? R 2 .若椭圆 方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,点 P ( x 0 , y 0 )

可以证明切线 L 的方程为

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

例 2.(选修 2-1P.39 第 8 题)在纸上画一个圆 O(半径为 R),在圆外任取一个定 点 F,将纸片折起,使圆周过点 F,然后将纸展开, 就得到一条折痕 L,这样继续折下去,得到若干折痕. 这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证明? 【解析】 同例 1, 折痕的轮廓形成双曲线(如图 2),
?

PF'=PF,|PF'-OF|=R, OF>R,
1/3

? |PF-OF|=R,又

图2

?点

P 是以 O、F 为焦点,R 为实轴的双曲线.
x a
2 2

链接折出双曲线,直线 L 都与双曲线相切,若双曲线方程为
P ( x 0 , y 0 ) 可以证明切线

?

y b

2 2

? 1 ,点

L 方程为

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

例 3.(选修 2-1P.50 第 11 题)将长方形纸片 ABCD 的一只角斜折, 将纸片折起, 使点 A 总是落在对边 CD 上,然后将纸展开,就得到一条折痕 L,这样继续折下 去,得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证明? 【解析】同例 1,折痕的轮廓形成抛物线(如图 3),过 A ' 作 A ' P ? D C ,交直 线 L 于 P,连结 AP,
? ? A P M ? ? A? P M ?

AP=A'P,

?点

P 是以 A 为焦点,DC 为准线的抛物线.

链接折出抛物线,直线 L 都与形成的抛物线 相切,若抛物线方程为 x 2 以证明切线 L 方程为 x 0 x
? ?2 py

,点 P ( x 0 , y 0 ) 可

图3

? ? p ( y0 ? y ) .

二、用统一定义画圆锥曲线
例 4.选修 2-1P.51 利用“几何画板”探究到定点与定直线距离比分别为 0.5 和 2 的轨迹是什么曲线,按下列简单画法,利用“几何画板” ,可作出任意离心 率的圆锥曲线. 【画法】 1.如图 4,圆锥曲线的轴直线 H'A; 2.过 H'作圆锥曲线的准线 L; 3.H'A 上取一个点 F(圆锥曲线的焦点); 4.滑块 e(圆锥曲线的离心率); 5.在直线 H'A 上任取点 P', 度量 P'H'记作 d, 并过 P'作准线 L 的平行线 L'; 6.计算 e ? d 并以 F 为圆心,d 长为半径画圆,与直线 L'交点为 P 和 P"; 7.过 P 作准线的垂线,垂足为 H,追踪点 P、P",隐藏辅助线,拉动点 P'(构造 点 P'的动画),则动点 P 到定点 F 的距离与定直线 L 的距离为常数 e;
2/3 图4

8.根据需要调整离心率 e 的取值,可任意作出圆锥曲线示意图;再调整焦点到准 线的距离 H'F,可精确作出任意给定条件的圆锥曲线图象(按 Ctrl+B 可擦除刚刚 生成的轨迹).

三、用“几何画板”探究动点轨迹
例 5.设 B 是半径为 R 的定圆 A 内的一个定点, D 是圆上的动点, 过线段 BD 的中点 E 作 BD 的垂线 与半径 AD 交于点 P,求点 P 的轨迹. 【解析】由 PE 是 BD 的垂直平分线,所以 BP=DP,又 AD 是圆的半径 R,即 AP+BP=R>AB, 即点 P 是以 A、B 为焦点 R 为长轴的椭圆. 【探究 1】点 E 的轨迹?与点 P 轨迹的关系? 点 E 的轨迹有的学生猜想是一个椭圆,经过讨论,多数学生认为是一个圆. 从画板上作出图 5 的轨迹,可发现 OE=AD/2,即点 E 的轨迹是以 O 圆心,R/2 为半径的圆且是椭圆的外切圆. 【探究 2】如果将点 B 放在圆外,点 P 与点 E 的轨迹各是什么?两者的关系又如 何? 运 动 点 D 可 得 图 6 , PB=PD , PD-PA=PB-PA 所以|PB-PA|=R<AB, 所以点 P 轨迹是以 A、B 为焦点,R 为实轴的双曲线; OE=AD/2,即点 E 的轨迹是以 O 为圆心, R/2 为半径的圆且与双曲线相切. 利用“几何画板”使椭圆、双曲线、抛物线和谐地统一,使手工粗糙画的圆 锥曲线得到优美的展现,使未知的曲线得以直观的呈现.
图6 图5

3/3


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