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2014年高二下学期数学期末复习检测题(理科)


2014 年高二下学期期末数学复习检测题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.在复平面内,复数

1? i ( i 为虚数单位)对应的点位于( A ) 2?i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(

C ) 1 1 A.a<b 3.曲线 A. ? a b B.a2>b2 C. 2 > 2 c +1 c +1 D.a|c|>b|c|

y ? x3 ? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的倾斜角的取值范围是( D )
B. ? 0, ? ? 2?

? 2? ? ,? ? ? 3 ?

? ??

C. ?
x

? ? 2? ? , ?2 3 ? ?
?x

? ?? 0, ? ? 2? ?

D. ? ,? ? ? 3 ?

? 2?

? ? ?? ?0, 2 ? ? ?

4.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? ae A. 0 B. 1 C. 2

的导函数为 f ?( x) ,且 f ?( x) 是奇函数,则 a ? ( D) D. ? 1

5.设 a>b>c, n∈N,且 A.2 B.3 C.4

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( C ) a?b b?c a?c
D.6

6.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A ) A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. ( ?5,

? ) 3

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3

7.给出以下命题: ⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ? sin xdx ? 4 ; 0

2?

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

其中正确命题的个数为( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 8.如图, O 为线段 A0 A2013 外一点, 若 A0 , A1 , A2 , A3 , ? , A2013 中任意相邻两点的距离 相等, OA0 ? a, OA2013 ? b 用 a,b 表示 OA0 ? OA1 ? OA2 ? OA3 ? ... ? OA2013 其结果 为( D )
[]

A. 1006(a ? b) 9.

B. 2014(a ? b)

C. 2012(a ? b) A )

D. 1007(a ? b)

函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为(

1

y

y

y

y

o o A 1 x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

10. 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ? | ? | x ? | 有四个公共点,则 k 的取值
集合是( C )

1 x

1 x

1 1 A. (? , ) 8 8

1 1 B. [? , ] 8 8

1 1 C. {0, ? , } 8 8

1 1 D. {? , } 8 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直线把平面分成 f ( k ) 个区域,则 k ? 1 条直线把平面分成的区域数 f (k ? 1) ? f (k ) ? 12.已知 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? 4 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大值是 k+1
2 14 .

13. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则 克服弹力所做的功为 0.18J 14. 已知 a, b, c ? R, 且满足 a ? b ? c ? 3, 用 M 表示 a ? b , b ? c , a ? c 中的最大者, 则 M 的最小值 为 2 。

1 ? x?t? ? ? t 15.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立 ?y ? t ? 1 ? t ?

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin(? ? ) ? 1 ,则两曲线交点间的距离是 3

?

4 3.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足 z ? z ? z i ?
2
2

?

?

3?i ( i 为虚数单位) .求 z . 2? i

解.由已知得 z ? z ? z i ? 1 ? i ,设 z ? x ? yi, ? x, y ? R? 代人上式得 x ? y ? 2 xi ? 1 ? i
2 2

?

?

1 ? x?? ? ?x2 ? y2 ? 1 ? 2 故z ? ?1 ? 3 i 所以 ? ,解得 ? 2 2 ? 2 x ? ?1 ?y ? ? 3 ? 2 ?
2

17. (本小题满分 12 分)设 a>b>c>1,记 M=a- c , N=a- b , P=2(
3

a?b a?b?c - ab ), Q=3( - 2 3

abc ),试找出中的最小者,并说明理由。

18. (本小题满分 12 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于 点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ;(2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展到空间,类比三
角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明. 18.(1) 证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ;
2 2 2 (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 S ABB1A1 ? SBCC1B1 ? S ACC1A1 ? 2SBCC1B1 ? S ACC1A1 cos? ,其中 ? 为

平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角. ? CC1 ? 平面PMN , ? 上述的二面角为 ?MNP ,在 ?PMN 中, PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 2PN ? MN cos?MNP ?
2 2 2 PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP ,
1 1

由于 SBCC1B1 ? PN ? CC1 , S ACC1A1 ? MN ? CC1 , S ABB1A1 ? PM ? BB1 ,
2 2 2 ∴有 S ABB1A1 ? SBCC1B1 ? S ACC1A1 ? 2SBCC1B1 ? S ACC1A1 cos? .

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项为正数,Sn 为前 n 项和,且 S n ? an 的公式,并证明你的结论. 19.∵ S1 ? a1 ?

1 1 (a n ? ) ,归纳出 2 an

1 1 1 1 (a1 ? ) ? a1 ? 1;?1 ? a2 ? (a 2 ? ) ? a2 ? 2 ? 1; 2 a1 2 a2

3

∵ 2 ? a3 ?

1 1 (a3 ? ) ? a3 ? 3 ? 2 ,…,猜想 an ? n ? n ? 1(n ?N*).用数学归纳法 2 a3

证明(略). 20.(本小题满分 13 分) 如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥ AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距 点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; C (2)如何选点 M 才使总运费最小? 20.解:(1)依题,铁路 AM 上的运费为 2(80-x) ,公路 MC 上的运 费 为 4 100 ? x2 , 则 由
2

A



C

的 总 运 费 为 A

M

B

y ? 2(80 ? x) ? 4 100 ? x ?(0 ? x ? 80)
(2) y? ? ?2 ?

4x 100 ? x
2

?(0 ? x ? 80) ,令 y? ? 0 ,解得 x1 ?

10 10 , x2 ? ? (舍)……9 分 3 3

当0 ? x ?

10 时, y? ? 0 , y 3

;当 50 ? x ?

10 时, y? ? 0 , y 3

故当 x ?

10 10 时,y 取得最小值. 即当在距离点 B 为 时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省. 3 3

21、 (本小题满分 14 分) x 已知 f(x)=e -t(x+1). (1)若 f(x)≥0 对一切正实数 x 恒成立,求 t 的取值范围; (2)设 g ? x ? ? f ? x ? ?

t ,且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线 y=g(x)上任意两点,若对任意 ex
n

的 t≤-1,直线 AB 的斜率恒大于常数 m,求 m 的取值范围;
n n n (3)求证: 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? 1? ≤ n (n∈N*).

ex (x>0)恒成立。 x ?1 xe x ex ≥0 设 p? x? ? (x≥0),则 p? ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

21、 【解】 (1) f ? x ? ≥ 0 ? t ≤

∴ p ? x ? 在 x ? ? 0 , ??? 单调递增, p ? x ? ≥ p ? 0? ? 1 (x=1 时取等号) , ∴t≤1………4′ (2)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1<x2
g ? x2 ? ? g ? x1 ? x2 ? x1 ? m ,故 g ? x2 ? ? mx2 ? g ? x1 ? ? mx1

设 F ? x ? ? g ? x ? ? mx ,则 F(x)在 R 上单增,………7′ 即 F ? ? x ? ? g? ? x ? ? m ? 0 恒成立。 即对任意的 t≤-1,x∈R, m ? g? ? x ? 恒成立。 而 g? ? x ? ? e x ? t ?

t ? ?t ? ≥ 2 e x ? ? x ? ? t ? ?t ? 2 ?t ? x e ?e ?
4

?

?t ? 1 ≥ 3

?

2

故 m≤3………9′

(3)由(1)知, x ? 1 ≤ e x ? e? x ?1? ?1 , ? x ≤ e x ?1

? k ?1 ? ek k ?k? 取 x ? ( k ? 1, 2 ,? ? ? ,n ? 1 ) ,则 ? ? ≤ ? e n ? ? n . e n ? n? ? ?
n ?1 n n ?1 k e 1 e 1? e e ?1 1 ? 1 ?k? ? ? n ?? ?1 ? ? n ? ≤ ? en ? en ? 1 ? e ? e ?1? e e ? e ?1 ? k ?1 ? k ?1 n n ?1 n ?1 ?k? ? 1 , ? k n ? nn ? ? ? n? ? ? k ?1 k ?1 n ?1

n

n

?

?

∴ 1n ? 2n ? ? ? ? ? ? n ? 1? ≤ nn (n∈N*)………14′
n

5


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