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两个变量的相关关系


两个变量间的相关关系
.

高二数学组

哲学原理:

世界是一个普遍联系的整体,任 何事物都与其它事物相联系。

数学地理解世界

前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析:
集中趋势 频率分布图 离散程度 下面我们来介绍一中更为常见的分析方法:

>
小明,你数学成绩不太 学不好数学,物 好,物理怎么样? 理也是学不好的

?????... 也不太好啊.

你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时, 还必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度 数学 成绩 学习 兴趣 物理成绩

花费 时间

其他 因素

如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之 间的相关关系 我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:

商品销售收入

? ?

K×广告支出经费

粮食产量

K×施肥量

付出

? ?

K×收入

人体脂肪含量

K×年龄

以上种种问题中的两个变量之间的相关 关系,我们都可以根据自己的生活,学习经验作 出相应的判断,“规律是经验的总结”,不管你 多有经验,只凭经验办事,还是很容易出错的, 在寻找变量间的相关关系时,我们需要一些更 为科学的方法来说明问题. 在寻找变量间的相关关系时,统计同样 发挥了非常重要的作用,我们是通过收集大量 的数据,对数据进行统计分析的基础上,发现 其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断. 下面我们通过具体的例子来分析

探究:
年龄 23 27

.

39

41

45

49 50

53

54

56

57

58

脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61

脂肪 35.2 34.6

如上的一组数据,你能分析人体的脂 肪含量与年龄之间有怎样的关系吗?

从上表发现,对某个人不一定有此规律,但对很多个体 放在一起,就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律. 而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我 们也可以对它们作统计图、表,对这两个变量有一个直观上的 印象和判断.

下面我们以年龄为横轴, 脂肪含量为纵轴建立直 40 角坐标系,作出各个点, 35 称该图为散点图。 30
25

脂肪含量

如图:

20 15 10 5

年龄 20 25 30 35 40

O
45 50 55 60 65

从刚才的散点图发现:年龄越大,体内脂肪含量越高, 点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关 但有的两个变量的相关,如下图所示:

如高原含氧量与海拔高度 的相关关系,海平面以上, 海拔高度越高,含氧量越 少。 作出散点图发现,它们 散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程,称它们成负相关.

O

我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直 线附 ,像这样,如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关 系,这条直线叫做回归直线,该直线的方程叫回归方程。

那么,我们 40 该怎样来求出这 35 个回归方程? 30 请同学们展 25 20 开讨论,能得出 15 哪些具体的方案? 10
5 0

脂肪含量

年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

. .

方案1、先画出一条直线,测量出各 点与它的距离,再移动直线,到达一个使 距离的和最小时,测出它的斜率和截距, 得回归方程。 脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

如图 :

. ? 方案2、在图中选两点作直线,使直线两侧
的点的个数基本相同。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

方案3、如果多取几对点,确定多条直线,再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
? 我们还可以找到

更多的方法,但 这些方法都可行 吗?科学吗? 准确吗?怎样的 方法是最好的?
我们把由一个变量的变化 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

回归直线
实际上,求回归直线的关键是如何用数学 的方法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距 离最小”.

人们经过实践与研究,已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:

?

?? b

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nxy
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

i ?1 n

i

i

2

? x ? nx
i ?1 2 i

,
2

? ? a ? y ? bx

以上公式的推导较复杂,故不作推导,但它的原 理较为简单:即各点到该直线的距离的平方和最 小,这一方法叫最小二乘法。

练习:求线性回归方程
例2:观察两相关变量得如下表: x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9

求两变量间的回归方程
解1: 列表:
i 1
i

2 -2 -7 14

3 -3 -5 15

4 -4 -3 12
10

5 -5 -1 5
2

6 5 1 5

7 3 5 15

8 4 3 12
10

9 2 7 14

10 1 9 9

x yi x yi
i

-1 -9 9

计算得:

x ? 0, y ? 0
i i

?x
i ?1

i

? 110 , ? xi
i ?1

y

i

? 110

? b?

?x y
i ?1 10

10

? 10 x y
2

?x
i ?1

?

2 i

? 10 x

110 ? 10 ? 0 ?1 110 ? 10 ? 0

? ? ? a ? y ? bx ? 0 ? b ? 0 ? 0

∴所求回归直线方程为 ^ y=x

小结:求线性回归直线方程的步骤:

第一步:列表

x , y ,x y
i i i


i

第二步:计 算

x, y, ? xi , ? xi y
2 i ?1 i ?1

n

n

i



? b
第三步:代入公式计算 第四步:写出直线方程。

? a
,

的值;

总结
基础知识框图表解 变量间关系 散点图 函数关系 相关关系 线形回归 线形回归方程

1、相关关系

(1)概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。
(2)相关关系与函数关系的异同点。 相同点:两者均是指两个变量间的关系。 不同点:函数关系是一种确定关系,是一种因果系; 相关关系是一种非确定的关系,也不一定是因果关系(但 可能是伴随关系)。 (3)相关关系的分析方向。

在收集大量数据的基础上,利用统计分析,发现规律, 对它们的关系作出判断。

2、两个变量的线性相关
(1)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫 回归分析。通俗地讲,回归分析是寻找相关关系中非确 定关系的某种确定性。 (2)散点图

A、定义;B、正相关、负相关。
3、回归直线方程 注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则 这两个变量之间不具有相关关系.

3、回归直线方程 (1)回归直线:观察散点图的特征,如果各点大致分 布在一条直线的附近,就称两个变量之间具有线性相关的 关系,这条直线叫做回归直线。 (2)最小二乘法
? ? ? y ? bx ? a
n n ? ? (x i -x)(yi -y) ? x i yi -n xy ? ? b= i=1 ? = i=1 , ? n n 2 2 2 ? ? (x i -x) ? x i -n x ? i=1 i=1 ? ?a=y-bx. ?? 1 n 1 n 其中x= ? x ,y= ? y . n i=1 i n i=1 i

(3)利用回归直线对总体进行估计


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