tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

点线面位置关系例题与练习(含答案)


点、线、面的位置关系 ● 知识梳理 (一).平面 公理 1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理 2:不共线 的三点确定一个平面. ... 推论 1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直 线确定一个平面. 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线 (二)空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系:相交,平行,异面 1.1 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.2 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 1.3 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; 1.4 异面直线所成的角: (1)范围: ? ? ? 0?,90?? ; (2)作异面直线所成的角:平移法. 2.直线与平面的位置关系: 包含,相交,平行 3.平面与平面的位置关系:平行,相交 (三)平行关系(包括线面平行,面面平行) 1.线面平行:①定义:直线与平面无公共点.
a // ? a // b ? ②判定定理: a ? ? ? ? a // ? ③性质定理: a ? ?
? b ??? ?

? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

2.线面斜交: ①直线与平面所成的角(简称线面角) :若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面 内射影的夹角。范围: ? ? ? 0?,90?? 3.面面平行:①定义: ? ? ? ? ? ? ? // ? ; ②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述: a, b ? ? , a ? b ? O, a // ? , b // ? ? ? // ? 判定 2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述: a ? ? , a ? ? ? ? // ? .

? // ? ? ? // ? ? ? ③面面平行的性质: (1) (2) ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? a // ? ; a ??? ? ? ? ? b? ?
(四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直) 1.线面垂直①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .

a, b ? ? ? a ? b ? O? ? ? ②判定: l ? ? (1) l ? ? , a ? ? ? l ? a ; ? ? l ? ? ③性质: ? l?a ? l ?b ? ?

( 2 )

a ? ? , b ? ? ? a // b ;
3.2 面面斜交①二面角: (1)定义: 【如图】 OB ? l , OA ? l ? ?AOB是二面角?-l ? ? 的平面角 范围: ?AOB ?[0?,180?] ②作二面角的平面角的方法: (1)定义法; (2)三垂线法(常用) ; (3)垂面法. 3.3 面面垂直(1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90? ,则 ? ? ? ;

(2)判定定理:

a ??? ??? ? ? a???

? ?? ? a ? ? ? AB ? ? (3) 性质: ①若 ? ? ? , 二面角的一个平面角为 ?MON , 则 ?MON ? 90? ; ② ?? a ? ? a ?? ?
a ? AB ? ?
● 热点例析 【例 1】热点一 有关线面位置关系的组合判断 若 a,b 是两条异面直线,α ,β 是两个不同平面,a?α ,b?β ,α ∩β =l,则( ). A.l 与 a,b 分别相交 B.l 与 a,b 都不相交 C.l 至多与 a,b 中一条相交 D.l 至少与 a,b 中的一条相交 解析:假设 l 与 a,b 均不相交,则 l∥a,l∥b,从而 a∥b 与 a,b 是异面直线矛盾,故 l 至少与 a,b 中的一条相交.选 D. 热点二 线线、线面平行与垂直的证明 【例 2】如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD =A1B1,∠BAD=60°.

(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD. (1)方法一:因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,所以 D1D⊥BD. 又因为 AB=2AD,∠BAD=60°,在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos 60°=3AD2, 2 2 2 所以 AD +BD =AB .所以 AD⊥BD.又 AD∩D1D=D, 所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1,故 AA1⊥BD. 方法二:因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD(如图), 所以 BD⊥D1D.

取 AB 的中点 G,连接 DG(如图).

在△ABD 中,由 AB=2AD 得 AG=AD. 又∠BAD=60°, 所以△ADG 为等边三角形,因此 GD=GB, 故∠DBG=∠GDB. 又∠AGD=60°,所以∠GDB=30°, 故∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°, 所以 BD⊥AD. 又 AD∩D1D=D,所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1,故 AA1⊥BD. (2)如图,连接 AC,A1C1.

设 AC∩BD=E,连接 EA1. 1 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 EC= AC. 2 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知 A1C1∥EC 且 A1C1=EC, 所以四边形 A1ECC1 为平行四边形. 因此 CC1∥EA1. 又因为 EA1?平面 A1BD,CC1 ? 平面 A1BD, 所以 CC1∥平面 A1BD. 热点三 面面平行与垂直的证明 【例 3】在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=4,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA=PB, PD=PC,N 为 CD 的中点.

(1)求证:平面 PCD⊥平面 ABCD; (2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP?若存在,说明理由并确定 E 点的位置;若不存 在,请说明理由. (1)证明:取 AB 中点 M,连接 PM,PN,MN, 则 PM⊥AB,PN⊥CD.

又 ABCD 为直角梯形,AB⊥BC,∴MN⊥AB. ∵PM∩MN=M,∴AB⊥平面 PMN. 又 PN?平面 PMN,∴AB⊥PN. ∵AB 与 CD 相交,∴PN⊥平面 ABCD. 又 PN?平面 PCD,∴平面 PCD⊥平面 ABCD.

1 1 (2)解:假设存在.在 PC,PB 上分别取点 E,F,使 BF= BP,CE= CP,连接 EF,MF,NE, 4 4 3 则 EF∥BC 且可求得 EF= BC=3. 4 ∵MN=3 且 MN∥BC,∴EF∥MN 且 EF=MN. ∴四边形 MNEF 为平行四边形,∴EN∥FM. 又∵FM?平面 PAB, 1 ∴在线段 PC 上存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP,此时 CE= PC. 4 热点四 折叠问题

例 4 如图所示,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP ? AB, AB=BC=

得 PD ? 平面 ABCD.

1 AP ? 2 ,D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将 ?PCD 沿 CD 折起,使 2

(Ⅰ)求证:AP//平面 EFG; P (Ⅱ) 求二面角 G ? EF ? D 的大小. A D F P F E E A D

B

G

C

B

G

C

解:(Ⅰ) 证明:连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO.

1 1 CD ,同理 GO // CD , ? EF // GO 2 2 ?四边形 EFOG 是平行四边形, ? EO ? 平面 EFOG.
∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴ EF // 又在三角形 PAC 中,E,O 分别为 PC,AC 的中点,?PA//EO

EO ? 平面 EFOG,PA ? 平面 EFOG,

?PA//平面 EFOG,即 PA//平面 EFG.
方法二) 连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO. ∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴ EF // 又 CD //AB,? EF //

1 1 CD ,同理 GE // PB 2 2

1 AB 2

EG ? EF ? E, PB ? AB ? B,?平面 EFG//平面 PAB,
又 PA ? 平面 PAB,? PA // 平面 EFG. 方法三)如图以 D 为原点,以 DA, DC , DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则有关点及向量的坐标为:

P ? 0, 0, 2 ? , C ? 0, 2, 0 ? , G ?1, 2, 0 ? , E ? 0,1,1? , F ? 0, 0,1? , A ? 2, 00 ? . AP ? ?? 2,0,2?, EF ? ?0,?1,0?, EG ? ?1,1,?1?
设平面 EFG 的法向量为 n ? ? x, y, z ?

? ?? y ? 0 ?x ? z ?n ? EF ? 0 ?? ?? ?? . x ? y ? z ? 0 ?y ? 0 ? ? n ? EG ? 0 ?
取 n ? ?1,0,1? . ∵ n ? AP ? 1 ? ?? 2? ? 0 ? 0 ? 1 ? 2 ? 0,? n ? AP , 又 AP ? 平面 EFG. ? AP//平面 EFG. (Ⅱ)由已知底面 ABCD 是正方形

? AD ? DC ,又∵ PD ? 面 ABCD

? AD ? PD

又 PD ? CD ? D

? AD ? 平面 PCD,?向量 DA 是平面 PCD 的一个法向量, DA = ?2,0,0?
又由(Ⅰ)方法三)知平面 EFG 的法向量为 n ? ?1,0,1?

? cos DA, n ?

DA ? n DA ? n

?

2 2 2

?

2 . 2
0

结合图知二面角 G ? EF ? D 的平面角为 45 . ● 热点五 线线角线面角面面角 例 5 正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为

6 。 2

(1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)在侧面 PAD 上寻找一点 F,使得 EF ? 侧面 PBC。试确定点 F 的位置,并加以证明。 (1)连 AC, BD 交于点 O ,连 PO,则 PO⊥面 ABCD,∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角,

∴ tan∠PAO=

6 。 2

设 AB=1,则 PO=AO?tan∠PAO =

3 。 2

设 F 为 AD 中点,连 FO、PO,则 OF⊥AD,所以,PF⊥AD,所以,?PFO 就是侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。

PO ? ? 3 ,∴ ?PFO ? 。 FO 3 ? 即面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 3
在 Rt ?PFO 中, tan ?PFO ? (2)由(1)的作法可知:O 为 BD 中点,又因为 E 为 PD 中点,所以, EO // ∴ ?EOD 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。 在 Rt ?PDO 中, PD ?

1 PD 。 ? 2

OD 2 ? PO 2 ?

5 5 。∴ EO ? 。 2 4

由 AO ? BD , AO ? PO 可知: AO ? 面 PBD 。所以, AO ? EO 。 在 Rt ?AOE 中 ,

AO 2 10 tan ?AEO ? ? 。 EO 5
∴ 异面直线 PD 与 AE 所 正切是

P

成的角的

2 10 。 5

H

E
G ,连接

(3)延长 FO 交 BC 于点 PG 。设 H 为 PG 中点,连接

EH , GH 。

D F O A

C G K B
正四棱锥 BC 中

∵ 四 棱 锥 P ? ABCD 为 且 F 为 AD 中点,所以,G 为 点, ∴ BC ? PG , BC ? FG 。

∴ BC ? 面PFG 。∴ 面 PBC ⊥ 面PFG 。 ∵ PF ? PG , ?PFO ?

?
3

,∴ ?PFG 为正三角形。

∴ FH ? PG ,∴ FH ? 面PBC 。 取 AF 中点为 K, 连 EK, 则由 HE // FK 及 HE ? FK 得四边形 HEKF 为平行四边形, 所以, KE // FH 。 ∴ KE ? 面PBC 。 ● 学生练习 一、选择题 1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m ? n ②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m??

③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④

④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

D.①和④ )

2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体体对角线长为( A. a ? b ? c
2 2 2

B.

1 2 a ? b2 ? c 2 2
3 2 a ? b2 ? c2 2
0

C.

2 a 2 ? b2 ? c2 2

D.

3.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a , ? ABC ? 30 ,则点 C 到平面

ABD 的距离是(
A.

) B.

5 a 5

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3


4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( A. AC B. BD C. A1 D D. A1 D1

5.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心



6. 在四面体 ABCD 中, 已知棱 AC 的长为 2 , 其余各棱长都为 1 , 则二面角 A ? CD ? B 的余弦值为 (



A.

1 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

2 3

7.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线

EF 与 SA 所成的角等于(
A. 90
0

) C. 45
0

B. 60

0

D. 30

0

二、填空题 1 . 点 A, B 到 平 面 ? 的 距 离 分 别 为 4cm 和 6cm , 则 线 段 AB 的 中 点 M 到 ? 平 面 的 距 离 为 _________________. 2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为_______。

3.一条直线和一个平面所成的角为 60 ,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角 是____________. 4.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12 ,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面 与底面所成的二面角等于_____。

0

5.在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB ? 4, PA ? 8 ,过 A 作与

PB, PC 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是________
三、解答题 1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中 点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点.

(1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC.

2.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E∈BB1,截面 A1EC 与侧面 A1ACC1 所成角为 90° . (1)求证:BE=B1E; (2)若 AA1=A1B1,求平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成二面角的大小.

3 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中 点.

(1)求证:AD⊥PC; (2)求三棱锥 A-PDE 的体积; (3)在 AC 上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

答案一、选择题 1. A ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n ,而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2.C 设同一顶点的三条棱分别为 x, y, z ,则 x ? y ? a , y ? z ? b , x ? z ? c
2 2 2 2 2 2 2 2 2

得 x2 ? y 2 ? z 2 ? 3.B 4.B 5.C 6.C

1 2 2 1 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ? a 2 ? b2 ? c2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,则对角线长为 2 2 2

作等积变换 VA? BCD ? VC ? ABD

BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影 BC ? PA ? BC ? AH
取 AC 的中点 E ,取 CD 的中点 F , EF ?

1 2 3 EF 3 , BE ? , BF ? cos ? ? ? 2 2 2 BF 3

7.C 取 SB 的中点 G ,则 GE ? GF ? 二、填空题 1. 5cm 或 1cm 2. 48 3. 90 4. 5.
0

2 a a , ?EFG ? 450 ,在△ SFC 中, EF ? 2 2

分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况

每个表面有 4 个,共 6 ? 4 个;每个对角面有 4 个,共 6 ? 4 个 垂直时最大

60 度 11 沿着 PA 将正三棱锥 P ? ABC 侧面展开,则 A, D, E, A 共线,且 AA // BC
'

'

三、解答题:略 1.证明:(1)连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,

因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点. 又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO. 因为 PB ? 平面 ACM,MO?平面 ACM, 所以 PB∥平面 ACM. (2)因为∠ADC=45°,且 AD=AC=1, 所以∠DAC=90°,即 AD⊥AC. 又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 PO⊥AD. 而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC. 2[解析] (1)取 A1C1 中点 F,作 EG⊥面 AC1 于 G,

? ? ??B1EGF 为平行四边形?FG⊥A1C1?G 为 A1C 之中点. ? B1E∥面AC1?BE∥FG?

B1F∥EG

从而 E 为 BB1 之中点.∴BE=B1E. (2)由(1)知 G 为矩形 ACC1A1 的中心,过 G 作直线平行于 A1C1,交 AA1 于点 P,交 CC1 于 Q 点,连结 EP,EQ,则平面 A1B1C1∥平面 PEQ,即求平面 AEC 与平面 PEQ 所成的角, ∵交线为 EG,∴其平面角为∠A1GP,因 AA1=A1B1,则 ACC1A1 为正方形,则∠A1GP=45° . 3.(1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD. 又因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因为 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD. 又因为 PC? 平面 PCD,所以 AD⊥PC. (2)解:由(1)知 AD⊥平面 PCD, 所以 AD 是三棱锥 A-PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 ?1 ? 所以 S△PDE= S△PDC= ×? ×4×4?=4. 2 2 ?2 ? 1 1 8 又 AD=2,所以 VA-PDE= AD·S△PDE= ×2×4= . 3 3 3 (3)解:取 AC 的中点 M,连接 EM,DM,

因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, 所以 EM∥PA. 又因为 EM? 平面 DEM,PA?平面 EDM,所以 PA∥平面 DEM. 1 1 1 2 2 2 2 此时 AM= AC= AD +DC = 2 +4 = 5, 2 2 2 即在 AC 上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,且 AM 的长为 5.


推荐相关:

点线面关系知识总结和练习题(有答案)

点线面关系知识总结和练习题(有答案)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。点线面位置关系总复习 ? 知识梳理 一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:...


点线面位置关系练习题

点线面位置关系练习题_数学_高中教育_教育专区。点线面位置关系习题 ...2 15 , 求异面直线 B1 D 与 MN 所成角的余弦值。 参考答案: 一、 BDA...


立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细...

立体几何第二章空间点线面位置关系单元测试题(含详细答案解析)_数学_高中教育_教育专区。第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两...


立体几何点线面位置关系习题精选_图文

立体几何点线面位置关系习题精选_数学_高中教育_教育专区。同步练习第 I 卷(...? ,B 选项也可能有 n ? ? ,C 选项两平面可能 【答案解析】B 向量所在...


点线面位置关系练习题

点线面位置关系练习题 隐藏>> 点线面位置关系知识点总结 【空间中的平行问题】(1)直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面...


必修二第二章点线面之间的位置关系练习题

点 直线 平面之间的位置关系练习题 1 一、选择题 1.若直线 a 不平行于平面...(每小题 5 分,共 60 分)题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...


点线面位置关系(知识点加典型例题)

点线面位置关系(知识点加典型例题)_数学_高中教育_...可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 练习巩固: ...答案: 2 、如 果空 间 中若 干 点在 同 一...


点直线平面之间的位置关系练习题(含答案)

点直线平面之间的位置关系练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修2立体几何点线面位置关系强化练习题 高一数学点直线平面之间的位置关系强化练习题 一...


空间点线面位置关系练习题

空间点线面位置关系练习题_司法考试_资格考试/认证_教育专区。空间点线面位置...α ,n //α 是两个不同的平面,有下列命题: ,m // β ,则α ,则α ...


点线面关系知识总结和练习题(有答案)

点线面关系知识总结和练习题(有答案)_司法考试_资格考试/认证_教育专区。点线面位置关系总复习 ? 知识梳理 一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:直线与...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com