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一元一次不等式组的运用(方案设计题)


一元一次不等式(组)的运用

方案设计问题

学习目标:根据题中不等关系列出不等式 (组),通过求出解集,确定整数解,从而 确定问题的方案 ? 学习重点:列不等式组解决实际问题 学习难点:分析问题,找出题中的 不等关系并列出不等式。

应用一元一次不等式组解决 实际问题的一般思路:
找出
实际问题

不等关系 列出 不等式

解 决 求 结合实际 因素 解

组 成

不等式组

解题方法思考
本类方案题型解题关键在于找出符合 应用题全部含义的几个不等关系,依据这 些不等关系列出相应的不等式,从而组成 不等式组,求出不等式组的解集,在结合 问题的实际情况,从解集中找出符合题意 的解。
装货、载重、载人等装载问题,则隐含着至少要 把货物、重量、人等全部拉走。 “至少”用≥ 调配用料、搭配造型等配料问题,则隐含着最多 把所给的数量用完。 “最多”用≤

应用题1

为打造“书香校园”,某学校计划用不超过 1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建 中、小型两类图书角共30个。已知组建一个中 型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本; 组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文 类书籍60本。 (1)问符合题意的组建方案有几种?请你帮学校 设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组 建一个小型图书角的费用是570元,试说明在(1) 中哪种方案费用最低?最低费用是多元?

分析:
(1)在计划用书中,科技类书籍不超过1900本, 人文类书籍不超过1620本,由此列出不等式组, 求其整数解,可求得图书角的组建方案。 (2) 由(1)中的方案,计算出各个方案的费用,经 比较可确定最低费用。 (3) “不超过(不超出)”表示“≤” (4)如果设组建中型图书角 个,则组建小型 图书角为 (30 ? x)个。 所有科技类书:80x ? 30(30 ? x) ? 1900 所有人文类书:50x ? 60(30 ? x) ? 1620

x

解:(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得

80 x ? 30 ( 30 ? x ) ? 1900 ? ? 50 x ? 60 ( 30 ? x ) ? 1620 ?
……………………………………2分 解这个不等式组,得18≤x≤20. 由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20. 当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10. 故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型 图书 角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个. …5 分 (2)思路1:方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元); 方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元); 方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元). 故方案一费用最低,最低费用是22320元.

思路2:由于中型书角的费用>小型书角费用,所以选方案一。 最低费用860×18+570×12=22320元

应用题2 (青岛中考)为了美化青岛,创建文明城市,园林 部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙 种花卉搭配成A、B两种园艺造型共50个,摆放在 迎宾大道两侧,搭配每个造型所需花卉情况如下表 所示。 造型 甲 乙
A B 90盆 40盆 30盆 100盆

结合上述信息,解答下列问题: (1)符合题意的搭配方案有哪几种? (2)若搭配一个A型造型的成本为1000元,搭 配一个B种造型的成本为1200元,试说明选用 (1)中哪种方案成本最低?

解: (1)设需要搭配 个A种造型,则需要搭配 (50 ? x) 个B种造型,根据题意得:
?90x ? 40(50 ? x) ? 3600 ? ?30x ? 100(50 ? x) ? 2900

x

解得 30 ? x ? 32

? x 为整数, ? x ? 30, 31 ,32
第二种:A种造型31个,B种造型19个 第一种:A种造型32个,B种造型18个

∴有三种方案: 第一种:A种造型30个,B种造型20个 (2)由题知:三种方案的成本分别是: 第一种方案:30×1000+20×1200=54000(元) 第一种方案:31×1000+19×1200=53800(元) 第一种方案:32×1000+18×1200=53600(元) ∴第三种方案成本最低。

18.某工厂用如图(1)所示的长方形和正 方形纸板,糊制横式与竖式两种无盖的 长方体包装盒,如图(2).现有长方形纸板 351张,正方形纸板151张,要糊制横式 与竖式两种包装盒的总数为100个.若 按两种包装盒的生产个数分,问有几种 生产方案?如果从原材料的利用率考虑, 你认为应选择哪一种方案?
分析:

(1)

(2)

已知横、竖两种包装盒各需3长、2正;4长、1正,由于原材料的利用率 的高与低取决于盒子个数的分配的方案,因此确定一种盒子个数x的(正 整数)值是关键.所以建立关于x的方程或不等式是当务之急.

填空:
(个 ) 设 (张 ) (张 ) x 3x 2x

(个)
100-x 4(100-x) 100-x

合计(张)

现有纸板 (张 )

3x+4(100-x) 2x+100-x

351 151

解:设生产横式盒x个,即竖式盒(100-x)个, 得
3x+4(100-x) ≤351 2x+100-x≤151 解得 49≤x≤51 即正整数x=49,50,51

当x=49时, 3x+4(100-x)=351, 2x+100-x=149 , 长方形用完,正方形剩2张; 当x=50时, 3x+4(100-x)=350, 2x+100-x=150 , 长方形剩1张,正方形剩1张;

当x=51时, 3x+4(100-x)=349, 2x+100-x=151 , 长方形剩2张,正方形用完.
答:共有三种生产方案:横式盒、竖式盒为①49个、51个②各50个③51个、49个. 其中①方案原材料的利用率最高,应选①方案.

练习
(2014内蒙古乌兰察布,23,10分),某园林部 门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花 卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大 道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆, 乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆, 乙种花卉9盆. (l)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺 造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几 种?请你帮助设计出来; (2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一 个B种造型的成本是360元,试说明(1)中哪种方 案成本最低,最低成本是多少元?

某建筑公司需要水泥230吨,钢材168吨,现 有A、B两种型号的货车共40辆可供使用,每辆A 型车最多可装水泥6吨和钢材4吨,运费190元; 每辆B型车最多可装水泥5吨和钢材5吨,运费200 元。 (1)要安排A、B两种型号的货车来运输,有几 种运输方案?请你帮该公司设计。 (2)哪种运输方案的运费最少?为什么?

解:(1)设用A型车x辆,则用B型车(40-x)辆, 依题意得: 6 x ? 5(40 ? x) ? 230

解得:30 ? x ? 32

4 x ? 5(40 ? x) ? 168

? x为正整数? x ? 30 、 31 、 32 ? 安排A、B两型货车运输有三种运输方案: 方案1:A型车30辆、B型车10辆; 方案2:A型车31辆、B型车9辆; 方案3:A型车32辆、B型车8辆。
(2) 当A型车30辆、B型车10辆时:190×30+200×10=7700(元)

当A型车31辆、B型车9辆时:190×31+200×9=7690(元)
当A型车32辆、B型车8辆时为:190×32+200×8=7680(元)

所以第三种运输方案运费最少

租赁问题
(济南中考)某校准备组织290名学生进行野外考 察活动,行李共有100件。学校计划租用甲、乙两 种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多 能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30 人和20件行李。 (1)设租用甲种汽车 辆,请你帮助学校设计 所有可能的租车方案? (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别 为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车 方案?

x

解: (1)设租用甲种汽车 x 辆,则租用乙种汽车 辆,根据题意得: (8 ? x) ?40x ? 30(8 ? x) ? 290 ? 解得 5 ? x ? 6 ?10x ? 20(8 ? x) ? 100 即有两种租车方案: 第一种是租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆; 第二种是租用甲种汽车6辆,乙种汽车2辆。 (2)第一种费用:5×2000+3×1800=15400元 第二种租车费用: 6×2000+2×1800=15600元 ∴第一种租车方案更省费用。

练习:今年6月份,我市某果农收获荔枝 30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙两 种货车共10辆将这批水果全部运往深圳, 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨, 一种货车可装荔枝香蕉各2吨; 1、该果农按排甲、乙两种货车时有几种 方案?请你帮助设计出来. 2、若甲种货车每辆要付运输费2000元, 乙种货车每辆要付运输费1300元,则该 果农应选择哪种方案?使运费最少?最 少运费是多少元? 应用题9

解:(1)设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车(10-x)辆,依 题意,得 ?4 x ? 2(10 ? x) ? 30
? ? x ? 2(10 ? x) ? 13

,解这个不等式组,得 是整数,x可取5、6、7, 既安排甲、乙两种货车有三种方案: ①甲种货车5辆,乙种货车5辆; ②甲种货车6辆,乙种货车4辆; ③甲种货车7辆,乙种货车3辆; 方法一:由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费,两种货车共10 辆, 所以当甲种货车的数量越少时,总运费就越少,故该果农应选择① 运费最少, 最少运费是16500元; 方法二:方案①需要运费2000×5+1300×5=16500(元) 方案②需要运费 2000×6+1300×4=17200(元) 方案③需要运费 2000×7+1300×3=17900(元 该果农应选择① 运费最少,最少运费是16500元.

?x ? 5 ? ?x ? 7

某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显 示器,若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台,共 需要资金7000元;若购进电脑机箱2台和液晶显示 器5台,共需要资金4120元. (1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少 元? (2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可 用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据 市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可 获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商 品,所获利润不少于4100元.试问:该经销商有 哪几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是 多少?

(1)设每台电脑机箱的进价是x元,液晶显示器的进价是y元,得
?10 x ? 8 y ? 7000 ? ? x ? 60 ?2 x ? 5 y ? 4120 ? ,解得 ? y ? 800 答:每台电脑机箱的进价是60元,液晶显示器的进价是800元 (2)设购进电脑机箱z台,得
?60 x ? 800(50 ? x) ? 22240 ? ?10 x ? 160(50 ? x) ? 4100

,解得24≤x≤26 因x是整数,所以x=24,25,26 利润10x+160(50-x)=8000-150x,可见x越小利润就越大,故x=24 时利润最大为4400元 答:该经销商有3种进货方案:①进24台电脑机箱,26台液晶显示 器;②进25台电脑机箱,25台液晶显示器;③进26台电脑机箱,

24台液晶显示器。第①种方案利润最大为4400元



应用题3
初三某班毕业时结余经费1800元,班委会 决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为 母校购买纪念品,其余资金在毕业晚会上给50 位同学每人购买一件文化衫或一本相册作纪念, 已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰 好可以买到2件文化衫和5本相册。
(1)求每件文化衫和每本相册的价格分别是 多少? (2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种 方案用于给母校购买纪念品的资金更充足?

温馨提示:(1)若设每件文化衫为x元,每 本相册为y元,则: x ? 35 x? y ?9 解得: y ? 26 2 x ? 5 y ? 200
(2)设购买了a件文化衫,则购买了相册(50-a)本, 依题意得:

1800? 35a ? 26?50 ? a ? ? 270 1800? 35a ? 26?50 ? a ? ? 300
2 5 解得: 22 ? a ? 25 9 9

又因为a为正整数

所以a=23、24、25


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