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直线的参数方程(1)


直线的参数方程 (1)

回忆确定一条直线的条件?
y ? y1 x ? x1 两点式: y ? y ? x ? x 2 1 2 1

点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 斜截式: y ? kx ? b 截距式:
x y ? ?1 a b

k?

tan ?<

br />
y2 ? y1 k? x2 ? x1

一般式: Ax ? By ? C ? 0

问题:已知一条直线过点M0(x0 ,y0 ),倾斜角?,
求这条直线的方程.
解: 直线的普通方程为y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) sin ? 把它变成y ? y0 ? ( x ? x0 ) cos ? y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: ? sin ? cos ? y ? y0 x ? x0 ? ?t 令 sin ? cos ? ?x=x0 ? t cos ? 整理,得到 ? (t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?

1.直线参数方程

?x ? x 0 ? tcos? ? ? y ? y 0 ? tsin? ?x ? x 0 ? rcos? ? ? y ? y 0 ? rsin?

(t是参数)

2.圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程 (θ是参数)

对比说出两个参数方程的异同

试求下列直线的参数方 程 (1) x ? y ? 1 (2) y ? x ? 1 (3) y ? 3 x ? 1 3 ( 4) y ? ? x 3

问题:已知一条直线过点M0(x0 ,y0 ),倾斜角?,
求这条直线的参数方程.

?x ? x 0 ? tcos? ? ? y ? y 0 ? tsin?

y

M(x,y)

M0(x0,y0) ? e

? O

(cos ? ,sin ? )
x

思考?????? ?

? 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗?
y M M0

?????? ? ? ?????? ? ? ? M 0 M ? te ? M 0 M ? te ? ? 又 ? e是单位向量, ? e ?1 ?????? ? ? ? M 0M ? t e ? t

所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|

? e
O
x

练习

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 一条直线的参数方程是 (t为参数) ? ? y ? -5 ? 3 t ? 2 ? ①求t ? 2时点M的坐标。 ②已知N( 1, - 5)求MN的距离。

练习 1 ? x ? 1 ? t ? 2 ? 一条直线的参数方程是? (t为参数) ? y ? -5 ? 3 t ? 2 ? 另一条直线的方程是x - y - 2 3 ? 0,则两直线的 交点与点( 1, - 5)间的距离是 4 3

探究:
?x=x0 ? t cos ? 1.直线 ? (t为参数)上有参数分别 ? y ? y0 ? t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为

A.t1 ? t2 B. t1 ? t2 C. t1 ? t2 D. t1 ? t2

探究:
? x ? a ? t cos ? 2。在参数方程 ? (t为参数)所表示 ? y ? b ? t sin ? 的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为 t2、t2 , 则线段BC的中点M对应的参数值是(



t1 ? t2 A. 2

t1 ? t2 B. 2

|t1 ? t2 | C. 2

| t1 ? t2 | D. 2

探究结果:
直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少? (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

练习 1 ? x ? 1 ? t ? 2 ? 一条直线的参数方程是 (t为参数) ? ? y ? -5 ? 3 t ? 2 ? ①求t ? 2时点M的坐标。 3 3 ②已知N( , -5? )求其对应的参数 t值. 2 2 ③求MN的长。

练习 求直线l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0与 直线l1 : 4 x ? y ? 4 ? 0 及 直线 l 2 : x ? 5 y ? 2 ? 0相交 所得两交点间距离。

70 19

2 例 1 例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。 分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
y

A

M(-1,2)

O

B

x

例 例 11.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于 A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
2

两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方 程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 3? 易知直线的倾斜角为 4 所以直线的参数方程可以写成 3? ? x=-1+tcos ? ? 4 (t为参数) ? ? y ? 2 ? t sin 3? ? ? 4

y

M(-1,2)

O

B

x

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 即? (t为参数) A ?y ? 2 ? 2 t ? ? 22 把它代入抛物线y=x 的方程,得
2

y

M(-1,2)

由参数t的几何意义得

O t ? 2t ? 2 ? 0 ? 2 ? 10 ? 2 ? 10 解得t1 ? ,t2 ? 2 2

B

x

AB ? t1 ? t2 ? 10
MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1t2 ? 2

小结:

1.直线参数方程

2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离.

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt

3.注意向量工具的使用.

?????? ? ??? 我们是否可以根据t的值来确定向量M M
0

我们知道e是直线l的单位方向向量,那 么它的方向应该是向上还是向下的?还
?????? ? M0 M

的方向呢??

是有时向上有时向下呢? 分析: 此时 , 若 t>0, 则 ?????? ? ?? 是直线的倾斜角, ?当0<? <? 时,?sin? >0 ? ?0 M 的方向向上; M 又 ? sin? 表示e的纵坐标, ? e的纵坐标都大于0 若 t<0, ? ?????? ? 则 ? 那么e的终点就会都在第一,二象限, ? e的方向; M0 M的点方向向下 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.


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