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2015-2016学年天津市和平区高二(下)期末数学试卷(文科)解析版


2015-2016 学年天津市和平区高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (4 分) (2016 春?和平区期末)若 i 为虚数单位,则 A. +i B.2i C.i D. i ) 等于( )

2. (4 分) (2016 春?

和平区期末)已知命题 p:? x∈R(x≠0) ,x+ ≥2,则¬p 为( A.? x0∈R(x0≠0) ,x0+ C.? x∈R(x≠0) ,x+ ≤2 ≤2 B.? x0∈R(x0≠0) ,x0+ <2

D.? x∈R(x≠0) ,x+ <2

3. (4 分) (2016 春?和平区期末)过点(﹣2,3) ,且与直线 3x﹣4y+5=0 垂直的直线方程 是( ) A.3x﹣4y+18=0 B.4x+3y﹣1=0 C.4x﹣3y+17=0 D.4x+3y+1=0 4. (4 分) (2016 春?和平区期末)设 x∈R,则“|x﹣1|<2”是“0<x+1<5”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知 a,b,c 满足 a<b<c,且 ac<0,则下列不等关系 中不满足恒成立条件的是( ) A. >0 B. < C. <0 D . <

6. (4 分) (2016 春?和平区期末)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的 S 的 值为( )

A.﹣1 B.

C.

D.4

7. (4 分) (2012?浙江校级模拟)若平面 α,β,满足 α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,则下列命 题中的假命题为( ) A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 3 8. (4 分) (2016 春?和平区期末)若函数 f(x)=x ﹣3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值 为 2,则 f(x)的单调递减区间为( )

A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,1)

C. (1,+∞) ﹣

D. (﹣∞,﹣1)和(1,+∞) =1(a>0,b>0)与抛物线 y =﹣8x ) =1
2 2

9. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知双曲线 有相同的焦点,且双曲线过点 M(3, A. ﹣y =1
2

) ,则双曲线的方程为(
2

B.



=1

C.x ﹣

=1

D.



10. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c<0 的解集为(1, 2 2) ,则关于 x 的一元二次方程 cx +bx+a<0 的解集为( ) A. (1,2) B. (﹣2,﹣1) C. ( ,1) D. (﹣∞,1)∪(2,+∞)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分) (2016 春?和平区期末)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何 3 体的体积为 cm .

12. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 . 13. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知圆 C 的圆心为(2,﹣2) ,且圆 C 上的点到 y 轴的 最小距离是 1,则圆 C 的方程为 . 14. (4 分) (2016 春?和平区期末)曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线方程 15. (4 分) (2016 春?和平区期末)如图,将正整数排成一个三角形数阵:
3



按照以上排列的规律,第 20 行从左向右的第 2 个数为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.



16. (6 分) (2016 春?和平区期末)设直线 l:y=﹣ x+ ,圆 O:x +y ﹣4x﹣2y+1=0,求 直线 l 被圆 O 所截得的弦长. 17. (8 分) (2016 春?和平区期末)某车间生产甲、乙两种产品.已知生产甲产品 1 桶需要 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需要 A 原料 3 千克、B 原料 1 千克.生产计

2

2

划中规定每天消耗的 A 原料不超过 21 千克、B 原料不超过 12 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元,每天生产甲、乙产品各多少桶可以获得最大利润?最 大利润是多少元? 18. (8 分) (2016 春?和平区期末)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D、E 分别为 BC、B1C1 的中点,且 AB=AA1=2. (1)求证:A1E⊥C1D; (2)求证:A1E∥平面 AC1D; (3)求直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的余弦值.

19. (8 分) (2016 春?和平区期末)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点 A(2,3) ,

且右焦点为 F(2,0) . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设坐标原点为 O, 平行于 OA 的直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且 OA 与 l 的距离等于 求直线 l 的方程. 20. (10 分) (2016 春?和平区期末)设函数 f(x)=﹣ x + x +2ax,x∈R. (1)当 a=﹣1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在( ,+∞)内存在单调递增区间,求 a 的取值范围; (3)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为﹣
3 2



,求 f(x)在该区间上的最大值.

2015-2016 学年天津市和平区高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (4 分) (2016 春?和平区期末)若 i 为虚数单位,则 A. +i B.2i C.i D. i 等于( )

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: = ,

故选:C. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 2. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知命题 p:? x∈R(x≠0) ,x+ ≥2,则¬p 为( A.? x0∈R(x0≠0) ,x0+ C.? x∈R(x≠0) ,x+ ≤2 ≤2 B.? x0∈R(x0≠0) ,x0+ <2



D.? x∈R(x≠0) ,x+ <2

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【解答】解:命题为全称命题,则命题的否定是特称命题, 则¬p:? x0∈R(x0≠0) ,x0+ <2,

故选:B 【点评】 本题主要考查含有量词的命题的否定, 根据全称命题的否定是特称命题是解决本题 的关键. 3. (4 分) (2016 春?和平区期末)过点(﹣2,3) ,且与直线 3x﹣4y+5=0 垂直的直线方程 是( ) A.3x﹣4y+18=0 B.4x+3y﹣1=0 C.4x﹣3y+17=0 D.4x+3y+1=0 【分析】由垂直关系可得直线的斜率,可得点斜式方程,化为一般式即可. 【解答】解:∵直线 3x﹣4y+5=0 的斜率为: , ∴与之垂直的直线的斜率为:﹣ , ∴所求直线的方程为 y﹣3=﹣ (x+2) , 化为一般式可得 4x+3y﹣1=0,

故选:B. 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 4. (4 分) (2016 春?和平区期末)设 x∈R,则“|x﹣1|<2”是“0<x+1<5”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】求出不等式的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:由|x﹣1|<2 得﹣2<x﹣1<2 即﹣1<x<3, 由 0<x+1<5 得﹣1<x<4, 即“|x﹣1|<2”是“0<x+1<5”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据不等式的关系结合充分条件和必要 条件的定义是解决本题的关键. 5. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知 a,b,c 满足 a<b<c,且 ac<0,则下列不等关系 中不满足恒成立条件的是( ) A. >0 B. < C. <0 D . <

【分析】根据不等式的基本性质,分别判断四个答案中的不等式是否恒成立,可得结论. 【解答】解:∵a<b<c,且 ac<0, ∴a<0,c>0, ∴由 b﹣c<0 得: >0 恒成立,

由 a<b 得: < >0 恒成立, 由 c﹣a>0 得: 但 < <0 恒成立,

不一定恒成立,

故选:D. 【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质,难度不大,属于基础题. 6. (4 分) (2016 春?和平区期末)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的 S 的 值为( )

A.﹣1 B.

C.

D.4

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算累加并输出满足条件 i<15 时的 S 值,模拟程序的运行结果,即可得到答 案. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=﹣1,i=1 满足条件 i<15,执行循环体,S= ,i=2 满足条件 i<15,执行循环体,S= ,i=3 满足条件 i<15,执行循环体,S=4,i=4 满足条件 i<15,执行循环体,S=﹣1,i=5 … 观察规律可知,S 的取值周期为 4,由于 15=4×3+3,可得: 满足条件 i<15,执行循环体,S= ,i=15 不满足条件 i<15,退出循环,输出 S 的值为 . 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中利用模拟程序执行过程的方法,求解程序的运 行结果是解答此类问题常用的方法,属于基础题. 7. (4 分) (2012?浙江校级模拟)若平面 α,β,满足 α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,则下列命 题中的假命题为( ) A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 【分析】本题用面面垂直性质定理逐项验证,注意在其中一个平面内作交线的垂线 【解答】解:过点 P 且垂直于 α 的直线一定平行于在 β 内与交线垂直的直线,故 A 正确; 由题意和面面垂直的判定定理知,选项 B 正确; 由题意和面面垂直的性质定理知,选项 B 正确 过点 P 且垂直于 l 的直线有可能垂直于 α,D 不正确; 故选 D. 【点评】本题考查了面面垂直的判定定理和性质定理,应加强对定理的理解和灵活应用,属 于基础题. 8. (4 分) (2016 春?和平区期末)若函数 f(x)=x ﹣3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值 为 2,则 f(x)的单调递减区间为( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,1) C. (1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)和(1,+∞) 3 【分析】根据函数 f(x)=x ﹣3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,求导 f′(x)=0, 求得该函数的极值点 x1,x2,并判断是极大值点 x1,还是极小值点 x2,代入 f(x1)=6,f (x2)=2,解方程组可求得 a,b 的值,再由 f′(x)<0 即可得到. 2 【解答】解: :令 f′(x)=3x ﹣3a=0,得 x=± , 令 f′(x)>0 得 x> 或 x<﹣ ;令 f′(x)<0 得﹣ <x< .
3

即 x=﹣ 取极大,x= 取极小. 3 ∵函数 f(x)=x ﹣3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2, ∴f( )=2,f(﹣ )=6, 即 a ﹣3a +b=2 且﹣a +3a +b=6, 得 a=1,b=4, 2 则 f′(x)=3x ﹣3,由 f′(x)<0 得﹣1<x<1. 则减区间为(﹣1,1) . 故选:B. 【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件,以及函数的单调区间,考查解方程的运算能 力,属于中档题.

9. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知双曲线 有相同的焦点,且双曲线过点 M(3, A. ﹣y =1
2



=1(a>0,b>0)与抛物线 y =﹣8x ) =1

2

) ,则双曲线的方程为(
2

B.



=1

C.x ﹣

=1

D.



【分析】求出抛物线的焦点坐标即双曲线的一个焦点,利用双曲线的定义求出 a,即可得到 结论. 【解答】解:抛物线 y =﹣8x 的焦点坐标为(﹣2,0) , 即 c=2,则双曲线的两个焦点坐标为 A(2,0) ,B(﹣2,0) , ∵双曲线过点 M(3, ) , ∴2a=|BM|﹣|AM|= 则 a= ,则 b =c ﹣a =4﹣3=1, ﹣y =1,
2 2 2 2 2



=



=2



则双曲线的方程为

故选:A. 【点评】本题主要考查双曲线方程的求解,根据双曲线的定义建立方程求出 a,b 是解决本 题的关键. 10. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c<0 的解集为(1, 2 2) ,则关于 x 的一元二次方程 cx +bx+a<0 的解集为( ) A. (1,2) B. (﹣2,﹣1) C. ( ,1) D. (﹣∞,1)∪(2,+∞) 【分析】 根据不等式 ax +bx+c<0 的解集得出 a>0, 求 b=﹣3a, c=2a, 再化简不等式 cx +bx+a <0,求出解集即可. 2 【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c<0 的解集为(1,2) , ∴﹣ =1+2=3, =1×2,且 a>0, ∴b=﹣3a,c=2a, 2 2 2 ∴不等式 cx +bx+a<0 可化为 2ax ﹣3ax+a<0,即可化为 2x ﹣3x+1<0,即为(2x﹣1) (x ﹣1)<0,
2 2 2

解得 <x<1, 故不等式的解集为( ,1) , 故选:C. 【点评】 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程之间的应用问题, 解题时应利用根与系 数的关系进行解答,是基础题. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分) (2016 春?和平区期末)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何 3 体的体积为 64 cm .

【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是四棱锥与正四棱柱的组合体,由此求出它的 体积即可. 【解答】解:根据几何体的三视图,得;

该几何体是上部为正四棱锥,下部为正四棱柱的组合体,如图所示, 长方体的长为 5,宽为 4,高为 3, ∴该组合体的体积为 V= ×4×4×3+4×4×3=64. 故答案为:64. 【点评】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题,是基础题目. 12. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 .

【分析】 首先把空间问题转化为平面问题, 通过连结 A1B 得到: A1B∥CD1 进一步解三角形, 设 AB=1, 利用余弦定理: BE= 的长求出结果. 【解答】解:在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 连结 A1B,根据四棱柱的性质 A1B∥CD1 设 AB=1, 则:AA1=2AB=2, ∵E 为 AA1 的中点, ∴AE=1, ,BE= , 根据线段 AE=1, ,

在△A1BE 中,利用余弦定理求得: 即异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为: 故答案为:

=

【点评】本题考查的知识点:异面直线的夹角,余弦定理得应用,及相关的运算. 13. (4 分) (2016 春?和平区期末)已知圆 C 的圆心为(2,﹣2) ,且圆 C 上的点到 y 轴的 2 2 最小距离是 1,则圆 C 的方程为 (x﹣2) +(y+2) =1 . 【分析】由题意圆 C 上的点到 y 轴的最小距离是 1,得:圆的半径,由圆心与半径写出圆的 标准方程即可. 【解答】解:由题意圆 C 上的点到 y 轴的最小距离是 1,得:圆的半径 r=1, ∵圆 C 的圆心为(2,﹣2) , 2 2 ∴圆的标准方程为(x﹣2) +(y+2) =1. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y+2) =1. 【点评】此题考查了圆的标准方程,求出圆的半径是解本题的关键. 14. (4 分) (2016 春?和平区期末) 曲线 y=x ﹣2x+4 在点 ( 1, 3) 处的切线方程 x﹣y+2=0 . 3 【分析】先求导函数,然后将点的坐标代入,求出切线斜率,即可求得曲线 y=x ﹣2x+4 在 点(1,3)处的切线方程. 【解答】解:y=x ﹣2x+4 的导数为:y=3x ﹣2, 将点(1,3)的坐标代入,即可得斜率为:k=1, 3 ∴曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线方程为 y﹣3=x﹣1, 即 x﹣y+2=0. 故答案为:x﹣y+2=0. 【点评】本题考查了导数的几何意义,它把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成 为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体,属于基础题. 15. (4 分) (2016 春?和平区期末)如图,将正整数排成一个三角形数阵:
3 2 3

按照以上排列的规律,第 20 行从左向右的第 2 个数为 192 . 【分析】先找到数的分布规律,求出第 n﹣1 行结束的时候一共出现的数的个数,再求第 n 行从左向右的第 2 个数即可得出第 20 行从左向右的第 2 个数. 【解答】解:由排列的规律可得,第 n﹣1 行结束的时候排了 1+2+3+…+n﹣1= n(n﹣1)个 数. 所以第 n 行从左向右的第 2 个数 n(n﹣1)+2, 所以第 20 行从左向右的第 2 个数为 =192,

故答案为:192. 【点评】此题主要考查了数字的变化规律,借助于一个三角形数阵考查数列的应用,是道基 础题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (6 分) (2016 春?和平区期末)设直线 l:y=﹣ x+ ,圆 O:x +y ﹣4x﹣2y+1=0,求 直线 l 被圆 O 所截得的弦长. 【分析】求出圆心 O(2,1)到直线 l 的距离和圆 O 的半径,由此利用勾股定理能求出直线 l 被圆 O 所截得的弦长. 【解答】解:∵直线 l:y=﹣ x+ , ∴直线 l 的一般形式为:3x+4y﹣5=0, 圆 O 的标准方程为(x﹣2) +(y﹣1) =4, 则圆心 O(2,1)到直线 l 的距离:d= 圆 O 的半径 r=2,故半弦长为 = , =1,
2 2 2 2

∴直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 2 . 【点评】本题考查直线被圆所截得弦长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性 质、点到直线的距离公式的合理运用. 17. (8 分) (2016 春?和平区期末)某车间生产甲、乙两种产品.已知生产甲产品 1 桶需要 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需要 A 原料 3 千克、B 原料 1 千克.生产计 划中规定每天消耗的 A 原料不超过 21 千克、B 原料不超过 12 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元,每天生产甲、乙产品各多少桶可以获得最大利润?最 大利润是多少元? 【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,根据题设条件得出 线性约束条件以及目标函数,由平移法求出利润的最大值即可. 【解答】解:设分别生产甲乙两种产品为 x 桶,y 桶,利润为 z,

则根据题意可得

,z=300x+400y.

作出不等式组表示的平面区域,如图所示. 作直线 L:3x+4y=0,然后把直线向可行域平移, 由 ,可得 x=3,y=6,

此时 z 最大,最大值为 z=300×3+400×6=3300(元) . 则每天生产甲产品 3 桶,乙产品 6 桶,可以获得最大利润 3300 元.

【点评】本题考查用线性规划知识求利润的最大值,这是简单线性规划的一个重要运用,解 题的关键是准确求出目标函数及约束条件. 18. (8 分) (2016 春?和平区期末)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D、E 分别为 BC、B1C1 的中点,且 AB=AA1=2. (1)求证:A1E⊥C1D; (2)求证:A1E∥平面 AC1D; (3)求直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的余弦值.

【分析】 (1)根据线面垂直的性质定理证明 A1E⊥平面 BCC1B1,即可. (2)根据线面平行的判定定理证明 A1E∥AD 即可, (3)根据线面角的定义得到∠AC1D 就是 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角,解直角三角形即 可. 【解答】 (1)证明:在如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥平面 A1B1C1,A1E? 平 面 A1B1C1, ∴CC1⊥A1E,

则在三角形 A1B1C1 中,E 为 B1C1 的中点, 则 A1E⊥B1C1, ∵CC1∩B1C1=C1, ∴A1E⊥平面 BCC1B1, ∵C1D? 平面 BCC1B1, ∴A1E⊥C1D; (2) 连接 DE, 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 四边形 BCC1B1 是矩形, 点 D、 E 分别为 BC、 B1C1 的中点, ∴BB1∥DE,且 BB1=DE, ∵BB1∥AA1,且 BB1=AA1, ∴AA1∥DE,且 AA1=DE, 即四边形 ADEA1,为平行四边形. ∴A1E∥AD, ∵AD? 平面 AC1D,AE?平面 AC1D, ∴A1E∥平面 AC1D; (3)∵AD∥A1E, ∴A1E⊥面 BB1C1C, ∴AD⊥面 BB1C1C, ∴∠AC1D 就是 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角, 在 Rt△AC1D 中,∠ADC1=90°,DC1= ,AC1=2 , cos∠AC1D= = .

即所求角的余弦值为



【点评】 本题主要考查空间线面垂直和平行的判断以及直线和平面所成角的大小的计算, 根 据相应的判定定理以及利用线面角的定义作出线面角的平面角是解决本题的关键.

19. (8 分) (2016 春?和平区期末)已知椭圆 C: 且右焦点为 F(2,0) . (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)经过点 A(2,3) ,

(2) 设坐标原点为 O, 平行于 OA 的直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且 OA 与 l 的距离等于 求直线 l 的方程. 【分析】 (1)依题意设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0)由已知得 c=2,



2a=|AF|+|AF′|=8,由此能求出椭圆 C 的方程. (2)平行于 OA 的直线 l 的方程为 y= x+t,联立直线与椭圆方程,得 3x +3bx+t ﹣12=0, 由此利用根的判别式,结合 OA 与 l 的距离等于 【解答】解: (1)依题意设椭圆 C 的方程为 且可知左焦点为 F′(﹣2,0) , |AF|= |AF′|= =3, =5, + ,即可求直线 l 的方程. =1(a>b>0)
2 2

从而有 c=2,2a=|AF|+|AF′|=8, 解得 a=4,c=2, 2 2 2 2 又 a =b +c ,所以 b =12, 故椭圆 C 的方程为 =1.

(2)∵kOA= ,∴平行于 OA 的直线 l 的方程为 y= x+t, 联立直线与椭圆方程,得 3x +3bx+t ﹣12=0, 2 2 ∵平行于 OA 的直线 l 与椭圆有公共点,∴△=9t ﹣12(t ﹣12)≥0, 解得﹣4 ≤t≤4 ∵OA 与 l 的距离等于 , ∴ = ,
2 2

∴t=±

∈[﹣4

,4

] .

∴直线 l 的方程为 y= x±

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查点到直线的距离公式 的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
3 2

20. (10 分) (2016 春?和平区期末)设函数 f(x)=﹣ x + x +2ax,x∈R. (1)当 a=﹣1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在( ,+∞)内存在单调递增区间,求 a 的取值范围;

(3)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为﹣

,求 f(x)在该区间上的最大值.

【分析】 (1)求出函数的导数,得到导函数的符号,求出函数的单调性即可; (2)求出函数的导数,得到函数的极大值点,解关于 a 的不等式,求出 a 的范围即可; (3)求出 x2 的范围,解关于 a 的方程,求出 a 的值和 x2 的值,从而求出 f(x)在区间[1, 4]上的最大值. 【解答】解: (1)a=﹣1 时,f(x)=)=﹣ x + x ﹣2x, ∵f′(x)=﹣ ∴f(x)在 R 递减; (2)由 f′(x)=﹣x +x+2a=0, 解得:x1= 则极大值点是 x2,令 解得:a>﹣ , ∴a 的范围是(﹣ ,+∞) ; (3)由(2)得 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)递减,在(x1,x2)递增, 当 0<a<2 时,x1∈( ,0) ,x2∈(1, ) , ,x2= > , ,
2 3 2

﹣ <0,

故 x1<1<x2<4,∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(x2) , ∵f(4)﹣f(1)=﹣ +6a<0, +8a=﹣ ,

∴f(x)在[1,4]上的最小值是 f(4)=﹣ 解得:a=1,x2=2, ∴f(x)在区间[1,4]上的最大值是 f(2)=



【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.


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