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高中物理竞赛辅导专题 电路分析


高中物理竞赛辅导专题之

电路分析

一、电阻率

伏安特性曲线 l R?? 1。电阻定律 S 其中ρ 为材料的电阻率,在温度不变,或变 化不大时,ρ 可视为定值,只与材料有关。 但在温度变化时, ρ是温度的函数。 2。温度系数
电阻率随温度而变的关系是:

? ? ? 0 (1 ? ?t

)

当然: R ? R0 (1 ? ?t )

其中, ρ0是0°C时材料的电阻率,α叫该材料 电阻率的温度系数。一般金属材料的温度系 数是正值。

I/A

A
0.4

0.3

B

例1、“220v 100w”的白炽 灯A和“220v 60w”的白炽灯 B的伏安特性, 如图所示。求:
1)若将两 (2 灯并联在 灯串联在 110v的电源 220v 上时,两灯 实际消消耗 的功率。

0.2

0.1

0

50

100

150

200

U/v

例2、已知0°C时碳的电阻率为3.5×10-5Ω· m,铁
的电阻率为8.7×10-8Ω· m;碳的电阻温度系数为 -5×10-4/°C,铁的电阻温度系数为5×10-3/°C, 为了使一圆柱形长导体棒的电阻不随温度而变,可 将两相同截面积的碳棒和铁棒串联起来,问这两棒 的长度之比为多少?
R1 ? R10 (1 ? ?1 t ) R2 ? R20 (1 ? ? 2 t )
R ? R1 ? R2

分析:

R ? R10 (1 ? ? 1 t ) ? R20 (1 ? ? 2 t )

R ? R10 ? R10 ?1 t ? R20 ? R20 ? 2 t

R ? ( R10 ? R20) ? ( R10 ?1 ? R20 ? 2)t
要使R不随t而变,只需:
R10 ? 1 ? R20 ? 2 ? 0 ?10 l1 R10 ? s ? 20 l 2 R 20 ? s ? 20 ? 2 l1 ?? ?10 ?1 l2

? 10 l1 ?1
s

?

? 20 l 2 ? 2
s

?0

思考题:用电阻不计的两个金属片夹住半圆形电 阻接入电路,图甲中电流表读数为I,则图乙中电 流表读数为( )
A A

U

U





I A. 4

I B. 2

C. I

D. 2 I

二、电阻、电容构成的电路

例3、已知:R0=2Ω,R1= R2= 7 Ω ,E=3v,
r=0.5 Ω,C=1.0×10-6F。求电容C的带电量(第一

个图要求分电键接“1”和“2”两种情况解)。
R1

R1

R0 E r 2 1 C

R2

E r

R0 R2

C

R3 A R1

E

R4 C

B R2

F

例4、如图,已知R1=4Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4 =3Ω, UAB=12v,C= 1.0×10-8F,求电容所 带电量Q。

分析:关键是要求出电容器两端的电压UEF。可 取B为零势点,先求出UE及UF,由UEF=UE-UF 可得UEF,再由Q=C UEF可得带电量Q。

三、基尔霍夫方程组
R1 R2
I-I1-I5

A

I

I1 I 5 I-I1

R5

I1+I5

B

例5、如图:已知R1=4Ω, R2=2Ω, R3=2Ω, R4 =4Ω, R5=1Ω,求AB 间的等效电阻。

R3

R4

解:设在AB间加U的电压时,各路电流如图所示, I5方向未知,可随意标一个可能方向。 I 1 R1 ? ( I 1 ? I 5) R2 ? U 有: (I ?I 1) R3 ? (I ?I1?I 5) R4 ? U

( I ? I 1 ) R3 ? I 5 R5 ? I 1 R1 ? 0

6I 1 ? 2 I 5 ? U 6 I ?6 I 1 ? 4 I 5 ? U 2 I ?6 I 1 ? I 5 ? 0

解得: U ? 11 I 4 即:
11 (? ) R AB ? 4

四、电路变换(Δ -Y变换)
B b

R B RC ra ? R A ? R B ? RC
等 价 条 件 c

rb RC
A RB

RA
ra C a rc

R A RC rb ? R A ? R B ? RC rc ? R A RB R A ? R B ? RC

例5、如图:已知R1=4Ω, R2=2Ω, R3=2Ω, R4=4Ω, R5=1Ω,求AB间的等效电阻。 R2 c R1 C R2 A R5 R3 D R4
B
Ra
a Rc Rd d

b

R4

解:将A、C、D间的Δ 电路变换为acd星形电路。 8 R 1 R3 4 R 1 R5 ? ? ? ra ? ? r c ? R1 ? R3 ? R5 7 R1 ? R3 ? R5 7 2 R 3 R5 11 ? ? rd ? R AB ? r ab ? ? ? ? 7 R1 R3 R5 4

五、对称电路
D B A C 3 A

例6、小正方形每边的电阻均 为r=8Ω,(1)若AB间的电 池的电动势为E=5.7v,内阻 不计,求流过电池的电流。 (2)若用导线(不计电阻) 将C、D连通,求流过导线 CD的电流。
3
3

2 B

D A

1

B 1 2 D

C

C

3

3

A 1 2

B

解:(1)将结点3 折开,易得:

1 40 ?16 40 ? ? R AB ? ? 2 40 ? 16 7

3 3 A 1 2 B

I?

E R AB

? 1A

3 3 A 1 C 2 B

解:(2)将结点3 折开,易得:
R AB下 ? 25.6?

D

5.7 24 I ? 2? ? ? 0.267 ( A) 25 .6 40
B

练习、如图:图中8个电阻 阻为R,求:(1)ROA ; (2)RAB
A

O

(1)AO接入电路时,由于电路关于AO所在直线对称, C、D是等势点。6和8、4和5、1和3都是并联关系。
C 4 6 7 O 5 2 A 3 D 6 8 8 B

A
1 3

2 4

O

1

C D

5 7

(2)AB接入电路时,电路变化如下:

C

6

B

1
2 A 4

6
7 B

4
1 2 O

7
8 5

3 3
D 6 7 B A

5

8

A
1 2

1
2

6
7 B

A
3 8

3

8

五、线型无限网络
A
C

B

例6、如图为阻值 都为r 的电阻构成 的单向无限网络 求:RAB

D

解:设RCD=R,由于网络的无限性,有: RCD= RAB Rr ? 2r ? R r R?r A C
r B r D R
2 2 R ? 2Rr ? 2 r ? 0

解得: R ? (1 ? 3)r
即: R AB ? (1 ? 3)r

A

参考答案: 3? 2 3 r R AB ? 3 6? 3 r R AB ? A B 6 多一个或少一个网络元对“无限网络”是没有 影响的。这就是解决线型无限网络问题的入手点。

B

思考:将上题改 为双向无限网络, 分别求两图中A、 B两点间的电阻 RAB。

五、面型无限网络
例7、如图为一个无穷方格电阻 丝网络的一部分,其中每一小段

C
A B

电阻丝的阻值都是r,求:(1) RAB ;(2) RAC。

再设电流从无穷远的四面八方汇 解:(1)设有I的电流从A点
注入网络,流向四面八方 至无穷远,由网络在四个 方向上是对称的,故有I/4 的电流流过AB段; 入网络,从B点流出,大小也是I, 则也必有I/4的电流流过AB段至点 B。则当有I的电流从A注入,同时 有I的电流从B流出时,应有 I/4+I/4=I/2的电流流经AB段,设此 时AB间电压为U,则:

I U? r 2

U r ? I 2

r R AB ? 2

C A
B

解:(2)当有电流I由A注 入网络时,流经AB的电流 为I/4,流经BC的电流为 I/12,当有电流I由无穷远 汇入网络从C流出时,流经 BC的电流为I/4,流经AB的 电流为I/12;

故当将AC接入电路,有电流I从A注入从C流出 时,流经AB的电流为I/3,流经BC的电流为I/3, 设此时AC间电压为U,则:

I I 2I U ? r? r? r 3 3 3

U 2r ? I 3

2r R AC ? 3

解决面型无限网络问题的关键是(1)网络在 几个方向上的对称性;(2)电流叠加原理。

练习:如图为一个无穷正六
B A

边形电阻丝网络的一部分, 其中每一小段电阻丝的阻值 都是r,求:RAB 。

解:(2)当有电流I由A注入网络时, 流经AC的电流为I/3,流经CB的电流 B A 为I/6,当有电流I由无穷远汇入网络

C

从B流出时,流经CB的电流为I/3,
流经AC的电流为I/6;

故当将AB接入电路,有电流I从A注入从B流出时,流经 AC的电流为I/2,流经CB的电流为I/2,设此时AB间电压

为U,则:
I I U ? r ? r ? Ir 2 2 U ?r I



R AB ? r

休息,
休息一会儿!

*Δ -Y变换条件的验证
B c A I1 I2 a x

B IB
IA

b

I3

C A

bc x? a?b?c ① y ac y? a?b?c ② z ab z? IC ③ C a?b?c

命题:将以上两个电路分别接入同样的三个点A、B、 C,若两个电路的各电阻间有① ② ③的对应关系, 则从A、B、C流入或流出两电路的电流对应相等, 即:IA=I1+I3,IB=I2-I1,IC=I2+I3

B c A I1 I2 a x b I3

B IB IA IC y z C

I A x ? I B y ? I1 c

I A x ? IC z ? I3b
I B y ? IC z ? I2 a

C A

I I Ax? IB y Ab ? I B a ? I1 ? c a?b?c
I A x ? IC z ? I Ac ? IC a ? I3 b a?b?c

I I Ab ? I B a Ac ? IC a ? I1 ? I 3 ? a?b?c a?b?c I A (b ? c ) ? I B a ? I B a ? I A a ? a?b?c ? IA

I B y ? IC z ? I B c ? IC b ? I2 a a?b?c


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