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生活中的优化问题举例


§3.4
【成功细节】

生活中的优化问题举例

本节主要研究导数在实际生活中的应用,在学习时,我认为应该注意以下几个方面的细节:(1)要 细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变量 x ,把实际问题 转化为数学问题,即列出函数解析式 y ? f ( x) ,根据实际问题确定函数 y ? f ( x) 的定义域;(2 要熟练 掌握应用导数法求函数最值的步骤,细心运算,正确合理地做答;(3)求实际问题的最值时,一定要从 问题的实际意义去考察,不符合实际意义的理论值应予舍去;(4)在实际问题中,有 f ?( x) ? 0 常常仅解 到一个根,若能判断函数的最大(小)值在 x 的变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大 (小)值。如, 本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题,可设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m), 高 (2007 年重庆市文科 20 题) 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之 比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
h?



18 ? 12x ? 4.5 ? 3x( 4

. 故长

方体的体积为 V ( x) ? 2 x 2 (4.5 ? 3x) ? 9 x 2 ? 6 x 3 (m3 ) 从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x).

3 (0<x< ). 2

令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。

【高效预习】 (核心栏目)
【关注.思考】 1.了解优化问题的类型; 2.实际问题中为什么极值点 一般就是最值点. 【粗读·概括】 1.认真阅读教材中的例题,从中提 炼解答优化问题的解题步骤.

【学习细节】 (核心栏目)

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A.基础知识
一、利用导数解决生活中的优化问题 【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问 题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决 一些生活中的优化问题. 【例题 1】 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所 2 示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm ,上、下两边各空 2dm,左、右两边 各空 1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 【引导】 先建立目标函数,然后利用导数求最值. 解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为

128 dm,此时四周空白面积为 x 128 512 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, x ? 0 。 x x S ' ( x) ? 2 ?

求导数,得

512 。 x2 512 ' 令 S ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? 16( x ? ?16 舍去) 。 x 128 128 于是宽为 ? ? 8。 x 16
当 x ? (0,16) 时, S ( x ) <0;当 x ? (16, ??) 时, S ( x ) >0.
' '

因此, x ? 16 是函数 S ( x) 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四 周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 【思考】 在课本例 1 中, x ? 16 是函数 S ? x ? 的极小值点, “ 也是最小值点。 为什么?是否还有别的解法? ” 【探究】在实际问题中,由于 f
'

? x ? =0 常常只有一个根,因此若能判断该函数的最大(小)值在 x 的变化

区间内部得到,则这个根处的极大(小)值就是所求函数的最大(小)值。 由课本例 1 可得, S ( x) ? 4 x ?

256 256 ? 8 ? 2 4x ? ? 8 ? 2 ? 32 ? 8 ? 72 。 x x

当且仅当4 x ?

256 128 ,即x ? 8( x ? 0)时S 取最小值 , 此时y= ? 16 。 x 8

【例题 2】 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是

0.8? r 2 分,

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其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作 的瓶子的最大半径为 6cm 问题: (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 【引导】 先建立目标函数,转化为函数的最值问题,然后利用导数求最值. 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是

4 y ? f ? r ? ? 0 . 2 ? r 3 ? 0? 8 2 ? ? .r 3
令 f ? ? r ? ? 0.8? (r ? 2r ) ? 0
2

? r3 ? ? ?8 ? r 2 0. ? ?3 ?

?r? ,0

6

解得

r ? 2 ( r ? 0 舍去)

当 r ? ? 0 , 2 ? 时, f ? ? r ? ? 0 ;当 r ? ? 2 , 6 ? 时, f ? ? r ? ? 0 . 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ? 2 ? ? 0 ,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此 时利润是负值. (2)半径为 6 cm 时,利润最大. 【引导】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式:

? r2 ? f ? r ? ? 0.8? ? ? r 2 ? , 0 ? r ? 6 。图象如图, ? 3 ?
能否根据它的图象说出其实际意义? 【探究】当 r ? ? 0 , 2 ? 时, f ? r ? 为减函数,其实际意义为:瓶子的半 , 径小于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小;当 r ? ? 2 ,6 ? 时, f ? r ? 为增函 数,其实际意义为:瓶子的半径大于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润越大。 特别的, r ? 3 时,f ? 3? ? 0 , 当 即瓶子的半径为 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等, r ? 3 时,利润才为正值.当 r ? 2 时, f ? 2 ? ? 0 ,即瓶子的半径为 2cm 时,饮料的利润最小,饮料利润还不 够饮料瓶子的成本,此时利润是负值。 【例题 2】 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。 磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为 基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。为了数 据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
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问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. (1) 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间, 由于磁道之间的宽度必需大于 m , 且最外面的磁道不存储任何信息,

R?r 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满, m 2? r 即每条磁道上的比特数可达 。所以,磁盘总存储量 n R ? r 2? r 2? × ? r(R ? r) f (r ) ? m mn n (1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大.
故磁道数最多可达 (2)为求 f ( r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .

f ?(r ) ?

2? ? R ? 2r ? mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ?

R 2

当r ?

R R 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2 R 2? R 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 mn 4 2

因此 r ?

【思考】根据以上三个例题,总结用导数求解优化问题的基本步骤. 【总结】 (1)认真分析问题中各个变量之间的关系,正确设定最值变量 y 与自变量 x ,把实际问题转化为 数学问题,列出适当的函数关系式 y ? f ? x ? ,并确定函数的定义区间; (2)求 f
'

? x ? ,解方程 f ' ? x ? ? 0 ,得出所有实数根;

(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小, 根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

关键细节 由问题的实际意义来判 断函数最值时, 如果函数在此区间上 只有一个极值点, 那么这个极值就是 所求最值,不必再与端点值比较.

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思维拓展: 1.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几种类型: (1)与几何(长度、面积、体积等)有关的最值问题; (2)与物理学有关的最值问题; (3)与利润及其成本(效益最大、费用最小等)有关的最值问题; (4)效率最值问题。 2.利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型

优化问题

用函数表示数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

【例 4】10.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。如果 团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人,如何组 团可使旅行社的收费最多? (不到 100 人不组团) 【解析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型. 【答案】设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y 则依题意有 f ( x) =1000 x -5( x -100) x (100≤ x ≤180) ,令 f ?( x) ? 1500 ? 10 x ? 0 得 x =150。又

f (100) ? 100000 , f (150) ? 112500 , f (180) ? 108000
所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元。

B.综合拓展
例 1 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关系式

1 2 x ,且生产 x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大? 5 最大利润是多少? 解析:利润=收入-成本,列出利润的函数关系式,利用导数解决优化问题. 答案: 每月生产 x 吨时的利润为
为:p=24200-
1 3 1 f ( x) ? (24200 ? x 2 ) x ? (50000 ? 200 x) ? ? x ? 24000 x ? 50000 5 5 3 5 ( x ? 0)

由 f ?( x) ? ? x 2 ? 24000 ? 0 解得: x ? 200 或 x ? ?200(舍去) .因为 f ( x) 在 [0, ??) 内只有一个点 x ? 200 使得 f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为:

因f ( x)在[0,??)内只有一个点x ? 200使f ?( x) ? 0 , 故 它 就 是 最 大 值 点 , 且 最 大 值 为 :

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1 f (200) ? ? (200)3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5

答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 例 2 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数关系式为

1 p ? 25 ? q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8
分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数 关系式,再用导数求最大利润. 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ?

? ?

1 ? 1 q ? ? 25q ? q 2 , 8 ? 8

利润 L ? R ? C ? ? 25q ?

? ?

1 2? 1 q ? ? (100 ? 4q) ? ? q 2 21q ? 100 (0 ? q ? 100) 8 ? 8

1 L? ? ? q ? 21 4
令 L? ? 0 ,即 ?

1 q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 4

答:产量为 84 时,利润 L 最大 例 3 甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂 和乙厂的水管费用分别为每千米 3 a 元和 5 a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省? 解析:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间 的联系方式,适当选定变元,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其 他方法求出函数的最小值,可确定点 C 的位置. 答案: 解法一 根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置, C A D 才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵ BD=40,AC=50- x ,∴ BC= BD 2 ? CD 2 ? x 2 ? 402 又设总的水管费用为 y 元,依题意有:
y =3 a (50-x)+5 a

B

x 2 ? 402 (0 ? x ? 50)
,令 y′=0,解得 x =30

y′=-3 a +

5ax x ? 402
2

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x =30(km)处取得最小值,此时 AC=50- x =20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处, 可使水管费用最省.

40 ? ,CD= 40 cot ? , (0 ? ? ? ) , AC ? 50? 40 cot ? 2 sin ? 设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有 5 ? 3cos? 40 =150 a +40 a · f (θ )=3 a (50-40·cotθ )+5 a ? sin ? sin?
解法二:设∠BCD= ? ,则 BC=
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∴ f ? (θ )=40 a ?

(5 ? 3cos ? )? ? sin ? ? (5 ? 3cos ? ) ? (sin ? )? 3 ? 5cos ? ? 40a ? sin 2 ? sin 2 ?

令 f ? (θ )=0,得 cosθ =

3 5

3 4 3 时,函数取得最小值,此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 5 4 ∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.
根据问题的实际意义,当 cosθ = 例4 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做

成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少 时,箱底的容积最大?最大容积是多少? 解析:先建立起目标函数,再求最值. 答案 解法一:设箱底边长为 xcm,则箱 高h ?

x _
x x

60 ? x cm,得箱子容积 2
2

60 _

x _

60 x 2 ? x 3 V ( x) ? x h ? 2
(0 ? x ? 60) .

60 _

V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 2

(0 ? x ? 60)

3x 2 令 V ?( x) ? 60 x ? =0,解得 x=0(舍去) ,x=40, 2
并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时, 箱子容积很小,因此,16 000 是最大值 答: x=40cm 时, 当 箱子容积最大, 最大容积是 16 000cm 解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得 箱子容积
3

60-2x

x
60-2x 60-2x

60

60-2x

x

V ( x) ? (60 ? 2 x) x (0 ? x ? 30) . (后面同解法一,略)
2

由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很小,所以最 大值出现在极值点处. 事实上, 可导函数 V ( x) ? x h ?
2

60

60 x 2 ? x 3 2 、V ( x) ? (60 ? 2 x) x 在各自的定义域中都只有一个极值 2

点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值 例 5 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
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解析:转化为数学问题就是,圆柱的体积是一个定值时,求表面积最小时,高与半径的比值。 答案: 设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R

V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2π R + 2π R = +2π R 2 ?R R 2V 令 s?( R) ? ? 2 +4π