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2015届江西省八所重点中学高三联考数学理科试卷


江西省八所重点中学 2015 届高三联考 数学(理科)试卷
命题人:九江一中 张思意 宜春一中 舒红艳
【试卷综述】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份 试卷难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在 选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命 题原则,重视

对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查. 【题文】一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的). 【题文】1. 已知集合 A ? x x 2 ? x ? 2 ? 0? , B ? x y ? ln(1 ? x)?,则 A ? B ? ( A. (1, 2) B. (1, 2] C. [?1, 1) D. (?1, 1)

?

?



【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】C 解析: A ? ? ?1, 2? , B ? ? ??,1? 所以 A ? B ? [?1, 1)

【思路点拨】主要求出集合中的元素的取值范围,再求交集. 【题文】2. 如果 z ?

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 等于( 1? i
C. -1

) D. 1

A.0 B. -1 或 1 【知识点】复数运算. L4 【答案】 【解析】 D 解析: z ?

?1 ? ai ??1 ? i ? ? 1 ? a ? ?1 ? a ? i ,因为是纯虚数,所以 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ?

1? a ? 0 ,解得 a=1.故选 D. 2
【思路点拨】利用复数的除法运算先化简,再利用纯虚数定义求解. 【题文】3. 在△ ABC 中, “AB ? AC ? BA ? BC” 是 “ AC ? BC ” 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 )

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】平面向量的数量积及其应用;充分条件必要条件 F3 A2 【答案】 【解析】C 于 ?( + 解析:因为在△ABC 中 ? = ? 等价于 ? ﹣ ? =0 等价

)=0,因为

的方向为 AB 边上的中线的方向.即 AB 与 AB 边上的中

线相互垂直, 则△ABC 为等腰三角形, 故 AC=BC, 即 选 C. 【思路点拨】首先在△ABC 中, 表示的意义为 AB 与 AB 边上的中线相互垂直,故 ,得三角形为等腰三角形,则可推出 要条件.

, 所以为充分必要条件. 故

移项化简可得到

=0,所

,所以是充分条件,又 也成立.所以是充分必

【题文】4.数列{ an }的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? 3n ( n ? N ? ) ,若 p-q=5,则 a p ? a q = ( A. 10 B. 15 C. -5 D.20 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】 【解析】D 解析:当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1=2n ﹣3n﹣2(n﹣1) +3n﹣3=4n﹣5 a1=S1=﹣1 适合上式,所以 an=4n﹣5,所以 ap﹣aq=4(p﹣q) ,因为 p﹣q=5, 所以 ap﹣aq=20 故选: :D.
2 2



【思路点拨】利用递推公式当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1,a1=S1 可求 an=4n﹣5,再利用 ap﹣aq=4(p ﹣q) ,p﹣q=5,即可得出结论. 【题文】5.对任意非零实数 a 、 b ,若 a ? b 的运算原理如图所示,则 log 2 4 ? ( ) ?1 的值为 ( A. )

1 3

1 3

B. 1

C.

4 3

D. 2

【知识点】程序框图 L1

【答案】 【解析】B 解析:模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数
﹣1 ﹣1

a?b=

的值,∵log24=2<( ) =3.∴log24?( ) =

=1.故选:B.

【思路点拨】 模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数 a?b=

的值,由已知比较两数的大小,从而即可得解. 【题文】6.在某次联考数学测试中,学生成绩 ? 服从正态分布 100, ? 2 , ?? ? 0 ? ,若 ? 在

?

?

?80,120 ? 内的概率为 0.8 ,则落在 ? 0,80 ? 内的概率为(
A. 0.05 B. 0.1 【知识点】正态分布;概率 I3 K1 C. 0.15
2

) D. 0.2

【答案】 【解析】B 解析:∵ξ 服从正态分布 N(100,σ )∴曲线的对称轴是直线 x=100, ∵ξ 在(80,120)内取值的概率为 0.8,∴ξ 在(0,100)内取值的概率为 0.5, ∴ξ 在(0,80)内取值的概率为 0.5﹣0.4=0.1.故选:B. 【思路点拨】根据 ξ 服从正态分布 N(100,σ ) ,得到曲线的对称轴是直线 x=100,利用 ξ 在(80,120)内取值的概率为 0.8,即可求得结论. 【 题 文 】 7. 函 数 f ( x) ? A sin ? x ( A ? 0,? ? 0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则
2

f (1`) + f (2) + f (3) ? ? + f (2015) 的值为(
A.0 B.3 2 C.6 2 D.- 2



【知识点】三角函数的图像与性质 C3 【答案】 【解析】A 解析:由函数图象可得:A=2,T=2(6﹣2)=8= 可得函数解析式为:f(x)=2sin x, ,故解得:ω= ,

所以,有:f(1)= f(2)=2 f(3)= f(4)=0 f(5)=﹣ f(6)=﹣2 f(7)=﹣ f(8)=0 f(9)= … 观察规律可知函数 f(x)的值以 8 为周期,且 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) +f(7)+f(8)=0, 由于 2015=251*8+7,故可得:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3) +f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=0. 【思路点拨】由已知中的函数的图象,我们易求出函数的解析式,进而分析出函数的性质, 根据函数是一个周期函数,我们可以将 f(1)+f(2)+…+f(2006)转化为一个数列求和问 题,然后利用分组求和法,即可得到答案. 【题文】8.若 (1 ? x ) (1 ? 2 x) 7 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a8 x 8 ,则 a1 ? a 2 ? ? ? a 7 的值是 ( ) A.-2 B.-3 【知识点】二项式定理 J3 【答案】 【解析】C ∴a8=
7

C.125
7

D.-131
2 8

解析:∵(1+x) (1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+a8x ,

?(﹣2) =﹣128.
7

令 x=0 得: (1+0) (1﹣0) =a0,即 a0=1; 7 令 x=1 得: (1+1) (1﹣2) =a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣2, ∴a1+a2+…+a8=﹣1﹣a0﹣a8=﹣2﹣1+128=125. 故选 C. 【思路点拨】利用二项式定理可知,对已知关系式中的 x 赋值 0 与 1 即可求得 a1+a2+…+a8 的值. 【题文】 9.已知圆 C1 :x ? 2cx ? y ? 0 , 圆 C2 :x ? 2cx ? y ? 0 , 椭圆 C :
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

若圆 C1 , C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是(



A. [ ,1)

1 2

B. (0, ]

1 2

C. [

2 ,1) 2
2

D. (0,

2 ] 2

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】 【解析】B 解析:已知圆 C1:x +2cx+y =0, 2 2 2 2 2 转化成标准形式为: (x+c) +y =c ,圆 C2:x ﹣2cx+y =0, 2 2 2 转化成标准形式为: (x﹣c) +y =c ,圆 C1,C2 都在椭圆内, 所以: (c,0)到(a,0)的距离小于 c 则:|c﹣a|>c 解得:a>2c 由于:e= 所以:e 故选:B. 【思路点拨】首先把圆的方程转化成标准形式,进一步利用椭圆与圆的关系,求出圆心到椭 圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式,最后利用 e 的范围求出结果. 【题文】10.定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意 x1 、 x 2 ( x1 ? x 2 ) 都有 ,由于椭圆的离心率 e∈(0,1)则:0<e .
2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,且 x1 ? x 2

函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 (1, 0) 成 中 心 对 称 , 若 s , t 满 足 不 等 式

f ( s 2 ? 2s ) ? ? f (2t ? t 2 ) .则当 1 ? s ? 4 时,
A. [?3,? )

1 2

B. [?3,? ]

1 2

t ? 2s 的取值范围是( s?t 1 1 C. [?5,? ) D. [?5,? ] 2 2



【知识点】函数单调性的性质 B3 【答案】 【解析】D 解析:由已知条件知 f(x)在 R 上单调递减,且关于原点对称; 2 2 2 2 ∴由 f(s ﹣2s)≤﹣f(2t﹣t )得:s ﹣2s≥t ﹣2t;∴(s﹣t) (s+t﹣2)≥0; 以 s 为横坐标,t 为纵坐标建立平面直角坐标系; 不等式组 即△ABC 及其内部,C(4,﹣2) ; 设 ∴ ∴ ,整理成: ,解得: 的取值范围是[ ; ; ].故选:D. ; 所表示的平面区域,如图所示:

【思路点拨】根据已知条件便可得到 f(x)在 R 上是减函数,且是奇函数,所以由不等式 f (s ﹣2s)≤﹣f(2t﹣t )便得到,s ﹣2s≥t ﹣2t,将其整理成(s﹣t) (s+t﹣2)≥0,画出不 等式组 所表示的平面区域.设 ,所以得到 t= ,
2 2 2 2

通过图形求关于 s 的一次函数的斜率范围即可得到 z 的范围,从而求出

的取值范围.

【题文】 11.正三角形 ABC 的边长为 2 , 将它沿高 AD 翻折, 使点 B 与点 C 间的距离为 3 , 此时四面体 ABCD 外接球表面积为( A. 7? B. 19? C. )

7 7? 6

D.

19 19? 6

【知识点】多面体与球 G8 【答案】 【解析】A 解析:根据题意可知三棱锥 B﹣ACD 的三条侧棱 BD⊥AD、DC⊥DA, 底面是正三角形, 它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球, 求出三棱柱的底面中心连线的 中点到顶点的距离,就是球的半径, 三棱柱中,底面△BDC,BD=CD=1,BC= ,∴∠BDC=120°,∴△BDC 的外接圆的半径 为 =1 ,∴球的半径为 r= = .外接球的表面积为:

由题意可得:球心到底面的距离为 4πr =7π 故选:A.
2

【思路点拨】三棱锥 B﹣ACD 的三条侧棱 BD⊥AD、DC⊥DA,底面是正三角形,它的外接球

就是它扩展为三棱柱的外接球, 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离, 就是球的 半径,然后求球的表面积即可. 【题文】12.在平面直角坐标系中,点 P 是直线 l : x ? ?

1 ?1 ? 上一动点,定点 F ? , 0 ? , 点 Q 2 ?2 ?

为 PF 的 中 点 , 动 点 M 满 足 MQ ? PF ? 0 , MP ? ? OF (? ? R ) , 过 点 M 作 圆

( x ? 3) 2 ? y 2 ? 2 的切线,切点分别为 S , T ,则|ST|的最小值为(
A. B. C. D.

) (



【知识点】圆的切线方程.B4 【答案】 【解析】A 解析:设 M 坐标为 M(x,y) ,由 MP⊥ l 知 P(﹣ ,y) ;由“点 Q 为

PF 的中点”知 Q (0, ) ; 又因为 QM⊥ PF, QM、 PF 斜率乘积为﹣1, 即 解得:y =2x,所以 M 的轨迹是抛物线,设 M(y , 2 2 2 4 2 2 2 (y ﹣3) +2y =y ﹣4y +9=(y ﹣2) +5, ∴ y =2 时,dmln= 2 =
2 2 2 2



y) ,到圆心(3,0)的距离为 d,d = ,所以切点距离为

,此时的切线长为 ; ;故选 A.

∴ |ST|的最小值为

【思路点拨】由题意首先求出 M 的轨迹方程,然后在 M 满足的曲线上设点,只要求曲线上 到圆心的距离的最小值,即可得到|ST|的最小值. 【题文】二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 【题文】13.计算:

?

3

?3

( x 3 cos x)dx =

.

【知识点】定积分的应用.B4 【答案】 【解析】0 解析: = = (x cosx)dx= = =
3

x dsinx

3

=

=

=﹣(﹣3) sin(﹣3)﹣3?(﹣3) cos(﹣3)﹣6sin3=﹣27sin3﹣27cos3﹣6sin3=﹣33sin3 ﹣27cos3. 同理

3

2

ò

( x3 cos x)dx =33sin 3 + 27 cos3 ,所以 ? ( x 3 cos x)dx =0.故答案为 0. 0
3

3

?3

【思路点拨】直接利用分步积分求解定积分的值. 【题文】14.已知点 P ( x, y )到A(0, 4)和B( ?2,0) 的距离相等,则 2 ? 4 的最小值为
x y

.

【知识点】两点间距离公式;基本不等式 H2 E6 【答案】 【解析】 4 2 解析:因为点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(﹣2,0)的距离相等
X Y X 2Y x 2y

所以点 P(x,y)在 A,B 的垂直平分线上,且过 A B 的中点(﹣1,2) 所以垂线方程为:X+2Y﹣3=0 即 X+2Y=3,因为 2 +4 =2 +2 ,且 2 >0,2 >0, 所以 2 +4 =2 +2 ≥
x y x 2y

=

=

所以最小值为

,故选 D.

【思路点拨】首先根据因为点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(﹣2,0)的距离相等得到 P 在 AB 的垂直平分线上,然后求出垂线的方程,最后根据基本不等式求解. 【题文】15.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 C 、 B 在圆 O 上,且点 C 位于第 一 象 限 , 点 B 的 坐 标 为 (

12 5 ), ?AOC ? ? ,? 13 13
.

若 BC ? 1 , 则

3 cos2

?
2

? sin

?
2

cos

?
2

?

3 的值为 2

【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的求值化简与证明 C5 C7 【答案】 【解析】

5 13

解析:∵点 B 的坐标为( ,cos(π﹣θ)= ,即 sinθ=﹣

,﹣

) ,设∠A0B=θ ,

∴sin(π﹣θ)=﹣

,cosθ=﹣

∵∠AOC=α,若|BC|=1,∴θ+α= 则 ( =sinθ=﹣ cos
2

,则 α=

﹣θ, )=cos( ﹣θ+ )=cos

﹣sin )

cos



=

cosα﹣ sinα=cos(α+

,故答案为:﹣

【思路点拨】根据三角函数的定义,结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论. 【题文】 16. 用 g (n) 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如 :9 的因数有 1,3,9,

g (9) ? 9



10





数 .



1,2,5,10,

g (10) ? 5

,





g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (2 2015 ? 1) =

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3

4 2015 ? 1 【答案】 【解析】 3
且若 n 为奇数则 g(n)=n,

解析:根据 g(n)的定义易知当 n 为偶数时,g(n)=g( n) ,

令 f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2 ﹣1) n+1 则 f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2 ﹣1) n+1 n+1 =1+3+…+(2 ﹣1)+g(2)+g(4)+…+g(2 ﹣2) = +g(1)+g(2)+…+g(2
n n+1

n

﹣2)=4 +f(n)

n

即 f(n+1)﹣f(n)=4 2 n n 分别取 n 为 1,2,…,n 并累加得 f(n+1)﹣f(1)=4+4 +…+4 =(4 ﹣1) 又 f(1)=g(1)=1,所以 f(n+1)=
n

+1
n﹣1

所以 f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2 ﹣1)= (4
2015

﹣1)+1

令 n=2015 得 g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2

﹣1)=

4 2015 ? 1 . 3

4 2015 ? 1 故答案为: 3
【思路点拨】 本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用, 即利用出题的意图求数

列的和. 【题文】三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算 步骤.) 【题文】17.(本小题 12 分)已知 f ( x) ? 2 sin

?
2

x ,集合 M = x f ? x ? ? 2, x ? 0 ,把 M

?

?

中的元素从小到大依次排成一列,得到数列 ?an ? , n ? N ? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?

1 1 ,设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证 Tn ? . 2 4 an ?1

【知识点】数列求和 D4 【答案】 【解析】(1) an ? 2n ? 1 (n ? N ) (2) 解析: (1)? f ( x) ? 2 又? x ? 0 (2)? bn ?
?

见解析

?

?
2

x ? k? ?

?
2

x ? 2k ? 1

k ?Z

……(3 分)

? an ? 2n ? 1 ( n ? N ? )

……(6 分)

1 1 ? (n ? N ? ) 2 2 an ?1 (2n ? 1)

……(7 分)

bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ? ) 2 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n 4 n n ? 1 (2n ? 1)

……(10 分)

? Tn ? b1 ? ? ? ? ? bn ? ? ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? )? ? 4 2 2 3 n n ? 1 4 4(n ? 1) 4

1 4

得证 ……(12 分)

【思路点拨】 (1)根据题意求出数列的通项公式. (2)利用(1)的结论,进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果. 【 题 文】 18. ( 本题 12 分 ) 如 图, 四 棱锥 P ? ABCD 中 , 底面 ABCD 是 直角 梯 形,

?DAB ? 90 , AD / / BC , AD ? 侧面 PAB ,△ PAB 是等边三角形, DA ? AB ? 2 ,

BC ?

1 AD , E 是线段 AB 的中点. 2 (1)求证: PE ? CD ; (2)求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值.

【知识点】空间中的垂直关系;空间角与距离的求法 G5 G11

3 5 解析: (1)证明:因为 AD ? 侧面 PAB , PE ? 平面 PAB , 所以 AD ? PE .????2 分 又因为△ PAB 是等边三角形, E 是线段 AB 的中点, 所以 PE ? AB . 因为 AD AB ? A , 所以 PE ? 平面 ABCD .??4 分 而 CD ? 平面 ABCD , 所以 PE ? CD .???5 分
【答案】 【解析】(1)见解析 (2)
【来.源:全,品?中&高*考*网】 【来.源:全,品?中&高*考*网】

(2)以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 E ? xyz . 则 E (0, 0, 0) , C (1, ?1, 0) , D (2,1, 0) , P (0, 0, 3) .

ED ? (2,1, 0) , EP ? (0, 0, 3) , PC ? (1, ?1, ? 3) .

设 n ? ( x, y, z ) 为平面 PDE 的法向量.

由?

? ?n ? ED ? 0, ? ?n ? EP ? 0.

即?

? ?2 x ? y ? 0, ? ? 3 z ? 0.

令 x ? 1 ,可得 n ? (1, ?2, 0) .??9 分 设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ? .

sin ? ? cos ? PC , n ? ?

| PC ? n | 3 ? . | PC || n | 5
3 . ??12 分 5

所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为

【思路点拨】 (I)根据线面垂直的性质和正三角形性质,得 AD⊥EP 且 AB⊥EP,从而得到 PE⊥平面 ABCD.再结合线面垂直的性质定理,可得 PE⊥CD; (II)以 E 为原点,EA、EP 分别为 y、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.可得 E、C、D、 P 各点的坐标,从而得到向量 、 、 的坐标,利用垂直向量数量积等于 0 的方法,可

得平面 PDE 一个法向量 =(1,﹣2,0) ,最后根据直线与平面所成角的公式,可得 PC 与平 面 PDE 所成角的正弦值为 . 【题文】19. (本题 12 分)已知集合 A ? {1, 2,3, 4} ,函数 f ( x) 的定义域、值域都是 A ,且 对 于 任 意 i ? A , f (i ) ? i . 设 a1 , a 2 , a3 , a 4 是 1,2,3,4 的 任 意 一 个 排 列 , 定 义 数 表

? a1 ? ? f (a1 )

a2 f ( a2 )

a3 f (a3 )

a4 ? ? ,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是 f ( a4 ) ?

两张不同的数表. (1)求满足条件的不同的数表的张数; (2)若 ai ? i ( i ? 1,2,3,4 ),从所有数表中任意抽取一张,记 ? 为表中 ai ? f (i ) 的个数, 求 ? 的分布列及期望. 【知识点】排列、组合 ;离散型随机变量及其分布列 J2 K6 【答案】 【解析】(1) 216(2) 见解析 解析: (1)9 A4 = 216 (2) p( ? =1) =
4

??5 分

1 , 9

7 9 1 p( ? =3) = ??9 分 9
p( ? =2) = 因此, ? 的分布列如下:

?
P

1

2

3

1 9
? E ? =2 ??12 分

7 9

1 9

【思路点拨】(1)由排列数易求结果. (2)由分布列的定义易求结果. 【题文】20.(本题 12 分)已知椭圆 C: (1,

x2 y2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率 e = ,且过点 M 2 2 a b

3 ) 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 长轴两端点分别为 A、B,点 P 为椭圆上异于 A、B 的动点,定直线 x ? 4 与直线 PA、PB 分别交于 M、N 两点,又 E(7,0),过 E、M、N 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E 的定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由. 【知识点】椭圆及其几何性质 直线与圆锥曲线 H5 H8 【答案】 【解析】(1)

x2 y2 ? ? 1 (2) 过定点(1,0) 4 3

解析: (1)

x2 y2 ? ? 1 ???5 分 4 3
3 ???7 分 4

(2)设 PA,PB 的斜率分别为 k1 , k 2 , p ( x 0 , y 0 ) ,则 k1 k 2 ? ? 则 PA: y ? k1 ( x ? 2) ,则 M (4,6k1 ) PB: y ? k 2 ( x ? 2) ,则 N (4,2k 2 ) 又 k EM ? ?

2k 6k1 ? ?2k1 , k EN ? ? 2 3 3

k EM k EN ? ?1 ???10 分
设圆过定点 F(m,o),则

6 k1 2 k 2 ? ?1 ,则 m=1 或 m=7(舍) 4?m 4?m

故过点 E、M、N 三点的圆是以 MN 为直径的圆过点 F(1,0)???12 分

【思路点拨】(1)由已知条件易求 a,b 值,从而得方程. (2)由题意分析即直线的斜率之间满足关系,即可求解. 【题文】21. (本题 12 分)已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? sin

?
2

x

x ? (0,1)

(1)若 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a =-2 时,记 f ( x) 得极小值为 f ( x 0 ) 。若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,求证: x1 ? x 2 ? 2 x 0 . 【知识点】导数的应用. B12 【答案】 【解析】(1) a ? ?

?
2

(2) 见解析

解析: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ? 依题意 f ?( x) ? 0 恒成立,

?
2

cos

?
2

x x ? (0,1)

2x ?

?
2

cos

?
2

x ? ?a

令 g ( x) ? 2 x ?

?
2

cos

?
2

x x ? (0,1)

g ?( x ) ? 2 ?

?2
4

sin

?
2

x ? g ?( x) 在 x ? (0,1) 单调递减,且 g ?(0) ? 0 , g ?(1) ? 0

? g ?( x) 在区间 x ? (0,1) 上存在唯一零点 x0 ???3 分

? g ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减。
由?

? g ( 0) ? ? a ? 得a ? ? 2 ? g (1) ? ?a

???5 分

(2)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? sin

?
2

x x ? (0,1)

f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

?
2

cos

?
2

x,

令 ? ( x ) ? f ?( x ) x ? (0,1)

? ?( x ) ? 2 ?

?2
4

sin

?
2

x ,显然 ? ?( x ) 在区间 (0,1) 单调递减,

又 ? ?(0) ? 2 ? 0 , ? ?(1) ? 2 ?

?2
4

?0

故存在唯一实数 ? ,使得 ? ?(? ) ? 0

? ? ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减。
即 f ?( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减。 又 f ?(0) ? ?2 ?

?
2

? 0 , f ?(1) ? 0

? f ?(? ) ? 0 ,
由 f ?( x0 ) ? 0 知 0 ? x0 ? ? ? 1 ,

? f ( x ) 在( 0, x0 )上单调递减,在( x0 ,0 )上单调递增.
不妨设 x1 ? x 2 , 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 0 ? x1 ? x 0 ? x 2 ? 1 令 F ( x) ? f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) , 则 F ?( x) ? f ?( x 0 ? x) ? f ?( x 0 ? x) = 4 x 0 ? 4 ? = 4 x 0 ? 4 ? ? cos

?
2

[cos

?
2

( x0 ? x) ? cos

?
2

( x0 ? x)]

?
2

x0 cos

?
2

x ???8 分

又 F ?( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,所以 F ?( x) < F ?(0) = 4 x 0 ? 4 ? ? cos

?
2

x0 = 2 f ?( x0 ) =0
【来.源:全,品?中&高*考*网】

? F ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,? F ( x) < F (0) =0,即: f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x)

又 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f [ x 0 ? ( x 0 ? x 2 )] < f [ x 0 ? ( x 0 ? x 2 )] = f (2 x 0 ? x 2 ) ??9 分

0 ? x1 ? x0

0 ? 2 x0 ? x 2 ? x0

又? f ( x) 在 (0, x 0 ) 上单调递减

? x1 ? 2 x0 ? x 2
【思路点拨】(1)

? x1 ? x 2 ? 2 x0 ???12 分

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题记分 【题文】22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, (1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ=6,AC=5.求弦 AB 的长.

【知识点】选修 4-1 几何证明选讲. N1 【答案】 【解析】(1) 见解析(2) (第 22 题图) 解析: (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA

10 3

∴AC=BC=5
由切割线定理得:

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC
∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1) , 知 由 ?QAB ? ?ACQ QC=9 ------------5 分

知 ?QAB ∽ ?QCA



AB QA ? AC QC



AB ?

10 . 3

----------10 分

【思路点拨】(1)由割线定理易于求解. (2)由三角形相似即可求得弦 AB 的长. 【题文】23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). 在以 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ?
原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值. 【知识点】参数与参数方程. N3 【答案】 【解析】(1)

?

?

x ? y ?3? 5 ? 0

x2 ? y ? 5

?

?

2

? 5 (2) 3 2

2 ? ? x ? 3? 2 t 解析:(1)由 ? 2 ? ? y? 5? 2 t

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 --------2 分

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0

x2 ? y ? 5 即


?

?

2

? 5.

---------5

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? 2 得 ?3? t? ? ? ?? ? 2 t? ? ? 5 ,即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 2 ? ? ? ?
由于 ? ? 3 2 所以 ? 1

2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,

? ?t ? t2 ? 3 2 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 t ? t ? 4 ? ? 1 2

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 【思路点拨】 (1)由参数方程与普通方程互化就可求解.

------10 分

(2)由题意把所求转化为方程的两根,从而求得. 【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | ,求 x 的取值范围,使 f ( x) 为常函数; (2)若 x, y, z ? R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, 求 m ? 【知识点】选修 4-5 不等式选讲. N4 【答案】 【解析】 (1) ? ?1,3? (2)3

2 x ? 2 y ? 5 z 的最大值。

??2 x ? 2, x ? ?3 ? 解析: (1) f ( x) ? x ? 1 ? | x ? 3 |? ?4, ?3 ? x ? 1 ?2 x ? 2, x ? 1 ?
则当 x ? [?3,1] 时, f ( x) 为常函数. (2)由柯西不等式得: x ? y ? z
2 2

………..4 分

………..5 分
2 2

?

2

??

2 ? 2 ? 5

2

???

2 x ? 2 y ? 5z

?

2

所以 2 x ? 2 y ? 5 z ? 3 因此 M 的最大值为 3. 【思路点拨】(1)把绝对值不等式化为分段函数观察即可求解,(2)由柯西不等式直接求解.


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