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1.2.2《组合上课


情境创设
问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法?

甲、乙;甲、丙;乙、丙

3

/>
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.

问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解

组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点?

概念讲解
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合. 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

概念理解

思考一:aB与Ba是相同的排列 还 是相同的组合?为什么?

思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
1)元素相同; 2)元素排列顺序相同. 元素相同

思考三:组合与排列有联系吗? 构造排列分成两步完成,先取后排; 而构造组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合问题

(3)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共 需握手多少次? 组合问题

组合是选择的结果,排列 是选择后再排序的结果.

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元 素的所有组合.

a

b
c d

c
d

b c d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个

概念讲解

组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m m 个元素的组合数,用符号 C n 表示.

m C 注意: n 是一个数,应该把它与“组合”区别开来.

如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 ? 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是: C4 ?6
那么如何计算组合数?

(1)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合数。

(2)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。

组合
abc abd acd abc acb abd adb adc bdc

排列
bac bca bad bda cda cbd cdb cab cba dab dba dca dbc dcb

(三个元素的)1个组合,对应着 6 个排列 acd cad dac
bcd

你发现了 什么bcd ?

对于

A

3 4

,我们可以按照以下步骤进行
3

第一步, C 4 ( ? 4)个;

第二步, A3 ( ? 6)个;
根据分步计数原理, A4
3

3

?C?A
3 4

3 3

.

A 从而C ? A
3 4

3 4 3 3

概念讲解

组合数公式

排列与组合是有区别的,但它们又有联系. 一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这n个不同元素中取出m个 m 元素的组合数 C . n m. 第2步,求每一个组合中m个元素的全排列数 Am m m m A ? C ? A 根据分步计数原理,得到: n n m

这里m,n是自然数,且 m?n ,这个公式叫做组合 数公式.

A n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? C ? ? 因此: A m!
m n m n m m

从 n个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ?A
n n

m

m

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

例1、计算:⑴ ⑴ 35 (3)已知:

C

4 7



C
2 n

7 10

例题分析

(2) 120

C

3 n

?

A ,求n的值

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛, (1)列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况.
解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

例3

m ? 1 m?1 求证 : C ? ? Cn . n?m
m n

n! 证明 : ? C ? , m( ! n ? m) !
m n

m ? 1 m?1 m ? 1 n! ?Cn ? ? n?m n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? ? (m ? 1)! (n ? m)(n ? m ? 1)! n! m ? ? Cn . m ! ( n ? m) !

●思悟小结
1.理解组合的定义,区别排列与组合之间的关系.

(1)有序与无序的区别 (2)同是从n个元素中取m个元素,但是组合 一旦取完就结束,而排列还要继续进行排序
2.理解组合数的的定义与公式
m A n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) m n (1) Cn ? m ? Am m!

n! C ? (2 ) m !(n ? m)!
m n

组合数的性质:
一般地, 从n个不同元素中取出 m 个元素后, 必然剩下n ? m个元素, 因此从n个不同元素 中取出 m 个元素的组合 , 与剩下的 n ? m 个 元素的组合一一对应 .这样, 从n个不同元素 中取出m 个元素的组合数, 等于从这n个不 同元素中取出n ? m 个元素的组合数.于是 我们有

C ?C , 为了使上面的等式在m ? n时也能成立, 我 0 们规定 Cn ? 1.
性质1
m n

n?m n

性质 2

m m?1 Cm ? C ? C . n?1 n n

例1. 在产品检验中,常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品,其中3件次品,97件 正品.要抽出5件进行检查,根据下列各种要求, 各有多少种不同的抽法?
(1)无任何限制条件;
(3)只有2件正品; (5)至多有2件次品;
5 解答: (1)C100

(2)全是正品; (4)至少有1件次品; (6)次品最多.
5 97

(2)C
3 97 2 3

(3 ) C97 ? C3
2

3 5 100

(4)C

4 97

?C ? C ?C ? C ?C
1 3 2 97

3 3

,或 C

?C
?C

5 97

5 0 (5 ) C97 ? C3

小结:至多至少问题常用分类的或排除法.

? C ?C ? C ?C
4 97 1 3 3 97

2 3

2 (6 ) C

97

3 3

例 从数字1,2,5,7中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和? 6个 (2)可以得到多少个不同的差? 12个 练习 有不同的英文书5本,不同的中文书7本, 从中选出两本书.
(1)若其中一本为中文书,一本为英文书. 问共有多少种选法? 35种

(2)若不限条件,问共有多少种选法?

66种

组合数的性质应用

性质
(1)

C ?C
m n

n?m n

(2 ) C m

n?1

? C ?C
m n

m?1 n

练习(1)求 C
(2)求满足 C (3)求证:①

96 97 99 的值99

?C
?C

161700 5或2
m?1 n

x?2 17

2x 的 x值 17

C

m?1 n?2

?C

?C

m?1 n

? 2C
m?1 n?1

m n

C ? C ?C ?C 1 (4)求 C ? C ? C 511 9

m n?1 2 的值 9 m n?1

m?1 n 9 9

●思悟小结 1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有:选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题,解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理,只选不排, 合理分类、分步. 2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题,通常有直接法(合 理分类)和间接法(排除法).

组合与组合数
通过前面的学习,我们已经知道了组合的定义, 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上,继续学习它们的一些应用

(一)组合数的 公式及其性质:
m n m n n m

n! C ? m!(n ? m)!
m n

A n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) C ? ? A m!

C 组合数性质1:
m m

m n

?C

2: C n ?1 ? C n ? C n

m ?1

0 特别地: n

n? m n

C ? C ?1
n n

例题解读:

例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

解:(1)根据分步计数原理得到:

C C C ? 90种
2 6 2 4 2 2

例題解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (2)分为三份,每份2本; 2 2 2 解析:(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C6 C4 C2 种
方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每 份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、 丙三名同学有 A
2 6 2 4 2 2

3 所以. 3 种方法.根据分步计数原理 2 2 2
3 3

可得: C C C ? xA

C6 C4 C2 x? ? 15 所以. 3 A3

因此,分为三份,每份两本一共有15种方法

点评: 本题是分组中的“均匀分组”问题.

一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元素) m m m Cmn ? C中方法。 ,共有 mn?m ???? Cm n An

例题解读:

例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本; 解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有

C C C ? 60
1 6 2 5
1 6 2 5 3 3 3 3

3 种方法. 3

(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有

种方法. CC C A ? 360

例题解读: 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本

解:(5)可以分为三类情况:
①“2、2、2型” 的分配情况,有C C C ? 90 种方法; 1 2 3 3 ②“1、2、3型” 的分配情况,有 C6C5 C3 A3 ? 360 种方法; 4 3 种方法, ③“1、1、4型”,有 C6 A3 ? 90
2 6 2 4 2 2

所以,一共有90+360+90=540种方法.

例.有10个运动员名额,再分给7个班,每 班至少一个,有多少种分配方案?

元素相同问题隔板策略

解:因为10个名额没有差别,把它们排成 一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份,对应地分给7个 班级,每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 将n个相同的元素分成 n,m为正整数),每 C9 m份( 份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素 m ?1 排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为 C n ?1
一 班 二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

例题解读: 例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少 一个,共有多少种不同的分配方法? (2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班,若名 额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?

分析:(1)这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可

构造数学模型 ,用5个隔板插入10个指标中的9个空隙,
既有

C

5 种方法。按照第一个隔板前的指标数为 1班的 9

指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标,以此类推,因此共有 C 5
9

种分法. ? 126

例题解读: (2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个, 然后,问题转化为7个优秀指标分给三个班, 2 种分法 每班至少一个.由(1)可知共有 C6 ? 15 注:第一小题也可以先给每个班一个指标, 然后,将剩余的4个指标按分给一个班、两 个班、三个班、四个班进行分类,共有 种分法.

C ? 2C ? 3C ? C ? 126
1 6 2 6 3 6 4 6

例题解读 例3.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共 有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种? 解:(1)根据分步计数原理:一共有

44 ?种方法; 256

(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个
2 “捆绑”在一起看成一个元素有 C 种方法;第二步:从 4 3 四个不同的盒中任取三个将球放入有 A 种方法,所以, 4 3 一共有 C 2 = A144种方法 4 4

例.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周

五的5天中参加某项志愿者活动,要求每 人参加一天且每天至多安排一人,并要求 甲安排在另外两位前面。不同的安排方法 共有( A ) A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种

课堂练习: 1.5个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且 4 票必须分完,那么不同的分法种数是 C5 ? 5. 2.某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中 有2位同学要么都请,要么都不请,共有 98种邀请方法.

3.一个集合有5个元素,则该集合的非空真子集共有 30 个.

4.平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这 2 2 CmC 两组平行线,可以构成 个平行四边形 . n

课堂练习:
6.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位, 使其中有3个人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位 3 不变,共有 C12 ? 2 ? 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生,5名女生: (1)从中选派5名学生参加一次活动,要求必须有2名男 生,3名女生,且女生甲必须在内,有 36 种选派方法; (2)从中选派5名学生参加一次活动, 要求有女生但人 45 种选派方法; 数必须少于男生,有____ 280 种不同分法. (3)分成三组,每组3人,有_______

课堂练习:
8.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三 张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问 可以组成多少个三位数?

2 1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有2( A8 ? C2 C7C7 ) 种方法; 1 2 ②若不取6,则有C7 A7 种方法,

1 2 2 1 1 1 2( A ? C C C ) 根据分类计数原理,一共有 =602 8 2 7 7 +C7 A 7 种方法

9. 某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜 肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上 的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜 _____ 7 种.(结果用数值表示) 【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-40≥0求 解较繁,考虑到n为正整数,故解有关排列、组合的不 等式时,常用估算法.

10. 某电视台邀请了 6位同学的父母共 12人,请这12位 家长中的 4位介绍对子女的教育情况,如果这 4 位中恰 有一对是夫妻,那么不同选择方法的种数是( C ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270

11. 某次数学测验中,学号是i (i=1、2、3、4)的四位 同学的考试成绩 f(i)∈{86,87,88,89,90},且满足f(1)< f(2)≤f(3)<f(4),则四位同学的成绩可能情况有( C ) (A)5种 (B)12种 (C)15种 (D)10种

12.表达式 nC

2 n

A

n?1 n?1

可以作为下列哪一问题的答案 ( B )

(A)n个不同的球放入不同编号的 n个盒子中,只有一个盒子 放两个球的方法数 (B)n个不同的球放入不同编号的 n个盒子中,只有一个盒子 空着的方法数 (C)n个不同的球放入不同编号的 n个盒子中,只有两个盒子 放两个球的方法数

(D)n个不同的球放入不同编号的 n个盒子中,只有两个盒子 空着的方法数

课堂小结
1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步,是处理组合应用题的基本思想方法; 2.对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、 特殊位置; 3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除 法或分类解决; 4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问 题.

5.需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题
不是简单的组合问题,如:将3个人分成3组,每组
1 1 1 一个人,显然只有1种分法,而不是 C3 ? C2 ? C1种 ?, 6

一般地,将m、n个不同元素均匀分成n组,有

C C

m mn

m ( n-1) m m m

??C

m 种分法; m

A


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