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数学归纳法


练习.已知 f(x)=x2+ax+b. (1)求:f(1)+f(3)-2f(2); 1 (2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
(1)解 ∵f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,

f(3)=3a+b+9,∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.

(2)证明

1

1 1 1 1 1 则- <f(1)< ,- <f(2)< ,- <f(3)< , 2 2 2 2 2 2

1 假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于2.

∴-1<-2f(2)<1,-1<f(1)+f(3)<1.
∴-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2,这与 f(1)+f(3)-2f(2)=2 矛盾.
∴假设错误,即所证结论成立.

2.3 数学归纳法
观察数列 {an },已 知a1 ? 1, an?1 1 1 a2 ? , a3 ? , a ? 1 , 4 2 3 4 an ? , 1 ? an

1 猜想归纳通项公式 : an ? n

不完全归 纳法

思考:归纳法有什么优点和缺点?

优点:可以帮助我们从一些具体事
例中发现一般规律 缺点:仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的

在使用归纳法探究数学命题时,必 须对任何可能的情况进行论证后,才能 判别命题正确与否。
思考1:与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢? 思考2:如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢?

多米诺骨牌(domino)是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行,轻轻碰倒第一枚骨 牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去,它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力,而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国,有着上千年的历史。

思考:这个游戏中,能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么?

只要满足以下两个条件,所有多米诺骨 牌就能全部倒下: (1)第一块骨牌倒下(基础)
(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下 一定导致后一块倒下(依据) 条件(2)事实上给出了一个递推关系:当 第k块倒下时,相邻的第k+1块也倒下。
1 a ? n 思考:你认为证明数列的通项公式是 n

这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性?你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?

形成概念

多米诺骨牌 第一块骨牌倒下

通项公式

验证当n=1时,公式正确 在假设第 k 块骨牌倒下的前 证明“在假设n=k时公式正确 的前提下,推出当n=k+1时公 提下,推出第k ?1 块骨牌倒 式也正确” 下 做了以上两件事(证明), 做了以上两件事(证明),通项 公式对一切正整数n都成立了 无数块骨牌都倒下了

1.数学归纳法的概念:
定义:对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性:

(1)先证明当n取第一个值n0 (n0 ?N*)时命题 成立 (归纳奠基) ;
(2)然后假设当n=k(k?N*,k≥n0)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推)。 数学归纳法 这种证明方法就叫做______________。

例1.用数学归纳法证明

n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 6
2 2 2 2

证明:

1 ? 2 ? 3 ?1 (1)当n=1时,左边=12=1,右边= 6
等式成立。 (2)假设当n=k时,等式成立,就是

k (k ? 1)( 2k ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? k ? 6
2 2 2 2

那么

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ? ( k ? 1) 2 k ( k ? 1)(2 k ? 1) ? ? ( k ? 1) 2 6 k ( k ? 1)(2 k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ? 6 ( k ? 1)(2 k 2 ? 7 k ? 6 ) ? 6 ( k ? 1)(k ? 2 )(2 k ? 3 ) ? 6 ( k ? 1)?( k ? 1) ? 1??2( k ? 1) ? 1? ? 6

这就是说,当n=k+1时等式也成立。

根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立。

2.用数学归纳法证明恒等式注意事项:
① ② ③ 明确首取值n0并验证真假。(必不可少) “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的 方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等,

并用上假设。

思考1:试问等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立吗?某 同学用数学归纳法给出了如下的证明,请问该同 学得到的结论正确吗?
解:设n=k时成立,即 2+4+6+…+2k=k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) =k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1

这就是说,n=k+1时也成立

所以等式对任何n∈N*都成立 该同学在没有证明当n=1时,等式是否成立的前提 下,就断言等式对任何n∈N*都成立,为时尚早 事实上,当n=1时,左边=2,右边=3 左边≠右边,等式不成立

思考2

下面是某同学用数学归纳法证明命题 1 1 1 n ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
1 1 ? (1).当n=1时,左边= , 1? 2 2 1 1 ? 右边= 1?1 2

(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1

那么n=k+1时, 1 1 1 1 左边 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

2 2 3 1 k =右边, ? 1? ? k ? 2 ( k ? 1) ? 1

1 ? ) k ?1 k ? 2

即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

因此,用数学归纳法证明命 题的两个步骤,缺一不可。第一 步是递推的基础,第二步是递 推的依据。缺了第一步递推失 去基础;缺了第二步,递推失去 依据,因此无法递推下去。

思考3

步骤 (1) 中n取的第一个值n0一 定是1吗?为什么?

举例说明:用数学归纳法证明 n边形 n ? n ? 3? 的对角线的条数是 2
此时n取的第一值

n0 ? 3

课堂练习 用数学归纳法证明
1 1 1 1 ? ? ? ... ? n ? n(n ? N ? , n ? 1) 2 3 2 ?1



第一步应验证不等式( ) 1 1 1 A.1 ? ? 2 B.1 ? ? ? 2 2 2 3
1 1 C.1 ? ? ? 3 2 3
1 1 1 D.1 ? ? ? ? 3 2 3 4

数学归纳法小结:
1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题 递推基 础 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是:
n0 ? 1或2等)时命题成立 (1)证明当 n 取第一个值 n (如 0

(2)假设 n ? k ( k ? N 且k ? n0 ) 时命题成立 证明 n ? k ? 1 时命题也成立 递推依据 在完成了这两步骤以后,就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点, 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法, 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。

?

(1)数学归纳法证明等式问题: 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 ? n ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) bn ? 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 {
,?{ . 10a ? 3b ? ?2 b ? 4 3a ? b ? ?1 a ?1

以下用数学归纳法证明:

12 22 n2 n2 ? n ? ? ?? ? (n ? N * ). 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2

(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.

(2)假设当n=k时结论正确,即:
12 22 k2 k2 ? k ? ? ?? ? . 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) 4k ? 2

则当n=k+1时,

12 22 k2 (k ? 1) 2 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) k2 ? k (k ? 1) 2 k (k ? 1)(2k ? 3) ? 2(k ? 1) 2 ? ? ? 4k ? 2 (2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(2k 2 ? 3k ? 2k ? 2) (k ? 1)(2k ? 1)(k ? 2) ? ? 2(2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3) k 2 ? 3k ? 2 (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? ? . 4k ? 6 4(k ? 1) ? 2

故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.

(2)数学归纳法证明数列问题: 1 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 2S n ? an ? . an 用数学归纳法证明: a ? n ? n ?1.
1 1 2 a ? S ? ( a ? ) ? a 证:(1)当n=1时, 1 1 1 1 ? 1 ? a1 ? 1, 1 ? 1 ? 1 2 a1
n

=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 ak ? k ? k ?1. 则当n=k+1时,

1 1 1 1 Sk ? (ak ? ) ? ( k ? k ? 1 ? ) ? k. 2 ak 2 k ? k ?1 1 1 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (ak ?1 ? ) ? k ? ak2?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 2 ak ?1

? ak ?1 ? k ? 1 ? k (? ak ?1 ? 0).

故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.

(3)数学归纳法证明整除问题: 例3、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 x
2 2k 2k 2k 2

2k ?2
2

?y

2k ?2
2

? x ?x ? y ? y
2 2k 2
2k 2k 2k

2k

? x ( x ? y ) ? y ( x ? y ) ? x ( x ? y ) ? y ( x ? y)(x ? y) ? x2 ( x2k ? y 2k )、y 2k ( x ? y)(x ? y) 都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.

(4)数学归纳法证明几何问题:
例4、平面内有n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何 三条不过同一点,问交点的个数 f ( n) 为多少?并证明.
n( n ? 1) f ( n) ? 2
2

证明:1)n=2时:两条直线交点个数为1, 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 2)假设n=k(k∈N?,k≥2)时,k条直线交点个数为 f(k)= 1 k(k-1),
2

当n=k+1时:第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点,共增加k个点,

∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= 2 k(k-1)+k = 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
2 2 2

1

即当n=k+1时命题仍成立。 由1)、2)可知,对一切n∈N?原命题均成立。

1 1 1 13 * ? ? ? ? ? ( n ? 2 , n ? N ). 例5、用数学归纳法证明: n ? 1 n ? 2 2n 24

(5)数学归纳法证明不等式问题:

1 1 1 1 14 13 证:(1)当n=2时, 左边= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 ? 24 , 不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 ? ? ? ? ? , 则当n=k+1时,我们有: k ?1 k ? 2 2k 24
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?( ? ? ) k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

13 1 1 13 1 13 ? ?( ? )? ? ? . 24 2k ? 1 2k ? 2 24 (2k ? 1)(2k ? 2) 24

即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n ? N , n ? 2 都成立.

1 1 1 ? 2 n (n ? N * ). 例6、证明不等式: 1 ? ? ??? 2 3 n

证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立. (2)假设当n=k时不等式成立,即有:
1 1 1 1? ? ??? ? 2 k, 2 3 k

则当n=k+1时,我们有:

1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ?2 k ? , 2 3 k k ?1 k ?1
k ?1 k ?1 1 1 1 1 故 :1 ? ? ? ?? ? ? 2 k ? 1. 2 3 k k ?1 ? 2 k ? k ? 1? ? 1 ? k ? ? k ? 1? ? 1 ? 2 k ? 1.

即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.

例7、已知

1 1 1 f (n) ? 1 ? ? ? ? ? , 求证 2 3 n
2

:

f (2 n ) ?

n?2 (n ? 1). 2

1 1 1 1 2?2 证:(1)当n=2时, f (2 ) ? f (4) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 ? 12 ? 2 ,

不等式成立. k ?2 k (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 f (2 ) ? 2 . 则当n=k+1时, 1 有: 1 1
2 ?1 2 ? 2 2 k ?1 k ?2 1 1 1 k ?2 1 ? ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? 2 k ? k ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 k ? 2 1 (k ? 1) ? 2 ? ? ? . 2 2 2
k k

f (2 k ?1 ) ? f (2 k ) ?

?

???

即当n=k+1时,不等式成立. 由(1),(2)所证不等式对一切 n ? N , n ? 2 都成立.


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